两角和与差的余弦正弦和正切

1、第5章第5讲 两角和与差的余弦、正弦、正切在上一节的学习中， 我们是考虑了由一个角出发， 经过旋转、对称而得到某一个新的角度的三角比，也就是 4个重要的诱导公式。本节我们换一个角度，从两个角度通过它们的三角比来表示角 a -P及a + P的三角比，这就是接下来要学习的两角和与差的余弦、正弦的问题。当然，由三角比之间的关系，可以很方便的得出正切、余切、正割、余 割等值。一、首先我们给出将要证明的结论:sin (a + P) = si n a cos P + cosa sin P sin(a 一 P) =sin a cos P -cosa sin P cos(a + P) = cosot cos

2、P -cosot sin P cos(a - P) = cosot cosP +cosotsin P tan( P)1 tano tan P(6)n tana tan P tan( a P) =n1 +tana tan P证明：我们证明的思路是先证（ 4）7再证（3）7后证（1 ）7再得到（2）7最后（1）除 以（3）得到（5）7（ 2）除以（4）得到（6）,具体看黑板。解:二、由上面6个公式可得到如下进一步的诱导公式:(1) Sin(_a)=C0Sa -2 ， tan( _a) =cota ；2兀(2) sin(二+a)=C0Sa ；2tan( + a) = _cotot ；23兀(3) s

3、in( ia)=cosa ；23兀cos(才 -a ) =sinot ；兀 cot( - a) = tana .兀cos( +a) = -sina ；兀cot( +a ) = -tana .23兀cos(-a ) = -sina23兀cot(一a ) = tana2【例题精讲】 例1、求15及75的6个三角比。解:兀例2、已知点A的坐标为（0.6,0.8），将OA绕坐标原点逆时针旋转 一至OA，求点A的 坐标（X, y）3 5例 3、在 AABC 中，sin A = -，cosB =，求 cosC 的值。 13p3例 4、已知 cos(a )= -, sin(252解:a n12JIn 兀内帀

4、，且0P-，求.解:例5、若方程mx +(2m 3)x+ m- 2 = 0 (m h的两根分别是tan。、tan P ,求tanQ + P 的取值范围。解:例 6、已知锐角 a, P, 丫满足 sina +sin 丫 =sin P, cos -cos =cosP，求 a - P例7、把下列各式化成 Asin(a + P)(A：0)的形式:(1)sin a JScosa(2) asin a+bcosa(a, b 者E不为 0)(3)解:sin a + cosot(4) sin a -cosa例 8、( 1 )若 3sin X + J3cosx =2蠢in( x +),(兀 W 町，则护的值为1(

5、2)使方程2sin x+J5cosx=有解的实数k的取值范围是 k解:【课堂练习1】1、计算 cos63sin18；-cos27；sin72 的值，结果是（2、若a为锐角，且兀sin (a 一舌)_3则CO泊等于（273143、下列等式成立的是吟 x)7x)、sin(2 兀 + x) = -sin xsin(2 兀 + X)=sin x cos (兀 + X)= cosx4、A5、在 AABC 中，若 sin Asin B ccosAcosB，则 AABC 的形状是（ 锐角三角形 B 、钝角三角形 C、直角三角形 D、不确定 已知 sin a COS60-cosa Sin 60” =-,2a

6、E （0,2兀），则a等于（JI B2 66、_兀十3兀C 、一或6 23cos A = , cosB51616c56-一 B、 C、 656565兀4兀已知sin(a+-H-,- a 在MBC中，已知AD兀7、C、一或2_5133365则sin（A + B）等于（贝U sin ot的值是（）血B10103恵1034210在MBC中, 形状是（）A等腰三角形已知 sin A si n B +sin AcosB +cos Asi n B +cosAcosB = 2，则 MBC 的B 、直角三角形 C 、等腰直角三角形D 、等腰或直角三角形9、计算：si n(54 +x)cos(24 咕 x)-c

7、os(54 +x)si n(24 +x) = 10、化简：cos2 (45 + x) + cos2(45 - x)=1111、已知 sin a +sin P =，cos + cos P = ，贝U cos(a P )=2 31312、若 cos(a + P) =-，cos(o - P)=-，则 tano tan P =554 513、 已知锐角 Ct, P 满足 sin a = ， cos(a + P)=，则 cos P =5 13314、已知 sin (a -P)cosa cos(a P)si na = ，贝U sin P =515、已知 sin a 二10, sin P =，且 a, P

8、是锐角，则 a + P =10516、若a,是锐角，P = sin(a + P), Q =sina +sin P，贝U P与Q的大小关系是、丄苗 sin 3a cos3a17、计算：=si n acos a18、已知结论，请在横线上填写命题的一个条件：1 已知a, P都是锐角，且sina -cosP =2，贝U sin(a3_1的值。19、设a c2兀，且 cos(a + P)cos P +sin(a + P)sin P = -，求 tana2320、化简与求值:2兀2兀(1) cosa +cos(+a)+cos(一a)21、已知 0 P ,4兀3江兀4“匸，且严3 3的值。的值。22、已知关于x的方程X cos43cos77“+sin43cos167 + px + q =0的两根是潮潮P，求co爲23、在 MBC 中，已知 Igcos B + Igcos C + Ig 2 = lg(1 - cos A)，试判断 AABC 的形状。24、已知 0： a P 90，且 sn o,sin P 是方程 x-/2 cos40)2 “ 1X + cos 40 一一2=0的224两个实根，求sin( P -5