不定积分和定积分知识的应用

1、不定积分和定积分知识的应用1积分法原理及知识的应用1.1求解静定梁的挠度和转角，应用积分法的原理及知识此问题主要出现在水利工程专业的工程力学课程中，主要应用于求解建 筑结构中静定梁的位移。梁变形时，其上各横截面的位置都发生移动，称之位移;位移通常用挠度和转角两个基本量描述。运用微分法和积分法求解挠度和转角的2一般步骤是：（1）建立挠曲线近似微分方程，即一迪；（2）对微分方dxEI程二次积分。积分一次，可得出转角方程：Q =包=_丄JM （x）dx + C；再积dx EI 、 1分一次，可得出挠度方程：y = -一 J（ JM （x）dx） +Cx + D ;（3）利用边界条件或连续条件确定积分

2、常数C、D ； （ 4）确定转角方程和挠度方程；（5）求指定截面的转角和挠度值。实例1一等截面悬臂梁如图所示，自由端受集中力 P作用，梁的抗弯刚度 为EI，求自由端的转角和挠度。PI EIB一 _分析：首先建立合适的直角坐标系，根据力学知识可知，该梁的弯矩方程为M（ x）=-P（l-x），挠曲线的近似微分方程为 与=-丄卜P（I-X）.然后，对微分dx EI方程二次积分，利用边界条件确定积分常数（C=0，D=0）最后，回代转角方程和挠度方程，从而求得自由端截面的转角和挠度。解答：（计算过程略） 自由端截面的转角和挠度分别为2珀哈pi2-2 Pl2）磊3111 3 PlyB=（一Pl - Pl）

3、=EI 263EI（转角0 B为正，表示截面B是顺时针转；挠度yB为正，表示挠度是向下的.）实例2一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示，梁的抗弯刚度为EI,求梁的最大挠度及B截面的转角。q丄二二 _*事打* * J *2xl*y2=昔qUqx2.然后，对分析：首先建立合适的直角坐标系，根据力学知识可知，该梁的弯矩方程为M （ X）=1qlx-1qx2，挠曲线近似微分方程为2 2微分方程二次积分，利用边界条件确定积分常数D=o, C=24ql3）.最后，回代转角方程和挠度方程，从而求得最大挠度和截面B的转角。解答：（计算过程略） 最大挠度发生在跨中即为ymax=384Er ；截面B的转角为6船为

4、负 值，表示截面B反时针转）.1.2求解荷载作用下结构的位移，应用积分法的原理及知识此问题主要出现在水利工程专业的工程力学课程中，主要应用于求解建(1)筑结构在荷载作用下产生的位移。运用积分法求解结构位移的一般步骤是: 以结构在实际荷载作用下的情形作为实际状态；（2）在要求位移的点处，顺着给 定的方向加上单位荷载Pk=1,建立相应的虚设状态。（3）分别列出在两种状态下 结构中每根杆各段的内力表达式（坐标系统、坐标原点和积分变量在两种状态中 都应该一致）；（4）将内力表达式代入荷载作用下位移的计算公式中，在结构的每根杆上逐段积分，然后求其总和，就可以求得位移kp.实例渡槽是一种比较常见的农田灌溉

5、输水建筑物，其槽身断面形式多数为矩形。某矩形渡槽槽身的计算简图如图所示，试用积分法求 C、D两点的相对水平线位移（即两点沿水平方向距离的变化），设各杆的EI为常数。分析：实际状态为水压力作用在槽身上，虚设状态为在C、D两点加上一对C1 /xxEIB.ZZZZ12分别列出在两种状厝MpdX中，进行反向的水平单位力Pk =1。然后，应用同一坐标原点和变量,态下各杆段的弯矩表达式；再将其代入位移公式kp= Z积分运算。最后，给定L和H 些对应数据，试算 kp值。解答：（计算过程略） kp =丄匹-YlH2(L2-2H2)EI 15当 L=4m,H=3m 时，kp =33( );15EI当 L=4m,

6、H=2m寸, kp二(T J).15EI以上计算表明：当水深 H变化时,C、D两点的相对水平线位移可正可负，即两点可能相互分开，也可能相互靠近,其水平方向距离的变化可以由kp值确定。2定积分中值定理知识的应用定积分中值定理作为定积分的一个重要性质，计算河床的平均深度时，应用 定积分中值定理知识。此问题主要出现在水利工程专业的 工程水文学课程中, 主要应用于计算河流、湖泊等河床横断面水的平均深度， 以此用作河流测流、工程设计或施工的一个依据。只要测量出河面在某处的宽度(B)，河床的横断面形状和河床的最大深度(h)，则可运用定积分中值定理知识计算该处河床的平、 一-1b均深度(h )，即 h =

7、f(x)dx(m).b -a a实例设一河流的河面在某处的宽度为 2 b,河流的横断面为一抛物线弓形,河床的最深处在河流的中央，深度为h，求河床的平均深度h.分析：首先，选取坐标系使x轴在水平面上，y轴正向朝下，且y轴为抛物 线的对称轴。于是，抛物线方程为 y=h-E.x2.然后，运用定积分中值定理便可b求得河床的平均深度h.解答：(计算过程略)河床的平均深度h=2h.33 定积分的近似计算(数值积分法)知识的应用近似求物体的截面积，应用梯形法或抛物线法等定积分的近似计算知识。此 问题主要出现在水利工程专业的 灌溉排水技术课程中，主要应用于近似计算河床、渠道的过水断面面积，进而计算截面流量(即

8、渠系测流)。由水利学知识可知，单位时间内流过某一截面的流体的体积就叫做通过这个截面的流量，即Q=V/t (m3/s).在水利工程中，流量的计算通常运用公式 Q=sv(m3/s)，即过水断面面积（s ）与流速（V ）的乘积。实例1有一条宽为24米的大型干渠，正在输水浇灌农田，试利用流速仪并结合梯形法或抛物线法近似求横截面积等高等数学知识进行测流。在渠段正直，水流均匀，无漩涡和回流的地方，断面与水流方向垂直；测流断面的测线确定为12条。其次，测定断面。先在渠道两岸拉一条带有尺度的绳索，测出测深线的起点距（与断面起点桩的水平距离）；测线深度，用木制或竹制的 测深杆施测，从渠道一岸到对岸每隔2米测量一

9、次水深，测得数据如下表。根据 施测结果绘出测流断面图，如图所示。第三，禾用流速仪施测断面流速。例如,利用旋环式流速仪测出该渠道断面平均流速为v=0.60m/s.第四，近似计算渠道过水断面面积和流量。测线深度施测数据表（单位：m）Xi024681012141618202224yi00.50.71.01.51.61.92.22.01.71.30.80（1）抛物线法（辛卜生公式）:心 30.67m2 ; Q=18.40m3/s.(2) 梯形法：A 30.40m2 ;Q=18.24m3/s.实例2有一条河流，宽为200米，从河一岸到正对岸每隔20米测量一次水解答：（计算过程略）深，测的数据如下表。试分

10、别用梯形法和抛物线法求此河床横截面积的近似值。单位：mXi020406080100120140160180200yi259111719211511634微元法知识的应用微元法在专业基础课和专业课中应用非常广泛，求解物体所受液体的侧压力， 应用微元法知识。此问题主要出现在水利工程专业的水力学、水工建筑物等课程中，主要应用于计算水闸及输水建筑物(如坝下涵管、隧洞、渠道、管道 等)上的闸门所受水压力的大小，作为设计或校核闸门结构的一个重要依据。 水闸是一种低水头水工建筑物，既能挡水，又能泄水，用以调节水位，控制泄流量;多修建于河道、渠系及水库、湖泊岸边，在水利工程中的应用十分广泛。闸门是水闸不可缺少

11、的组成部分，用来调节流量和上、下游水位，宣泄洪水和排放泥沙等。闸门的形式很多，按其结构形式通常分为平面闸门、 弧形闸门及自动翻倒闸 门等；按其工作条件可分为工作闸门和修理闸门；按其所处的位置不同可分为露顶闸门和潜孔闸门；按其所用的材料可分为钢闸门、 钢筋混凝土闸门、钢丝网水泥闸门和木闸门等；按其形状不同又可分为矩形闸门、梯形闸门、圆形闸门和椭圆形闸门等。闸门的主要作用是挡水，承受水压力是其作用荷载之一。运用微元 法计算闸门所受水压力时，设受水压力作用的区域与水平面垂直且由曲线 y=f(x)0,(0 a x b)x=a,x=b及x轴所组成。x轴正向朝下，y轴在水平面上，水Pgxf (x)dx (

12、N).Qb的密度为P =1000kg/m,则闸门所受的水压力大小为 P= fa6m的圆，水流X2 +y2 =9.实例1有一个水平放置的无压输水管道，其横断面是直径为 正好半满，求此时输水管道一端的竖直闸门上所受的水压力。分析：首先建立合适的直角坐标系，如图所示，则圆的方程为然后，运用微元法求解即可。解答：（计算过程略）P=1.76X 1O5N.实例2某闸门的形状与大小如图所示，其中直线ox为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5: 4,闸门矩形部分的高h应为多少米?分析：把y轴放在水平面上，x轴为闸门的对称轴，正向朝下，于是抛物线 经过（h,1） ,（h,-1）,（h+1,O）三点，抛物线方程为x=h+1-y2。然后，分别计算闸门上