湖南大学考试试题

1、工程数学 （线性代数 ）练习二（第五章，第六章）一、单选题21.设 A 为 n（n 2）阶矩阵，且 A2=E，则必有（）C.A 的秩等于nD.A 的特征值均为 10012.设矩阵A=010，则 A 的特征值为（）100A.1，1，0B.-1，1，1C.1，1，1D.1，-1，-1A.A 的行列式等于 1B.A 的逆矩阵等于 E3.设 3 阶方阵 A 的特征值为 1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（）A.E-AB.-E-AC.2E-AD.-2E-A4.设=2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 （A2）-1 必有一个特征值等于（A.B.C.2D.4105.已知矩阵 A 与对角矩阵 D=

2、0 10000 相似，则 A2= （1A.AC.E6.若 A 与 B 相似，则 （）A.A， B 都和同一对角矩阵相似B.DD.-EB.A， B 有相同的特征向量C.A- E=B-ED.|A|=|B|7.设 A 与 B 是两个相似 n 阶矩阵，则下列说法错误的是（）A. A B -1C.存在可逆阵 P，使 P-1AP=B1008.与矩阵 A= 0 1 0 相似的是（002B.秩（ A）=秩（B）D. E-A= E-B110B.010002101D.020001P1，P2，P3，令 P (P1，P2，的全部特征向量是 2.已知 3 阶矩阵A 的 3 个特征值为1， 2， 3，则 |A|， A1

3、的特征值为100A.020001100C.1100029. 设三阶方阵 A 有特征值 0， 1，1，其对应的特征向量为P3) ，则 P1AP()。100100A.010C.000000001000000C.010D.01000100110.设 A= 1设 A 11 1 ，则二次型2f (x1， x2)=xTAx 是 ()A. 正定B 负定C.半正定D.不定11.二次型 f(x1,x2,x3,x4,)= x12 x22 x32 x42 2x3x4 的秩为()A.1B.2C.3D.412.设有二次型 f (x1,x2, x3) x12 x22 x32,则 f(x1,x2,x3) ()A. 正定B.

4、负定C.不定D.半正定二、填空题2001. 矩阵 A= 0 2 0002|A*|=.3. 设三阶方阵 A 的三个特征值为 1，2， 3.则 |A+E|=24. 已知 A 有一个特征值 -2,则 B=A 2 +2E 必有一个特征值 .5. 设 3阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=2=3，3=0，则秩(A)=.0 2 26. 已知 =0 为矩阵 A= 2 2 2 的 2 重特征值，则 A 的另一特征值为 2 2 21217. 矩阵 A= 2 1 0 所对应的二次型是 .1038.二次型 f(x1,x2,x3)= x12 2x22 5x32 4x1x2 2x2 x3的矩阵为 .135x19.二次型

5、f( x1,x2,x3)= x1,x2, x3246x2的矩阵为785x322210.已知二次型 f(x1,x2,x3)=(k+1) x12+ (k-1) x22+ (k-2) x32正定，则数 k的取值范围为 三、计算题0101. 求矩阵的440特征值和特征向量2122001002.设 A 0 a 2 与 B 0 2 0 相似， 0 2 3 0 0 b 求 a， b； 求一个可逆矩阵 C，使 C1AC B.3.试求三阶正交矩阵 Q，使正交变换 x=Qy 能将二次型 f x1, x2 x3 x22 2x1x3 化成标准形2 2 24.设二次型 f = 4x12+3x22+2x2x3+3x32 求一个正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换； 用配平方法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换 .2225.问 取何值时，二次型 f x12 4x22 4x32 2 x1x2 2x1x3 4x2x3 为正定二次型？ 四、证明题1.设方阵 A 满足 ATA=E， 试证明 A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于 1.2. 设 A 为 n 阶方阵， 为 A 的对应于特征值 的特征向量， 为 AT 的对应于特征值 的特征 向量，且 ，证明 与 正交 .3. 设 A 是 n 阶正交矩阵，且 |A|=1，证明 : 1 是