【Word版导学案】学案6

1、 宾xz 东方工昨堂核2备课U制件 导学目标： 学案6函数的奇偶性与周期性 1了解函数奇偶性、周期性的含义 2会判断奇偶性，会求函数的周期3会 做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题. 东芳工咋裳桟2备裸纽制作 1 函数奇偶性的定义 如果对于函数f(x)定义域内任意一个X,都有，则称f(x)为奇函数；如果 对于函数f(x)定义域内任意一个X，都有，则称f(x)为偶函数. 2 奇偶函数的性质 (1) f(x)为奇函数？ f(-x)=- f(x)? f( x) + f(x)=； f(x)为偶函数? f(x) = f( x)= f(|x|)? f(x) f( x)=. (2) f(x)是偶函数？

2、 f(x)的图象关于 轴对称；f(x)是奇函数？ f(x)的图象关于 对称 (3) 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有 的单调性. 3函数的周期性 (1) 定义：如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+ T)= ，则称f(x)为函数，其中T称作f(x)的周期.若T存在一个最小的正数， 则称它为 f(x)的. 性质：f(x+ T)= f(x)常常写作 f(x+ T)= f(x T). 如果T是函数y = f(x)的周期，贝U kT(k Z且0)也是y = f(x)的周期，即f(x+ kT)= f(x) 1 若对于函数f(x)的定义域内任一

3、个自变量的值x都有f(x+ a)= f(x)或f(x+ a)= 或 f x 1 f(x+ a) = f(a是常数且0)，贝U f(x)是以为一个周期的周期函数. T x a x-cx 东芳工作窒核2备课纽制作 自我检测 1.已知函数 f(x)= (m 1)x2+ (m 2)x + (m2 7m + 12)为偶函数，贝V m 的值是 () 2. (2011茂名月考)如果奇函数 7 ) A 增函数且最小值是5 B 增函数且最大值是5 f(x)在区间3,7上是增函数且最大值为 , 3 5,那么f(x)在区 上是 C.减函数且最大值是5 D 减函数且最小值是5 3.函 数y = x ( ) A .关于

4、原点对称 B .关于直线y= x对称 C. 关于y轴对称 D. 关于直线y = x对称 4. (2009 西改编)已知函数f(x)是( m,+m )上的偶函数，若对于 2)= f(x),且当 x 0,2)时,f(x) = Iog2(x+ 1)，则 f( 2 012)+ f(2 011)的值为 x0,都有 f(x + () 1宾工* 东方工昨裳核2备裸纽制作 5 . (2011开封模拟)设函数f(x)= x + 1 x+ a x 为奇函数，则 探究点一函数奇偶性的判定 (3)f(x)= Iog2(x+ ijx2+ 1)； (4)f(x)= x2 + x, x2 + x, x0. 东方工昨畫核业备

5、课処制件 变式迁移1判断下列函数的奇偶性. (1) f(x)= x2 x3； (2) f(x)=x2 1+ . 1 x2； a/42 (3) f(x)= |x+- 探究点二函数单调性与奇偶性的综合应用 东赁工咋窒核2备课爼制件 2函数y= f(x)(xz0)是奇函数，且当x (0, 1 + 8 )时是增函数，若f(1) = 0,求不等式fx(x-2)0的解集. 变式迁移2 (2011承德模拟)已知函数f(x)= x3 + x,对任意的 m 2,2, f(mx- 2) + f(x)0)，在区间8,8 上有四个不同的根Xi, x2, X3, X4,贝V Xl+ X2+ X3+ X4=. 变式迁移3

6、 定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)= f(2 x).若f(x)在区间1,2上是 减函数，则f(x)() 3.4上是增函数 3.4上是减函数 3.4上是增函数 3.4上是减函数 A .在区间2, 1上是增函数，在区间 B. 在区间2, 1上是增函数，在区间 C. 在区间一 2, 1上是减函数，在区间 D .在区间一 2, 1上是减函数，在区间 东方工咋愛樓2备棵纽剧冷 转化与化归思想的应用 (12分)函数f(x)的定义域为 D = x|xm 0, 血 东方工咋皇核备课纽制昨 A H XZ 且满足对于任意 Xi , X2 D，有 f(xi X2)= f(xi)+ f(X2). (1)

7、求f(1)的值； 判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3) 如果f(4)= 1，f(3x+ 1) + f(2x 6)w 3，且f(x)在(0,+ )上是增函数，求 x的取值范 围. 【答题模板】 解 T 对于任意 X1 , X2 D，有 f(X1 X2) = f(X1)+ f(X2), 令X1 = X2= 1，得 f(1) = 2f(1),.f(1) = O.2 分 (2) 令 X1= X2= 1, 有 f(1) = f( 1) + f( 1), 1八 f( 1)=尹1) = 0.4 分 令 X1= 1 , X2= X 有 f( x)= f( 1) + f(x), f( x)= f(x)

8、,.f(x)为偶函数.6 分 (3) 依题设有 f(4 X 4) = f(4) + f(4) = 2, f(16X 4)= f(16) + f(4) = 3, 7 分 f(3x+ 1)+ f(2x 6) w 3, 即 f(3x+ 1)(2x 6) w f(64)8 分 -f(x)为偶函数， f(|(3x + 1)(2x 6|)w f(64). 10 分 又f(x)在(0 ,+s)上是增函数，f(x)的定义域为 D. 0|(3x+ 1)(2x 6)|w 64.11 分 711 解上式，得 3xw 5 或x 3或3x3. 一711 x 的取值范围为x| 3W x 3或3x3 或 30, 从而得出0

9、|g(x)| w a,解之得x的范围. 【易错点剖析】 在中，由f(|(3x+ 1) (2x 6)|)wf(64)脱掉的过程中，如果思维不缜密，不能及时回 顾已知条件中函数的定义域中x|xm 0，易出现0w|(3x+ 1)(2x 6)|w 64,导致结果错误. 东芳工昨窒核心备课纽制件 1. 正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：定义域在数轴上关于原 点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；f(-X)= -f(x)或f( X)= f(x)是定 义域上的恒等式. 2 奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶性，有时 f X 需要先将函数进行化简，或

10、应用定义的等价形式：f( x)= (x)? f( x) x) = o? 一厂 = T x 1(f(x)M 0) 3奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真利用这一性 质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性. 1 4. 关于函数周期性常用的结论：对于函数f(x)，若有f(x+ a) = f(x)或 f(x+ a) = f 或 t x 1 f(x+ a) = f(a为常数且0)，贝U f(x)的一个周期为2a T x (满分：75分) 东方工昨莖核2 备课U制作 一、选择题(每小题5分，共25分) 1. (2011吉林模拟)已知f(x)= ax2 + bx是定

11、义在a 1,2a上的偶函数，那么a+ b的值为 ( ) 1 1 A. 3B.3 C.2 2. (2010银川一中高三年级第四次月考)已知定义域为x|xm 0的函数f(x)为偶函数，且 f x f(x)在区间(一a, 0)上是增函数，若f( 3)= 0，则0时，f(x) = 2x + 2x+ b(b为常数), 则f(1)等于 ( ) A . 3B . 1C. 1D. 3 5. 设函数f(x)满足：y= f(x+ 1)是偶函数；在1 ,+a )上为增函数，则f( 1)与f(2) 大小关系是 题号 1 2 3 4 5 答案 A . f( 1)f(2) B . f( 1)0, 6. (2010辽宁部分

12、重点中学5月联考)若函数f(x) = a, x= 0,是奇函数，则a + b x+ b, x1 , f(2) = 2m3，则m的取值范围是 . )1, 1 XX$ 0 1 2 若 fx(x 2)0 = f( 1)，贝y1 x x 2 1 1 由 x(x 2) 1,解得 x ?. 原不等式的解集是 11 + . 171 17 x|2x 4 或4 x0. 变式迁移2( 2, ) 解析 易知f(x)在R上为单调递增函数，且 f(mx 2) f(x) = f( x)，此时应用 mx 2 x, 令 h(m)= mx+ x 2, h 2 0 此时，只需即可，解得x ( 2 h 2 0 x x 2 1 11

13、 +171 17 f(x)为奇函数，故f(mx 2) + f(x)0，等价于 即mx+ x 20对所有 m 2,2恒成立， 2 ，3)- 解得 2x4 或x0)在区间8,8上有四个不同的根xi, x2, x3, X4,不妨设 Xlx2X3X4.由对称性知 xi+ X2=- 12, X3+ X4= 4,所以 Xi + X2+ X3+ X4=- 12+ 4=- 8. 东方工咋窒核2备课纽制作 变式迁移 3 Bf(x)= f(2-x),.f(x+ 1) = f(1 -x). x= 1为函数f(x)的一条对称轴. 又 f(x+ 2) = f2 - (x+ 2) =f(-x)= f(x), 2是函数f(

14、x)的一个周期. 根据已知条件画出函数简图的一部分，如右图： 1 a = 3 b= 0 由图象可以看出，在区间-2,- 1上是增函数，在区间3,4上是减函数. 课后练习区 a 1 = 2a 1. B 依题意得 b= 0 a + b = 3. 2. D 东方工昨窒核2备课纽制件 3. D 由 f(x+ 2) =- fx , f x 由已知条件，可得函数f(x)的图象大致为右图，故f(2)，即 f( 1)f(2). 6. 1 解析Tf(x)是奇函数，且 x R,.f(0) = 0,即卩 a = 0又 f(- 1) =-f(1),.b 1=- (1 1)= 0,即卩 b= 1，因此 a+ b= 1.

15、 2 7. - 1m1 , 2m 3 f(- 1) =-f(1) - 1 ,- 1. m+ 1 ” 2 解得：1m3 8. 2 解析 由 g(x)= f(x- 1)，得 g(-x)= f(- x- 1), 又g(x)为R上的奇函数， g(-x)=- g(x), f( x - 1) =-f(x 1), 即 f(x- 1) =- f(-x- 1), 用 x + 1 替换 x,得 f(x) = - f( x- 2). 又f(x)是R上的偶函数， f(x)=- f(x+ 2). f(x)= f(x+ 4),即卩 f(x)的周期为 4. f(2 010) = f(4 X 502+ 2)= f(2) =

16、2. 9. 解 由题意，当 3W x 6 时，设 f(x)= a(x- 5)2+ 3, f(6) = 2 ,.2= a(6 5)2+ 3.a =- 1. f(x)=- (x- 5)2 + 3(3 x 6). (3分) f(3) = - (3 5)2 + 3=- 1. 又f(x)为奇函数， f(0)= 0. 一次函数图象过(0,0), (3, - 1)两点. 1八 f(x)=-尹(0 xw 3). (6分) 当一3 x 0 时，一x 0,3, 1 1 -f(- x) =- * x)= x. 1 又 f( - x) = - f(x) ,.f(x) = - x. 1八 f(x)= 尹(-3 x 3)

17、. (9分) 当一6w x - 3 时，3 - x 6, f ( x) = ( x 5)2+ 3 = (x+ 5)2 + 3. 又 f( - x) = - f(x) ,.f(x) = (x+ 5)2 - 3. x+ 5 2- 3,- 6 x - 3, 1八 f(x)= - 3x0 时，f(x) = x2-2x- 1 = (x- 1)2-2, 当 x 0, 即 f(x)= x+ 1 2 - 2,x0时，函数f(x) = (x 1)2 2的最小值为2,最大值为f(3) = 2; 当x0时，函数f(x)= (x+ 1)2 2的最小值为一2，最大值为f( 3) = 2; 故函数f(x)的值域为2,2. (12分) 11. 解 当 a= 0 时，f(x)= x2 对任意 x ( a , 0) U (0 ,+ a), 有 f( x) = ( x)2 = x2= f(x), f(x)为偶函数. (2分) 当 a丰0 时，f(x) = x2 + a(x丰0，常数 a R), 若 x = 时，贝U f( 1) + f(1) = 2工 0; f( 1) f(1)，又 f( 1)丰 f(1) 函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数. (6分) 综上所述，当