排列组合二项式定

1、排列组合二项式定理练习题1.用1, 2, 3三个数字组成一个四位数，规定这 三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（）A.36 个 B.18 个 C.9 个 D.6 个 答案 B解析 利用树状图考察四个数位上填充数字的213132情况，如：1，共可确定8个213123四位数，但其中不符合要求的有2个，所以所确 定的四位数应有18个，故选B.2.某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人,女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男，女生人数为（）A.2，6B.3，5 C.5，3 D.6, 2答案 B解析 设男生人数为n，则女生人数为8 -n，由 题意可知

2、CnC8-nA3= 90，即 CnC1-n = 15，解得 n = 3,所以男，女生人数为3, 5,故选B.3将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有（）A.150 种 B.180 种 C.240 种 D.540 种答案 A解析 先将5个人分成三组，（3, 1，1）或（1, 2,2）,分组方法有C5 + c1C2C2= 25（种），再将三组 全排列有a3= 6（种），故总的方法数有 25X 6=150（种）.4从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求 这3位班主任中男、女教师都要有，

3、则不同的选 派方案共有（）A.210 种 B.420 种 C.630 种 D.840 种答案 B解析 因为要求3位班主任中男、女教师都要有， 所以共有两种情况，1男2女或2男1女.若选出 的3位教师是1男2女则共有C5CA3= 180（种） 不同的选派方法，若选出的3位教师是2男1女 则共有c5c4a3= 240（种）不同的选派方法，所以 共有180+ 240= 420（种）不同的方案，故选B.a15若二项式（2x + x）7的展开式中的系数是84，入入则实数a等于（）A.2 B.5 4C.1D.4答案 Ca解析 二项式(2x + x)7的通项公式为Tk +1 = C7入(2x)7-kf)k=

4、 c727-kakx7-2k,令 7-2k =-3,得 k入1=5.故展开式中产的系数是C722a5= 84,解得a入=1.6. (x 1)4 4x(x 1)3 + 6x2(x 1)2 4x3(x 1) +x4等于()A. 1 B.1 C.(2x 1)4 D.(1 2x)5答案 B解析(x 1)4 4x(x 1)3 + 6x2(x 1)2 4x3(x 1)+ x4= (x 1) x)4= 1.7. 某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要 求甲乙中两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A.30 种 B.600 种 C.720 种 D.840 种答案 C解析 Al A4= 720（种）.8

5、. 如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的 花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花 卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为（）A.180B.240 C.360D.420答案 D解析 若5个花池栽了 5种颜色的花卉，方法有A5种，若5个花池栽了 4种颜色的花卉，则2,4两个花池栽同一种颜色的花，或3,5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2A5种；若5个花池栽了 3种颜色的花卉，方法有A3种，所以最多有 A5+ 2A4 + Ai= 420（种）.19. （x + 一）5的各项系数和是1 024，则由曲线y = axx2和y= xa围成的封闭图形的面积为.答案解析5121设x = 1,则各项

6、系数和为(1+ -)5= 1 024a1=45,所以a= 1，联立2y= x21y= x可得交点坐标分c1别为(0, 0), (1, 1),所以曲线y= x2和y=加围3 41 c成的封闭图形的面积为1(x3 - x2)dx = 4X3 x301 _ 3 1_5_0 _ 4 3_ 12.10. 圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三 角形，则一共可以画的三角形个数为 .答案 120解析圆上任意三点都不共线，因此有三角形C1o= 120（个）.11 .一排共有9个座位，现有3人就坐，若他们 每两人都不能相邻，每人左右都有空座，而且至 多有两个空座，则不同坐法共有 种.答案 36解析 可先考虑3

7、人已经就座，共有A3 = 6（种）， 再考虑剩余的6个空位怎么排放，根据要求可产 生把6个空位分为1, 1, 2, 2,放置在由已经坐 定的3人产生的4个空中，共有C4 = 6，所以不 同的坐法共有6X6= 36（种）.12.我国第一艘航母“辽宁舰在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机（甲、乙、丙、丁、 戊）准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰， 而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有种.答案 24解析 先把甲、乙捆绑在一起有A2种情况，然后对甲、乙整体和戊进行排列，有A2种情况，这样产生了三个空位，插入丙、丁，有A?种情况，所以着舰方法共有a2a2a3 = 2X 2X 6 =24（种）

8、.13.实验员进行一项实验，先后要实施5个程序（A，B，C，D，E），其中程序A只能出现在第 一步或最后一步，程序 C或D在实施时必须相 邻，则实验顺序的编排方法共有 种.答案 24解析 依题意，当A在第一步时，共有a2a3= 12（种）;当A在最后一步时，共有A2a3= 12（种）.所以实验的编排方法共有24种.14用1, 2, 3, 4, 5, 6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2, 4, 6三个偶数中 有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数 为.答案 288解析 从2, 4, 6三个偶数中任意选出2个看作 一个“整体”，方法有A3 = 6（种），先排3个奇 数，有A3=

9、6（种），形成了 4个空，将“整体” 和另一个偶数插在3个奇数形成的4个空中，方 法有a4= 12（种）.根据分步乘法计数原理求得此 时满足条件的六位数共有 6X 6X 12= 432（种）若 1排在两端，1的排法有A2a2= 4（种），形成了 3 个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形 成的3个空中，方法有A3= 6（种），根据分步乘法计数原理求得此时满足条件的六位数共有6X 4X 6= 144（种），故满足1不在左右两端，2, 4, 6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为432 144= 288（种）.12.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理典例精析题型一分类加法

10、计数原理的应用【例1在1到20这20个整数中，任取两个数相加，使其和大于20,共有种取法.【解析当一个加数是1时，另一个加数只 能是20,有1种取法；当一个加数是 2时，另一个加数可以是19,20，有2种取法；当一个加数是 3时，另一个加数可以是18,19,20，有3种取法;当一个加数是 10时，另一个加数可以是11.12 ,，19,20，有 10 种取法；当一个加数是 11时，另一个加数可以是12.13 ,，19,20，有9种取法；当一个加数是19时，另一个加数只能是20，有1种取法.由分类加法计数原理可得共有1 + 2+ 3 + 10+ 9+ 8+- + 1 = 100 种取法.【点拨】采

11、用列举法分类，先确定一个加数，再利用和大于20”确定另一个加数.【变式训练11 (2010济南市模拟)从集合 1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使 这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A3B.4C.6D.8【解析】当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8 ;当公比为3时，等比数列可为1,3,9 ;3当公比为2时，等比数列可为4,6,9.同理，公比1 1 2为2、3、3时，也有4个-故选d.题型二分步乘法计数原理的应用【例2从6人中选4人分别到张家界、 韶山、衡山、桃花源四个旅游景点游览，要求每 个旅游景点只有一人游览，每人只游览一个旅游 景点，且6个人中甲、乙两人不去

12、张家界游览， 则不同的选择方案共有 种.【解析能去张家界的有4人，依此能去韶 山、衡山、桃花源的有5人、4人、3人.则由分步乘法计数原理得不同的选择方案有4 5 4 X3=240 种.【点拨】根据题意正确分步，要求各步之间 必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完 成这件事，各步之间既不能重复也不能遗漏【变式训练2】（2010湘潭市调研）要安排一 份5天的值班表，每天有一人值班，现有 5人, 每人可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由 同一人值班，问此值班表共有 种不同的排 法【解析】依题意，值班表须一天一天分步完成第一天有5人可选有5种方法，第二天不能 用第一天的人有4种方法，同理第三天、

13、第四天、 第五天也都有4种方法，由分步乘法计数原理共有 5X4X4X4X4= 1 280 种方法题型三分类和分步计数原理综合应用【例3】（2011长郡中学）如图，用4种不 同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部 使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有.【解析】方法一：由题意知，有且仅有两个区域涂相同的颜色，分为4类：1与5同；2与 5同；3与5同；1与3同.对于每一类有A4种涂 法，共有4a4= 96种方法.方法二：第一步：涂区域1,有4种方法； 第二步：涂区域2,有3种方法；第三步：涂区 域4,有2种方法（此前三步已经用去三种颜色）； 第四步：涂区域

14、3,分两类：第一类，3与1同 色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色, 有3种方法.所以，不同的涂色种数有4X3X2（1 X1 + 1X3） = 96 种.【点拨】染色问题是排列组合中的一类难题 本题能运用两个基本原理求解，要注意的是分类 中有分步，分步后有分类.mEESi【变式训练3】（2009深圳市调研）用红、黄、 蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，9的9个 小正方形，使得任意相邻（有公共边）小正方形所 涂颜色都不相同，且1,5,9号小正方形涂相同颜 色，则符合条件的所有涂法有多少种？【解析】第一步，从三种

15、颜色中选一种颜色涂1,5,9号有d种涂法；第二步，涂2,3,6号，若2,6同色，有4种涂法，若2,6不同色，有2种涂法，故共有6种 涂法;第三步，涂4,7,8号，同第二步，共有6种涂法由分步乘法原理知共有3怡怡=108种涂法总结提高分类加法计数原理和分步乘法计数原理回 答的都是完成一件事有多少种不同方法或种数 的问题，其区别在于：分类加法计数原理是完成 一件事要分若干类，类与类之间要互斥，用任何 一类中的任何一种方法都可以独立完成这件事； 分步乘法计数原理是完成一件事要分若干步，步 骤之间相互独立，各个步骤相互依存，缺少其中 任何一步都不能完成这件事，只有当各个步骤都 完成之后，才能完成该事件

16、因此，分清完成一 件事的方法是分类还是分步，是正确使用这两个 基本计数原理的基础oshho +: +R+ PIP + +。+ PIP + :+M+R+p s OS OCOIL 9(68才99臭段艾9OL 2X8IX臭段艾咚9 + LX臭段艾9】。9+ :+p+p S角Qd (L)麻芒【二电】X+ -8瓣44EB软如輛卯软一胚岳詡最罡變亘M【点拨】在使用排列数公式Am=n!(n m) !行计算时，要注意公式成立的条件： m n N+,me n.另外，应注意组合数的性质的灵活运用【变式训练1】解不等式a 6a9 2【解析】原不等式9!即(9 x) !9!611 X)!，1也就是（9齐(11 x)?

17、(10 x)?9 x)! 52化简得 x 21x+ 1040,解得xv 8或x 13，又因为2x 9,且所以原不等式的解集为234,5,6,7.题型二有限制条件的排列问题【例2】3男3女共6个同学排成一行.(1) 女生都排在一起，有多少种排法？(2) 女生与男生相间，有多少种排法？(3) 任何两个男生都不相邻，有多少种排法？(4) 3名男生不排在一起，有多少种排法？(5) 男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种 排法？【解析】(1)将3名女生看作一人，就是4 个元素的全排列，有A4种排法.又3名女生内部 可有A种排法，所以共有A A= 144种排法.(2)

18、 男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有2种插法)，所以女生与男生相间共 有2A - A = 72种排法.(3) 女生先排，女生之间及首尾共有 4个空隙，任取其中3个安插男生即可，因而任何两个 男生都不相邻的排法共有 A A4= 144种.(4) 直接分类较复杂，可用间接法.即从6个 人的排列总数中，减去3名男生排在一起的排法 种数，得3名男生不排在一起的排法种数为 A6 A3Ai = 576 种.(5) 先将2个女生排在男生甲、乙之间，有A2种排法.又甲、乙之间还有A2种排法.这样就有 A A种排法.然后把他们4人看成一个元素(相 当于一个男生)，这一元素及另1名男生排在首 尾，有A

19、2种排法.最后将余下的女生排在其间， 有1种排法.故总排法为AeAeAe= 24种.【点拨】排列问题的本质就是 “元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主 要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位 子上，某些元素“相邻”或“不相邻”对于这 类问题，在分析时，主要按照“优先”原则，即 优先安排特殊元素或优先满足特殊位子，对于“相邻”问题可用“捆绑法”，对于“不相邻” 问题可用“插空法”对于直接考虑较困难的问 题，可以采用间接法【变式训练2】把1,2,3,4,5 这五个数字组 成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的 顺序排列构成一个数列.(1) 43 251是这个数列的第几项？(2

20、) 这个数列的第97项是多少？【解析】(1)不大于43 251的五位数A - (A4+ A3+ A2) = 88个，即为此数列的第88项.(2) 此数列共有120项，而以5开头的五位 数恰好有A4= 24个，所以以5开头的五位数中 最小的一个就是该数列的第97项，即51 234.题型三 有限制条件的组合问题【例3要从12人中选出5人去参加一项 活动.(1) A, B, C三人必须入选有多少种不同选 法？(2) A, B, C三人都不能入选有多少种不同 选法？(3) A, B, C三人只有一人入选有多少种不同选法？(4) A, B, C三人至少一人入选有多少种不同选法？(5) A, B, C三人

21、至多二人入选有多少种不 同选法？【解析】(1)只须从A, B, C之外的9人中 选择2人，C9= 36种不同选法(2) 由A, B, C三人都不能入选只须从余下 9人中选择5人，即有6= 6= 126种选法.(3) 可分两步，先从 A, B, C三人中选出1 人，有d种选法，再从余下的9人中选4人，有 C9种选法，所以共有 C - C4= 378种选法.(4) 可考虑间接法，从12人中选5人共有 戊种，再减去A, B, C三人都不入选的情况C9, 共有C52- C9= 666种选法.(5) 可考虑间接法，从12人中选5人共有 戊种，再减去A, B, C三人都入选的情况C2种， 所以共有 出C9

22、 = 756种选法.【点拨】遇到至多、至少的有关计数问题,可以用间接法求解对于有限制条件的问题，一般要根据特殊元素分类【变式训练3】四面体的顶点和各棱中点共有10个点(1) 在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法？(2) 在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法？【解析】(1)四个点共面的取法可分三类 第一类：在同一个面上取，共有4C4种；第二类： 在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点， 共有6种；第三类：在六条棱的六个中点中取， 取两对对棱的4个中点，共有6= 3种.故有69(2)用间接法.共Clo 69= 141种.解有条件限制的排列与组合问题的思路：(1) 正确选择原理，确定分类或分步计数;(2) 特殊元素、特殊位置优先考虑；(3) 再考虑其余元素或其余位置.12.3 二项式定理典例精析题型一二项展开式的通项公式及应用【例1】 已知(坂圧)的展开式中，前三项 系数的绝对值依次成等差数列.(1) 求证：展开式中没有常数项；(2) 求展开式中所有的有理项.【解析】由题意得2cn 1 = 1+c2 (-2)2,即 n 9n+ 8= 0,所以 n= 8, n= 1(舍去).所以Tr + 1= C8(仮)8(務)r8 rr=(2) c8 x刁rr16 3r=(1) C8 xF(o r 8, r Z).16 3r(1) 若Tr +1是常数项，则4= 0, 即卩163r =