构建仿射坐标系解题

1、构建仿射坐标系解题 湖北省阳新县高级中学邹生书 直角坐标系和斜角坐标系统称为仿射坐标系，直角坐标系是仿射坐标系的特例，斜角坐 标系是直角坐标系的类比推广 本文通过类比直角坐标系下点的坐标、向量坐标、直线方程 等有关知识，构建仿射坐标系解决向量共线、向量线性表示以及线性规划等有关问题 一、仿射坐标系下的向量共线问题 我们知道在直角坐标系下共线向量有如下结论：若 it = -i-.h = r. ，则 叮O同样在仿射坐标系下此结论仍然成立。 例1已知向量. -I:.-:.程+小|,则实数的值是（） 18 解法1 （常规解法）因 和胚厂2）二炉3,1-恥）.又（-/+$）（：+励，所以 -二1 -厂，

2、解得_，故选 解法2由 一 （切）宀（1厂2） ,知也不共线，以原直角坐标系的原点 0作为原点, 以 作为单位基底建立仿射坐标系兀创,则-2q+3 = （-2M +熾=（1Q，因为 一 一一 一Jc = - 一 .，Q,所以， ，所以1 ,故选 例2已知向量丿暑 -二-1 +其中札L不共线，向量=-1 -问是 解法 1 （常规解法） 因为：I 二二 匚-I Mi*. !，若与：共线，因匚二A *，：；：，所以存在实数打，使 12/?+ 2# = 2k 得心 m ,即；】“；：+，“打1作为单位基底 建立仿射坐标系-.，贝y一匕 :-，同法 1 得 d 二加+二（22+2“”+（-?刃+3月）附

3、=（22+ 2 月厂 32+眾） 若向量J与共线，则 .一 一 ：!_.：, 解得丨,故存在这样的非零实 数：，只要：，就能使向量:与共线. 、仿射坐标系下向量的线性表示问题 例3如图1,在山1：中，工二-二：，：“，丄和匸交于点丄试用向量 .h 和_表示向量：广 解 以二为坐标原点，以 丿宜二二 作为仿射坐标系的单位基底, 建立平面仿射坐标系如图 1 所示.因为丄一，所以 胞加必孰叫）.所以直 线丄在仿射坐标系下的“截距式”方程为 y-1 - 4 - x y . + = 1 1 1 直线二 在仿射坐标系下的“截距式”方程为即:,.解得 討冷,则点F的坐标为（冷 所以丽二岭存存冷疋 例4在平行

4、四边形中, 与相交于点，若 2- 3- B.-aA-一b 77 C-a-b 77 4- 2- D-a+-b 77 解 以为坐标原点，以I二-作为仿射坐标系的单位基底，建立平面仿射坐标系 如 图 2 所 示 AE-AB.AF =-AD 34 所以直线八仿射坐 标系下的“截距式”方程为 x y . _ + =1 1 1 4即x+y = 1.直线翅 在仿射坐标系下的“斜率” ,1-03 七=- 1-1 2 为匚，故直线 匸在仿射坐标系下的“点斜式”方程为-1 :.解 3 X v _ 得，则点丨的坐标为-，所以 （-1）丽二（3 丄）二盒+士 J - s7 777 三、仿射坐标系下的线性规划问题 下面

5、在类比思想的引领下用仿射坐标系下的线性规划解法解一类向量创新问题 例5（2011南昌联考）已知 -是内任一点（不包括三角形边上的点），且满足 二:二_ =二一，则丄 1 的取值范围是. 3所示，设 解 以为原点以r 1作为：轴：轴上的单位向量建立仿射坐标系如图 n-2m-y-2 则丄，又因为加山二L二匸，于是有 ： = .J ；，则 ，设：J - 即；-亠该方程表示直线.，当直线.过点时， -，当直线过点 -I：时，-。因一是一 内任一点，所以的取 值范围是 .-I. 1的两个向量 例6（2009年高考安徽理科第14题）如图4，给定两个长度为 它们的夹角为一一，点在以J为圆心的圆弧 TF上变动

6、，若-1，其中 二，则v的最大值是 解 以J为原点以1 -t - S作为丄轴轴上的单位向量建立仿射坐标系如图5所示.设 ；：则 l_.i -，又因为 1匸-d 工=-；二-j，于是有，则 -1 -； ，设八丁该方程表示直线-匚.而直线J的方程是-/1, 所以平行于，当直线.与圆弧相切于点 叫） 时，直线.在轴上的截距最大， -：-,故- V的最大值是2. 例7（2011年唐山市）在平行四边形 二丄二中，分别为上 二”的中点，记丄一二- 解以为原点以r :作为丄轴轴上的单位向量建立仿射坐标系如图6所示, 设匸广则二I ，又因为 ml：工川，于是有二；二；， _2 +疋 则 二+一一二，设一即:一

7、 J s该方程表示直线.，因为直线.的“斜 217 率-，所以当直线.过时，“I。 DC 例8如图7,正六边形 丄二一中，一是丄一 内（包括边界）的动点，设 肚二盘肿+ 0肿（G,加R）,则G+0的取值范围是_ 解 如图8,以为原点以厂l作为：轴轴上的单位向量建立仿射坐标系设 厂则匸.：广，又因为IT -；ZT=：; w 于是有；】，. .：，则 1: I ,设二门该方程表示的直线.与直线丄 .T -平行.由图2知, 卫二， 当直线 .与丄重合即直线.过点: 时在轴上的截距_最小，-H-. 当直线.过点 恥2） 时在轴上的截距最大，战=4，故G+0的取值范围是24 例9（06年湖南高考题改编）

8、如图9, 0MD血 ，点在由射线_匸线段一 1及丄的延 ,二八丨1 -.实数对二F可以是 1 x = （2）X的取值范围是 ；当 2时，的取值范围是. 解（特殊化）特别地，取 CM=05=l 且 0AL0B 并建立直角坐标系如图 i所示，则 工一一-:I .又直线一弓 的方程为 丫二匚，直线的方程为 . 111,因点厂在阴影区域内，所以 斗+八0 x+y-10 xQ，经检验知，应选C. 和，由图12知, 因直线1与直线八的和直线.丨交点的纵坐标分别为 1 X 当 时，的取值范围是 图 图10 坐标法是数学方法中最重要的方法之一，解析几何的核心思想是“坐标法”，坐标法就 是数形结合思想的体现综上

9、所述，构建仿射坐标系解决向量共线、向量线性表示以及线性 规划等有关问题具有独特的解题功能，方法坐标化运算化、解法直观快捷，学生容易掌握便 于运用“仿射坐标系”是在学生熟悉的“直角坐标系”相关知识和思想方法的类比拓展，符 合“最近发展处”的理论要求 构建仿射坐标系解题，同时也是培养学生类比推理能力、知 识思想方法迁移能力和创新思维能力的良好载体 梦的森林 封歌从我的梦中出来，第一下没站稳，在电棒上撞得“梆”的一响。那时候我正在看一本封 面新潮的小说集，书里说： “打开闸门，金黄的托盘铿然有声，鲜活血肉从漏斗里涌下来， 一部分被骨头卡住了” ，所以我听到“梆”的一响，感到很恐怖。 封歌说，嗡嗡 嗡嗡嗡嗡 嗡。 我说，说人话。 封歌说，我本来就是一个蜂子。 我说，我让你说人话你就说人话，我让你说疯话你就说疯话。 封歌说，我说蜂话，但不是疯话。 我说，不乖吗。 封歌说，你没问我就叫我丰歌。 我说，你本来是我猜