3.2空间向量在立体几何中应用

1、3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程学习目标1. 掌握直线的方向向量、直线的向量方程有关概念，并会用数学语言表述2. 能正确运用向量方法证明线与线、线与面、面与面的平行和垂直关系3. 能根据具体问题合理选定基底教学过程1. 用向量表示直线或点在直线上的位置在平面向量的学习中，我们得知 M、 A、B 三点共线 A 、 B 是直线 l 上任意两点。 O是 l外一点 .动点 P 在 l 的充要条件是 OP （1t）OAt OB.(tR) ，称作直线 l 的向量参数方程式，实数 t叫参数。给定一个定点 A 和一个向量 a，如图所示，再任给一个实数t, 以 A 为

2、起点作向量APta.这时点 P 的位置被完全确定，容易看到，当t 在实数集 R 中取遍所有值时，点P 的轨迹是一条通过点 A 且平行于向量a 的一条直线 l. 反之，在直线 l 上任取一点 P，一定存在一个实数 t ，使 AP ta.向量方程通常称作直线l 的参数方程。向量a 称为该直线的方向向 量。注: 向量方程两要素 : 定点 A, 方向向量 a t 为参数 , 且 t 是实数 ,t0AP 和 a同向t0AP 和 a反向直线的向量方程 , 还可作如下的表示 : 对空间任一个确定的点O(如图所示 ),点P 在直线 l 上的充要条件是存在惟一的实数t, 满足等式OPOAta.如果在 l 上取

3、AB a, 则式可化为 OPOA t ABOAt (OBOA)即 OP(1 t )OA tOB.或或都叫做空间直线的向量参数方程注 : 当 t= 1 时 , OP1 OA1 OB . 此时 P 是线段 AB的中点 , 这就是线段 AB中点2221/15的向量表达式 . 中OP、OA、OB 有共同的起点 . 中OA、OB 的系数之和为1.例 1已知点 A(2 ， 4， 0) ， B(1 ，3， 3) ，以 AB 的方向为正向，在直线 AB上建立一条数轴， P，Q 为轴上两点，且分别满足条件（1） AP： PB=1： 2；（ 2） AQ：QB= 2，求点 P 和点 Q 的坐标。2. 用向量方法证明

4、空间中有关平行的问题（ 1）线线平行与向量的关系设直线和的方向向量分别为和，则l 1 / l 2或l 1与 l 2重合v1 / v2，v1v2 (v20)证明两直线平行方法思路：在两直线上分别取不同的两点，得到两向量，转化为证明两向量平行。（2）线面平行与向量的关系已知两个不共线向量和与平面共面，一直线l 的一个方向向量为，则l /或 l!实数对 x, y，使 vxv1yv2 .证明线面平行的方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行。（3）面面平行与向量的关系已知两个不共线向量和与平面共面，/或与重合v1 /且 v2 /.证

5、明面面平行的方法思路：求两平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行。AD例 2如图，已知正方体ABCD A BC D，点 M，N 分别是面对角线A B1与面对角线A C 的中点，求证：MN/侧面 AD；MN/AD；并且 MN=AD .2NBM CADBC2/153. 用向量方法证明两直线垂直或两直线成角的问题设两条直线所成的角为( 锐角 ) ，则直线方向向量间的夹角与 相等或互补线线垂直、线线成角与向量的关系：设直线和的方向向量分别为和，则l 1l 2v1v2 , cos| cosv1 , v2|.（1）用向量法证两直线垂直的步骤：A. 不以共面的三向量为基底，B. 用基底表示欲证的

6、两直线的方向向量，C.验证这两个方向向量的数量积为零。注：空间四边形中，有两组对边垂直，则第三组对边也垂直。例4.如图, 直三棱柱 ABC A1 B1C1, 底面 ABC中,CACB1,BCA90 ,棱AA12, M、N分别是 A1 B1、A1 A的中点 .(1) 求 BN的长；(2) 求 cos BA1 CB1 的值；(3) 求证A1B C1M .解：以 C为原点，CA、CB、CC1所在直线为 x、 y、 z轴建立如图空间直角坐标系 O xyz.(2) 依题意有 A1 (1,0,2), B(0,1,0),C(0,0,0), B1(0,1,2),BA1(1,1,2),CB1 (0,1,2),

7、BA1CB1 3, BA16, CB15.cosBA1CB1BA1CB1130.BA1CB1 10(3) 依题意得 C1(0,0,2), M ( 1 , 1 ,2),22A1B( 1,1 ,2),C1 M(1,1,0)22A1B C1 M1100，22A1BC1M .小结：1. 直线的向量方程；2. 用向量方法证明直线与直线平行；3. 用向量方法证明直线与平面平行；4. 用向量方法证明平面与平面平行；5. 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角；6.A ， B， C，三点不线，四点A ， B， C， M 共面的充要条件。3/153.2.2 平面的法向量与平面的向量表示学习目标1 、理解

8、平面的法向量的概念，了解平面的向量表示式2 、掌握线面垂直的判定定理以及三垂线定理和三垂线定理的逆定理3 、会证明两平面的平行和垂直重点：平面法向量的概念及应用，正射影的概念，三垂线定理及逆定理。难点：平面法向量的理解及灵活运用，三垂线定理的证明思路及三垂线定理的应用。教学过程1 、法向量的概念定义 ：已知平面，如果向量n 的基线与平面垂直，则向量n 叫做平面的法向量或说向量 n 与平面正交。2 、直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面已知： a,b 是平面内的两条相交直线，且直线na, nb求证： . n证明 ：见课本思考： 设 A 是空间

9、任一点，n 为空间内任一非零向量，适合条件AMn0 的点 M的集合构成什么样的图形？结论： 设 n1, n2 分别是平面,的法向量，则有/或与重合n 1 / n 2n 1n 2n 1 n 20例 1：已知点 A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),其中 abc0 ，求平面 ABC的一个法向量反思与变式练习（1）、已知正方体ABCDA B C D ，写出平面 ABC和平面 AB C 的一个法向量（2）、已知平面经过点 O（ 0,0,0），且 e =（ 1,1,1 ）是 的法向量， M（ x,y,z ）是平面内任意一点，则x,y,z 满足的关系式是 _（3）、已知 A(3,0,0),

10、B(0,4,0),C(0,0,5),求平面 ABC的单位法向量3 、正射影定义 ：已知平面和一点 A, ，过点 A 作的垂线 l 与相交于点A ，则点 A 就是点 A 平面内的正射影 ，以下简称 射影。平面内的任一点在内的射影都是它自身。图形 F 上所有的点在平面内的射影所成的集合F ，叫做图形F 在平面内的射影如果一条直线 AB和平面 相交于点 B，但不和 垂直，那么直线 AB叫做 这个平面的斜线。斜线和平面的交点 B 叫做斜足 ，斜线上一点 A 与斜足 B 之间的线段叫做 斜线段 AB。4/154 、三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂

11、直三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直例 2已知： AB，AC 分别是平面的垂线和斜线，BC 是在内的射影， l且lBC 。求证： lAC反思与变式练习如果在三垂线定理中，已知条件改为： 直线 l / 平面，并且直线 l 垂直于斜线AC在平面内的射影BC，直线 l 是否还垂直与斜线AC？、如图，在RtABC 中，C90 ， PC平面 ABC ，则其中（ 1）与 PC垂直的直线有 _（ 2）与 AP垂直的直线有 _（ 3）直角三角形有 _2、设平面的法向量 (1,2,-2),平面的法向量（ -2 ， -4 ， k）若/，则 k 等于

12、_zDC，则 k 等于 _若AB3、已知正方体ABCD A BC D中，E, F分别为 BB , CD 的中点，DCy11111求证： D1F平面 ADE 。ABxz4、已知正方体ABCDA B C D . 求证：平面AB D / 平面 BDC .S5、如图，底面ABCD 是正方形，SA底面 ABCD ，且 SAAB ， E 是 SC 中点 .AEDy求证：平面BDE平面 ABCDBCx3.2.3 直线与平面的夹角教学目标知识目标：（理解定义、会求角）1.理解斜线与平面所成角的定义，体会夹角定义的唯一性，合理性；2.会求直线 AB 与平面 所成的角。能力目标（定性到定量）1.培养构建能力、转化

13、与化归能力、观察思考能力和空间想象能力；2.体验从“定性”推理到“定量”计算的转化，提高分析情感目标（热情与主动）1.激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；2.感受和体会数学与生活的密切关系，激发“学数学用数学”的热情。教材分析地位：线面夹角是立体几何的重要概念，求线面夹角是立体几何在新教材高考中命题的热点5/15内容之一。作用： 与异面直线所成角、 二面角共同构成立体几何求角问题的主体内容， 对思维形式由空间向平面转化，构建数学模型、向量应用都起到了深化的作用。重点：1. 斜线和平面所成的角（或夹角）的概念；2. 如何求斜线与平面所成的角。难点：1. 斜线与平面所成的角的求解；2.

14、 构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及法向量的坐标。教学过程一.复习斜线在平面上的正射影一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线， 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影。二 .新课引入1. 直线与平面所成角思考：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段AB、AC、AD、AE 中，那一条最短？回答：垂线段比任何一条斜线段都短；射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；概

15、念：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫做这条斜线和这个平面所成的角 ( 斜线与平面的夹角 ) 。一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 0 的角；一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；直线和平面所成角的范围是0 ，90 。2. 最小角定理思考：学生活动创设情境，思考笔座能联系立体几何中的哪部分内容？（引出直线与平面的位置关系）问题 1：直线与平面斜交时，直线与平面的夹角该怎样来定义呢？问题 2：如图，从直观上，斜线 OA与平面内的这些直线哪一个成的角最小？为什么？6/15在直线 OM上取单位向量 m ，则 BAm ，即 BAm 0 。OAOBBAOAmOB m BAm因

16、此 OAmOBm由于 m 是单位向量，故有| OA | cos| OB |cos2cos| OB | cos 2A|OA |OB |cos1O|OA |1Bm2所以M向量证法因为，所以，又因为在第一象限单调减，所以。概念（最小角定理） ：斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角。3. 求直线与平面所成角的基本方法(1) 几何求法：找出 A1B 在平面 A1B1 CD内的射影正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求 A1B与平面 A1B1CD所成的角。解：连接 BC1，交 B1 C于M，连接 A1M。在正方体 ABCD-AB C D 中，各面均为正方形，设其棱长

17、为a1111A1B B1C1A1B1B1 BA1B1 平面BCC1B1D1C1B1C1B1B B1A1B1BC1平面 BCC 1 B1MA1 B1BC 1DCBC1B1CB1C 平面A1B1CDA BBCBA1111B所以 A1M是 A1B在平面 A1B1CD内的射影。几何求法(2) 向量求法：利用法向量与直线上向量所成角设斜线的方向向量为a，平面的法向量为n，则向量a 与 n 的夹角为，7/15正方体 ABCD-A B C D 中，求 A B与平面 A B CD所成的角。1111111解：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，则A1(1,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1),C(0

18、,1,0),D(0,0,0)A1B(0,11),DA1(1,0,1),DC (0,1,0)z设平面 A1B1CD的法向量为 n( x , y, z)D1C1A1B1nDA1xz 0nDCy0令 z1 则 n(1,0, 1)DnCy(1,0, 1)(0,1, 1)11An ABBx| |2n1AB向量求法三.例题例 1. 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱 PD底面 ABCD，PD=DC， E 是 PC的中点，(1) 证明： PA平面 EDB；(2) 求 EB 与底面 ABCD所成的角正切值。例1. 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱 PD底面

19、 ABCD， PD=DC， E是 PC的中点，(1) 证明： PA平面 EDB；(2) 求EB与底面 ABCD所成的角正切值。(1) 证明：连结 AC交BD于 F，连结 EF。底面 ABCD为正方形， F为 AC中点，P E为 PC中点， EF/PA ，EPA平面 EDBCBEF平面 EDBEF / 平面 EDBFDA例 1. 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱PD底面 ABCD，PD=DC，E是 PC的中点，(1) 证明：PA平面 EDB；(2) 求EB与底面 ABCD所成的角正切值。(1) 证明：以 D为圆心， DA，DC，DP分别为 x轴， y轴， z轴建立空间

20、直角坐标系。设PD=DC=2，则zD(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),PP(0,0,2),E(0,1,1)yPA(2,0,2), DE(0,1,1),DB(2,2,0)EC设PAxDE yDB2 y 2x2x2 y01DAx2yBx几何解法x, yR,PAxDEyDB向量解法例 2. 直三棱柱中， OO1=4，OA=4，OB=3， AOB=90， D 为线段 A1B1 的中点， P 是棱BB1 上一点。 若 OP BD，求 OP与底面 AOB所成角大小。 ( 结果用反三角函数值表示)8/15例 1. 直三棱柱 ABO A1B1O1 中， OO1=4， OA=4， OB=3，

21、AOB= 90 ， D为线段 A1 B1的中点， P是棱 BB1上一点。若 OP BD，求 OP与底面 AOB所成角大小。 ( 结果用反三角函数值表示)解：以 O为原点，分别以 OB， OA， OO为 x轴， y轴， z轴建立空间1直角坐标系，则O1zA1O(0,0,0),A(0,4,0),B(3,0,0),O1 (0,0,4), A1 (0,4,4),B1 (3,0,4),B1DD ( 3 ,2,4)设 P(3,0,z)则23POP(3,0, z), BD(O,2,4)A29ByOPBD ,OPBD4z 02z98x向量解法四 .小结：1. 直线与平面所成的角的概念；2. 了解最小角定理；3

22、. 会用“几何法”和“向量法”解决求直线与平面所成角的相关问题。3.2.4 二面角以其度量学习目标：1、 知识与技能目标：了解并掌握二面角的定义及其度量方式，会用定义法和向量法求二面角；2、 过程与方法目标：培养观察、分析与推理、从特殊到一般的探究能力和空间想象能力；3、 情感态度价值观目标：培养主动获取知识的学习意识，激发学习兴趣和热情。重难点：1、 重点：定义法和向量法计算二面角的大小2、 难点：做出二面角的平面角三、教学过程1. 二面角：平面内一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱， 每个半平面叫做二

23、面角的面。 棱为 l ，两个面分别为 ， 的二面角，记作 l ，二面角也可以记作 A l B。2. 二面角的表示方式：9/150，不大于 180。 即 0 180 , 互相垂直的平面也就是相交成直二面角的两3. 二面角 l 的平面角在二面角 l 的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线 OA l ， OBl , 则 AOB叫做二面角 l 的平面角 ，显然，这个平面角与点O在 l 上的位置无关 .二面角的平面角必须满足：1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内3）角的边都要垂直于两面角的棱4） 范围:0,ADOBC4. 二面角的大小二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，

24、就说这个二面角是几度。我国发射的第一颗人造卫星的倾斜角是68.5 ，这个倾斜角指的人造卫星的轨道平面与地球的赤道平面所成的角。本书中，我们约定，二面角不小于平面角是直角的二面角叫做直二面角个平面。我们可以用向量的夹角来研究二面角的性质及其度量：10/15如图所示，分别在二面角l的面 ， 内，并且沿 ，延伸的方向， 作向量 n1 l， n2 m 2l，则我们可以用向量 n1 与 n2 的夹角来度量这个二m 1n 2面角。D如图，设 m1 ， m2 ，则角 与ln 1该二面角相等或互补。C5. 二面角的求法（ 1）垂面法（定义法）：根据定义 , 找到二面角的棱垂面即可得平面角 , 解三角形求其大小

25、 .例 1：在正方体AC1中，求二面角D1 AC D的大小？例 2： ABC中 ,AB BC,SA 平面 ABC,DE垂直平分 SC,又 SA=AB,SB=BC,求二面角 E-BD-C的大小 ?（ 2）垂线法 （三垂线定理或逆定理）：垂连求角11/15（ 3）三垂线法 : 首先找其中一个半平面的垂线 , 找不到垂线找垂面 ( 指其中一个半平面的垂面 ), 找到垂面作垂线 , 构造三垂线定理或逆定理条件得平面角.例 1：三棱锥 P-ABC中， PA 平面 ABC， PA=3， AC=4， PB=PC=BC，求二面角 A-PC-B 的大小例 2：如图，三棱锥 P-ABC中，面 PBC面 ABC，

26、PBC是边长为 a 的正三角形， ACB= 90， BAC=30， BM=MC。（1）求证： PB AC （ 2）二面角 C-PA-M 的大小 。（ 3）射影法：是不找平面角求二面角的一种方法例 1：已知：如图 ABC的顶点 A 在平面 M上的射影为点A ， ABC的面积是S， ABC的面积是S ，设二面角A-BC-A 为。求证： COS= S S12/15例 2：在正方体AC1 中， E,F 分别是中点 , 求截面 A1ECF和底面 ABCD所成的锐二面角的大小cos| cosa, b|6. 面面角的求法（ 1）法向量法： 一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角

27、（ 2）方向向量法： 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。coscos AB,CDAB CD小结：1. 异面直线所成角：2. 直线与平面所成角：3. 二面角 :coscos AB, CDABCDAB CDABCD13/153.2.5 距离（选学）（缺学习目标）一、复习引入什么是距离？二、提出问题几何的基本元素是点、线、面、体，在几何学中我们研究距离实质上就是研究空间图形与图形之间的距离问题，包括点与点之间的距离；点与直线间的距离； 点与平面之间的距离；直线与平面之间的距离和两个平面间的距离。如何给这些距离下定义呢？怎样计算这些距离呢？三、概念陈述1

28、. 距离的几何定义：在几何学中，一个图形 F1 内的任意一点与另一个图形 F2 内的任意一点的距离的最小值，叫 做图形与图形的距离。计算两点间的距离和线段的长度是几何度量最基本的课题。计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点间的距离。例 1：已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=4，AD=3，AA1=5， BAD=90， BAA1= DAA1=60，求 AC1 的长。分析：求 AC1 的长，实质上就是计算 A， C1 两点的距离，从向量角度看，就是计算 AC的长度。2. 点到平面的距离定义：过平面外一点P，有唯一的一条直线PA 垂直 ，设 A 为垂足， B 是平面 内异于 A 的任意一点，易知 PA PB。也就是说，连接平面 外一点 P 与 内任意一点的所有线段中，垂线段 PA 最短。一个点到它在一个平面内正射影的距离， 叫做点到这个平面的距离。求法：（ 1）利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度。（ 2）等