北交大激光原理第4章Suggestsforsolvingproblems

1、第三章 光学谐振腔理论 一、 学 习要求与重点难点 学习要求 1 了解光学谐振腔的构成、分类和模式等基本知识，及其研究方法。 2 理解腔的损耗和无源腔的单模线宽。 3 掌握传播矩阵和光学谐振腔的稳定条件。 4 理解自再现模积分本征方程，了解针对平行平面腔模的数值迭代解法，理解针对 球面对称共焦腔模式积分本征方程的近似方法及其解。 5 掌握等价共焦腔方法，掌握谐振腔的模式概念和光束特性。 6 掌握高斯光束的描述参数以及传输特性； 7 理解 q 参数的引入，掌握 q 参数的 ABCD 定律； 8 掌握薄透镜对高斯光束的变换； 9 了解高斯光束的自再现变换，及其对球面腔稳定条件的推导； 10理解高斯

2、光束的聚焦和准直条件； 11了解谐振腔的模式匹配方法。 12了解非稳腔的模式理论。 重点 1 谐振腔的作用，谐振腔的构成和分类，腔和模的联系； 2 传播矩阵分析方法； 3 光学谐振腔的稳定条件； 4 模自再现概念； 5 自再现模积分本征方程的建立，及其近似； 6 球面对称共焦腔积分本征方程的近似方法，及其解； 7 谐振腔的横纵模式和光束特性； 8 稳定谐振腔的等价共焦腔。 9 高斯光束的传输特性； 10 q 参数的引入； 11 q 参数的 ABCD 定律； 12 薄透镜对高斯光束的变换； 13 高斯光束的聚焦和准直条件； 14 谐振腔的模式匹配方法。 难点 1 传播矩阵的近似； 2 非稳腔；

3、3 模自再现概念； 4 自再现模积分本征方程的建立； 5 球面对称共焦腔积分本征方程的近似方法，及其解； 6 谐振腔的横纵模式和光束特性； 7 q 参数，及其 ABCD 定律； 8 薄透镜对高斯光束的变换； 9 谐振腔的模式匹配。 、知识点总结 分立的本征态 （振荡频率，空间分布）f模式的形成J形成驻波T纵模 驻波条件光的频率 3tF 形成 衍射筛选_横模 自再现模了光场横向能量分布 激光模式模式的表示方法：TEMmnq,m, n-横模指数，q-纵模指数 询、人七、+衍射理论：不同模式按场分布，损耗，谐振频率来区分， 有限范围的电磁场二 谐振腔的作用T腔和模的联系U 腔内存在的电磁场 U 反映

4、腔内光场的分布 理论方法T 几何光学+干涉仪理 论：忽略镜边缘引起的衍射效应，不同模式按传输方向和谐振频率区分-粗略但简单明了 光腔的损耗一光子的平均寿命一无源腔的 Q直一无源腔的线宽 共轴球面腔的稳定条件：稳定判据 适用任何形式的腔，只要列岀往返矩阵就能判断其稳定与否 只使用于简单的共轴球面镜腔 （直腔） 1.谐振腔衍射积分方程推导 菲涅尔基尔霍夫积分公式T推广到谐振腔自再复常数因子T自再现模积分方程 求解方法，解析解：特殊腔（对称共焦腔），本征函数一振幅和相位分布（等相位面） I数值求解（数值迭代法）J I本征值-模的损耗、相移和谐振频率 角向长椭球函数；基模：如亠刖尸： 本征函数振幅和相

5、位高阶横模 N不是很小时，厄密高斯函数 相位分布：反射镜构成等相位面 -方形镜: 对 称 共 共 焦 腔 的 自 再 r 单程损耗：:w(z)2 q (z )=if +z =q +z =i 高斯光束通过光学系统的传输规律 遵从相同的变换规律 ABCD公式 将两个参数W(z)和R(Z)统一在一个表达式中，便于研究 -z A； +B 傍轴光线的变换规律芋=一 9D 傍轴球面波的曲率半径R勺变换规律R2=CRTBJ 高斯光束q参数的变换规律q2 =AB 高斯光束q参数的变换规律 已知w0， w0，确定透镜焦距F及透镜距离I，I 已知两腔相对位置固定I。= I I 及w0，w0确定，F如何选择 高斯光

6、束的聚焦：只讨论单透镜 高斯光束的准直：一般为双透镜 ABCD公式、 W囂T高斯光束的模式匹配：实质是透镜变换，分两种情况 高斯光束的自再现变换和稳定球面腔 高斯光束的自再现变扌奂 o 二 Wo or q(I)=q(O) 透镜F =组1+1、ji 丿 球面镜R(l)=l1ii i7、丿 遇2 1 2即F = R(l)= 稳定球面腔 窗2 三、典型问题的分析思路 1 纵模间隔问题 根据纵模频率间隔的公式计算 L-q 问题还可以变为腔长如何选择, 可获得单 R 子午COST。对于在与 2 此垂直的平面内传输的弧矢光线, ，二为光轴与球面镜法线的夹角。 2cos 二 纵模输出等。 2 分析某一谐振腔

7、的稳定性问题 这类问题分三种情况，第一种是只由两个球面镜组成的共轴球面镜腔，可以利用下面 的稳定腔判据公式： 0 gig21 or g =g2 =0 g1 = 1 , g2 1 R1 第二种情况是两个球面镜组成的共轴球面镜腔中插入其它光学元件。这时要首先写出 这个谐振腔的传输矩阵。利用下面的稳定判据公式： 1 -1 2（A D） 1非稳定腔 2 1 -（A D）= _ 1临界腔 分析谐振腔各参数所应满足的条件。 第三种情况是非共轴球面镜腔，如折叠腔和环形腔。求环形腔、折叠腔的往返矩阵时， 要将其化为直腔，如果考虑象散，需要对往返矩阵的修正。对于共轴球面镜腔的近（傍）轴 R 光线f。而对于环形腔

8、和折叠腔（非共轴球面腔），由于象散，球面镜在子午面和弧 2 矢面的焦距不共点。其中子午面为环形回路所在平面，弧矢面为包含回路一边长，垂直于 子午面的平面。对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线, 3 谐振腔损耗问题 光学谐振腔积分方程的特征值一。，它的实部决定腔损耗， 特征值 的虚部决定 Uq 十 - yUqU _ eU e4 P 光波的单程相移。将特征值代入中得：Uq1_e Uqe 。即e 一表示腔内经 单程度越后自再现模的振幅衰减。即的实部决定腔损耗，：表示每经一次度越的相位滞 y 后，所以 的虚部决定的单程相移。 单程相移： 单程损耗：、伽=1 - =1 UmS 1 :为mn 二arga

9、rg；十n mn 共焦腔模的谐振条件 方形镜共焦腔谐振频率V| 2mn = 72；二= 圆形镜共焦腔谐振频率Vmnq mnq C1,八, 27q 2(m n 1) 2CLq 4(m 2n d 4 共焦腔问题 例如求方形镜或圆形镜共焦腔面上各阶（低阶）横模的节线位置。 对于方形镜共焦腔，镜面上的高阶横模与基模光斑尺寸之比为 灶2,昨=.2ni W0s Wos 而圆形镜共焦腔镜面上的高阶横模的光斑半径wpls = 2p+l +ws。只要求得了镜面上 基模光斑的大小，就可求出高阶横模的光斑半径。 我们知道方形镜和圆形镜镜面上基模光斑的大小都为 O Wos 基模光斑尺寸、等相位面的曲 方形镜共焦腔和圆

10、形镜共焦腔的基模光束的振幅分布、 率半径及光束发散角都完全相同。 X2 4y2 基模场振幅分布E00 x,y,z “00E。如e w(z) 基模光斑尺寸 2 二 2、 f2丿 W0- 2 W0 s镜面上基模的光斑半径, Wo高斯光束的基模的腰斑半径，坐标原点选在腔的中心。腰 斑尺寸：Wo = W =镜面上光斑尺寸: 共 w z =w -f =Wos = 焦腔基模体积：V。0二1 L二w0s 2 L2 2高阶模体 积:V；o1L：wmsWn 2m 1 2n 1 ；（模阶次愈高模体积愈大）等相位面 （共焦场的等相位面近似为球面）的曲率半径: R(Zo )= Zo + Zo r . L Zo 二 f

11、 2 R zoi；=2f -L 等相位面与共焦腔镜面重合。 Zo =0 R Zo；Zo ： R Zo:等相位面为平面 对称共焦腔等相位面分布图如图4.1所示。 （共焦腔基模光束）远场发散角：v - lim 2w- 弧 F Z 2 、 1 +Z f2丿 8 = 0.939 l 5般稳定球面腔问题 可以借助于其等价共焦腔行波场的解析解的特性表达出来，此处可参考教科书。 6 非稳定谐振腔问题 关于非稳定谐振腔的问题主要包括求出共轭像点 P和P2的位置；计算非稳腔的能量损 耗率、几何放大率等。 共轭像点Pi和F2的位置分别为li2，由球面镜成像公式 1 丄 L l2 l1 2 R2 2 Ri 解得:

12、li I2 几何放大率 镜Mr的单程放大率mi|=1 a1 镜M 2的单程放大率 m2 = 2 非稳腔对几何自再现波型在腔内往返一周的放大率 M = mim2 对望远镜非稳定腔(实共焦腔和虚共焦腔) m1 m2 a2 a2 ：_Rl R2 -L( L_R2)+Jl( L_R)( L_R2)( L_R_R2) 2L - R| - R2 L( L 一RJ+ i. L( L-R)(L 一R2)( L 一 R 一R2 21_一尺 一 1 求此激光器的最高横模 求 .p和.(z)的关系。 2) 如果测量到A点光斑光强下降到最大值的一处的半径为-T， 2 六、部分答案 1. 光学谐振腔的作用。是什么？ 解

13、题思考： 关键概念：光学谐振腔 答：一是提供正反馈，二是控制振荡模式特性。 2. 光学谐振腔的构成要素有哪些，各自有哪些作用？ 解题思考： 关键概念：光学谐振腔，构成要素，作用 答：光学谐振腔的构成要素有：是否有边界、是否有反射镜以外的反射面、反射镜外形、 反射镜面形状、镜曲率半径与腔长关系。 是否有边界，决定光学谐振腔是否是封闭腔、波导腔或开式腔；是否有反射镜以外的反 射面，决定光学谐振腔是复合腔还是简单腔；反射镜面形状，决定光学谐振腔是球面腔、 非球面腔，以及是否是双凹腔、平凹腔、平平腔、凹凸腔、双凸腔；镜曲率半径与腔长 关系，决定光学谐振腔是稳定腔、临界腔或非稳腔。 3. C02激光器的

14、腔长L = 1.5m，增益介质折射率 n= 1,腔镜反射系数分别为 r1 = 0.985, r2 = 0.8，忽略其它损耗，求该谐振腔的损耗,光子寿命R , Q值和无源腔线宽 小。 解题思考: 关键概念： 谐振腔单程损耗因子 、光子寿命Tr、Q值和无源腔纵模线宽 也牛，腔镜反 射系数，CO2激光器的波长 1 1 关键公式：=丄|门 2 牡2 L c 4二 L In 1 r1r2 , 111 1 解：InIn0.119 2 r1r220.985 汉 0.8 L 1.5 0.119 3 108 -4.2 10“(s) =2血I o=2兀 x4.10_8 x R 3 108 10.6 10“ = 7

15、.47 106 R C In3 10 In -3.8 106(Hz) 4二 Lr24二 1.5 0.985 0.8 。折射率分别为1, 2的两介 心1 4.证明：下图所示的球面折射的传播矩阵为 质分界球面半径为 R。 解题思考: 关键概念： 折射，传播矩阵 关键公式： si n q = 口2 sin v21 证: 两介质分界球面光线出射处：ri = rz(1) n sine 日 由折射定律和旁轴光线近似：二二岂2!(2) 3sin日2日2 f r I P = =日2 + 日 以及入射、反射和折射光线间的几何关系：R2 z 3二2冃千 卜= 式(1)联立解得：1. R 22 上式写成矩阵形式：

16、1 n n 门 i H_1 dM 2 证毕 5.证明：下图所示的直角全反射棱镜的传播矩阵为 。折射率为的棱镜高do 解题思考： 关键概念：传播矩阵 关键公式：各向同性自由空间传播传输矩阵: ，平面镜反射传播矩阵：I1 01 , ：0 1 一 _1 0 1 平面界面透射传播矩阵: 一0十 关键点：以光线传播顺序对相应光学元件的传播矩阵进行逆序乘积。 解：设图中棱镜材料中光垂直方向传播距离为 21 1 O - -n J O 1 1 O- 1 O - -1J O 1 O- 6.导出下图中1、2、3光线的传输矩阵。 R - 1 01 1 I 01 - 1 01 2 1 ，平面镜反射传播矩阵： ，球面界

17、面透射传播矩阵： 门2 n ni R 0 1一 1 n2R I1 L 球面界面反射传播矩阵: 0 1 一 关键点：以光线传播顺序对相应光学元件的传播矩阵进行逆序乘积。 光线 1： 光线 2： 光线3： n IL-r 1 0 01 1 d 1 1o 01 d 仃 nR 01 1 nR I n T 一 R 0 1 + 1 = n_ dl n -1 2d nR 甲2d R2 2d 2d nR 解题思考： 关键概念：传播矩阵 关键公式： 各向同性自由空间传播传输矩阵: 解:设图中透镜材料的折射率为 n -1 2 7.已知两平板的折射系数及厚度分别为n1, d1，n2，d2。(1)两平板平行放置，相距I

18、, (2) 两平板紧贴在一起，光线相继垂直通过空气中这两块平行平板的传输矩阵，是什么 解题思考： 关键概念：传播矩阵 关键公式：长方体传播传输矩阵: 1 n ,各向同性自由空间传播传输矩阵： ? L1 11 1 1一 j 0-1 平面界面透射传播矩阵：0 R 关键点： 以光线传播顺序对相应光学兀件的传播矩阵进行逆序乘积。 解： 1 - ni 0 1B 1 0 dJ虫1 n2n,= 1 j LO 1 J .0 d d n1n2 1 01 ；1 d2 !0 n2 _ b 1 一 另法解: I0訝0讣机n2j 8.光学谐振腔的稳定条件是什么，有没有例外？谐振腔稳定条件的推导过程中，只是要求 光线相对

19、于光轴的偏折角小于90度。因此，谐振腔稳定条件是不是一个要求较低的条 件，为什么? 解题思考: 关键概念： 关键公式： 光学谐振腔，光学谐振腔稳定条件 ；rn+ A CTJI D. An Cn 1 r1 _Bn Dn . |占 答：光学谐振腔稳定条件是 0：g1g2 1o 这是一个要求很高的条件，没有例外。这是因为，在导出这一稳定条件时，尽管只是要求光 线相对于光轴的偏折角小于90度，并没有限定光线的往还次数，因此这是一个严苛的条件。 9.有两个反射镜，镜面曲率半径，R仁50cm , R2=100cm，试问： (1) 构成介稳腔的两镜间距多大 ？ (2) 构成稳定腔的两镜间距在什么范围？ (3

20、) 构成非稳腔的两镜间距在什么范围？ 解题思考： 关键概念： 光学谐振稳定条件：0： g1g2 : 1g1 Lg2 =1 L R1r2 关键公式： 稳定腔：0 ： g : 1，介稳腔：g =0或g =1，非稳腔：g ： 0或 glg21 解: =0，解得：L =100或L = _50 （无物理意义，舍弃 （1）由 g1g0，有（1 -）（1 一 命 由g-i g2 = 1，有（1 _ -）（1）=1，解得：L = 50或L = 0 （无物理意义，舍弃） -50八 1007 构成介稳腔的两镜间距：L =50或100 由 0 :： g1g2 : 1，有 0 :：: （1 _ ；。）（1:：1 ，解

21、得：50 :： L : 100 或 一50 :： L :： 0 （ 物理意义，舍弃） 构成稳定腔的两镜间距: 50 : L : 100 由 glg2 : 0 ,有（1 - L ）门L V 0，解得：L . 100或L 50 （无物理意义，舍弃 -50100 由 g1g21，有（1 丄）（1 丄）1，解得：0 ： L ： 50 -50100 构成非稳腔的两镜间距：L 100或0 ： L ： 50 10.共焦腔是不是稳定腔，为什么？ 解题思考： 关键概念：共焦腔、对称共焦腔、稳定腔 1 1 关键公式：光学谐振稳定条件：0 ： g1 g2 : 1，共焦腔：L = 1 R1 R2 关键点： 腔镜曲率半

22、径的正负 5）（1 一5）J（2 一 (4) .谐振频率不只由腔长决定，还与横模相关。 主要意义有： (1) .首次得到模式，证明模式自再现思想的正确性；它逐次近似计算直接求出了一系列 自再现模，从而第一次证明了开腔模式的存在性，并从数学上论证了开腔自再现模积分方程 解的存在性； (2) .迭代一次，光在腔内传播一次，是个针对光传输的精确计算方法；数学运算过程与 模在腔中往返传播而形成自再现模的物理过程相对应，能加强理解自再现模形成的物理过 程； (3) .原则上可应用于任何腔型的自再现模计算，利用标准化计算机程序可以求得任意精 确度的数值解，具有普遍适用性。 30. 稳定球面谐振腔旁轴光线的

23、单程相对功率损耗1-1/丫 2,它与单程衍射损耗因子之间有何 关系？ 解题思考： 关键概念：光学谐振腔、损耗、单程损耗因子、光学谐振腔衍射积分方程特征值 关键公式：Uq丄Uq 答：在光学谐振腔中，自再现模单程传播所经受的光电场衰减由uq1二丄uq式中谐振腔积 q F 扌 q 分方程的特征值咐i :描述。将光电场换成光强，即对上式两边取平方： I | ea 1 q q 匸 与谐振腔单程损耗因子: If 比较可得： 、.=2: 与稳定球面谐振腔旁轴光线的单程相对功率损耗: 比较可得： 一:二 1 _ e r 可见，单程相对功率损耗与单程衍射损耗因子之间有负指数关系。当腔单程衍射损耗因子远 小于1时

24、： .：=1 _e_r、 这时，单程相对功率损耗与单程衍射损耗因子接近相等。 31试由方形镜共焦腔内行波场，导出腔内等相位面表示。 32. 同一个光学谐振腔中的不同横模，有什么异同？ 解题思考： 关键概念：横模、谐振腔积分本征方程 答：同一个光学谐振腔中不同横模的相同点有， 都是谐振腔积分本征方程的本征解， 都是旁 轴传输的电磁波在谐振腔中经反复衍射损耗形成的稳定的光电场的稳定分布。同一横模的不 同模斑具有反相或同相的相位。 同一个光学谐振腔中不同横模的不同点有，光斑形状、大小以及光电场偏振方向，另外， 相位无固定关系。 33. 高阶横模的不同模斑若相遇，能否干涉，为什么? 解题思考： 关键概

25、念：横模、横模的相位关系 答：同一高阶横模的不同模斑间，具有反相或同相的固定的相位关系。若相遇，则干涉相消 或加强。 不同高阶横模，相位无固定关系。若相遇，不会干涉。 34. 分别由方形镜和圆形镜组成的稳定谐振腔有没有区别，为什么? 解题思考： 关键概念：方形腔镜、圆形腔镜、稳定腔、等价对称共焦腔 关键公式： c 二22 =2n L丸 a2 答：有区别。区别主要表现在两者的模式场解上。虽然两者在模式光束形状、等相位面 的曲率半径及光束发散角等方面有相同的表达式，但却存在以下明显的区别： (1) 模斑形状 方形镜对称共焦腔模式场强的解主要由角向长椭球函数这种特殊函数构成，在腔的 菲涅尔数N值较大

26、的情况下可以近似为厄米多项式的形式，具有x轴和y轴对称性。 圆形镜对称共焦腔模式场强的解主要由超椭球函数构成，在腔的菲涅尔数N值较大的 情况下，可以近似表示为拉盖尔多项式的形式，具有圆对称性。 无论是方形镜或者是圆形镜组成的稳定谐振腔，其模式场模斑形状军营与其等价的 对称共焦腔的模式场相似，所以，方形镜和圆形镜稳定腔模斑形状的区别，应为具有x 轴和y轴对称性的厄米多项式模斑形状，与具有圆对称性的拉盖尔多项式模斑形状的区 别。 (2) 模式频率 方形镜对称共焦腔模式场对应相位的幅角解为： , n (m n 1) -一 kL 2 c1 各阶横模的谐振频率为：mnq-q (mnT) q2%2 圆形镜

27、对称共焦腔模式场对应相位的幅角解为： 丄丄n (2 p l 1) kL 2 各阶横模的谐振频率为: piq c1 说q尹p 1 1) 因稳定谐振腔与其等价的对称共焦腔在模式场上的相似性，方形镜和圆形镜组成的 稳定谐振腔的模式频率，也应有类似的区别。 35. 能否得到稳定腔横模的解析表示，为什么？ 36. 为什么说对称共焦腔非常重要？ 解题思考： 关键概念：稳定腔、共焦腔、对称共焦腔、等价对称共焦腔 答：对称共焦腔的衍射积分本征方程，有解析解，因此其腔内行波场有解析函数表示，相关 模式特征和形貌明确。稳定腔是一类常用的激光器腔型，但其衍射积分本征方程一直未能获 得解析解，所以，其腔内行波场的模式

28、特征和形貌不似对称共焦腔中那样能依靠解析解来获 得明确的描述。等价对称共焦腔的存在，使得稳定腔内行波场的模式特征和形貌，能够通过 与其等价的对称共焦腔的解析解，来获得较为明确的描述，可见对称共焦腔对于激光器的研 制工作具有非常高的重要性。 37. 如果使用一个参数描述稳定谐振腔的衍射损耗大小，你愿意用哪个，为什么? 解题思考： 平均光子寿命、 关键概念：稳定腔、衍射损耗、损耗描述参数 关键公式： 2 T02 C2 nN L人 2 a N 二 L 答：可以描述稳定谐振腔中衍射损耗大小的参数有谐振腔单程损耗因子、 Q参数、纵模线宽及菲涅尔数等参数。如果须使用一个参数来描述稳定谐振腔的衍射损 耗大小

29、，我愿意使用菲涅尔数。这是因为稳定谐振腔中光电场本征函数解相对应本征值 的模，直接决定稳定谐振腔对应模式的衍射损耗，而该模函数为径向长椭球函数，函数 的自变量C为： 2 na2 -2 nN 它与菲涅尔数: 成正比。 38.腔长L=1m的双凹稳定腔，两腔镜的半径分别为R1= 1.5m, R2= 3m，求其等效共焦腔 的腔长，并画出等效共焦腔的位置。 解题思考： 关键概念：稳定腔、等价对称共焦腔 关键公式：0 :： g1g2 : 1 L g1 = 1 丫 =y a a2k 2旧2 L a =2 nN Hm(X) m X2 d-X2 心e (_i)km! k!(m -2k)! (2X)5 m =0,

30、i,2, Umn(x,y)=Som(C,X/VC)Son(C,Y/応CmCnHm(X)Hn(Y)e 2m, n = 0,1,2,川 解：方形球面镜对称共焦腔 TEM模式镜面光电场函数： Umn(x, y)二 Som(C,X / . C)Sn(C,Y/、C) m,n 二0,i,2,llI 当菲涅耳数较大时，角向长椭球函数Som、Son可近似表达式为厄米多项式和高斯分布函数 的乘积： m,n = 0,i,2,|)| Umn(X,y)二 Som(C,X 八 C)Sn(C,Y/、C) ： CmCnHm(X)Hn(Y)eP TEM 30模为三阶模式，其节线对应相应阶厄米多项式的零解: H3(X) =8X

31、3 -12X =0 解得： X =0 因: 2 na2 L =2 nN 得三个节线在腔镜上的位置: 可见，三个节线在腔镜上的间距: 是相等的。 44.求圆形镜共焦腔TEM 20和TEM 02模在镜面上光斑的节线位置。 解题思考： 关键概念：圆形镜对称共焦腔、TEM模式、模式阶数、镜面光斑、模式节线 关键公式： 2 ：mn(r，J=CmnC2 比礼 030s 解：圆形镜共焦腔模在镜面上场分布函数 2_2 ：mn(Cmn(J2 广 L： (2 豹 Os0s r2. 当m = 2，n = 0时，L：（2打）=1，求其节线位置可令 e的实部为零, 0s i5 i3 i 得到1、3 和2、4各自确定的两

32、条沿幅角方向的节线 4444 1 r2 当 m = 0, n =2时，令 l2()二一(2-42) =0,其中=2- 2 0s 解得严2 _ , 2,2= 2 豆 把两个值代回到表达式中，可求得两条沿径向方向的节线的位置 =0.52 os -1-13 0s 45.腔长L=0.8m的球面腔，腔镜曲率半径分别为 R1=1.5m和R2=1m。试证明该腔为稳定腔; 求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。 解题思考： 关键概念：稳定腔、等价对称共焦腔 关键公式: 0glg2 - 1 gi g2 =1丄 R2 Lg2(gi -1) LR - L) (L-R2)(L-RJ -L(RL)

33、Z2 (LR (L-RJ F2L(R2 -L)(RL)(R1R2 -L) Zi = gg2化皿 - Lg1 (g2 - 0 g1g2化皿 2 gg2(1弋皿儿 (L-R2)(L-RJ2 （g g2化）2 解: 7 15 1 5 7 0 gig2(厂:：1 75 可见，该腔为稳定腔。 z轴建立坐标系。假 可以该双腔的等价对称共焦腔中心为坐标原点、以双凹镜面中心连线为 设该双凹镜在该坐标系中的坐标分别为z1和z2,等价对称共焦腔的腔长L为2F。 由: Lg2 -1) Z1 : g 5 -2碍 - Lg1 - g g2 -2ge2 gg2(1 gg2)L2 2 (g：化) Z2二 F2 8 乙=一一

34、 =-0.178(m) 45 28 得：z2 =0.622(m) 45 2 2 F =0.235(m ) L=2F = 0.97(m) 等效共焦腔腔镜的位置如下图虚线所示: R1 -0.8-0.558 0.20.558 z 46. 某二氧化碳激光器采用平、凹腔，L=50cm , R=2m , 2a=1cm , 10.6。试计算s1、 Ary s2、 0、0、00、00 各为多少。 47. 试证明，在所有a2/L相同而R不同的对称球面镜稳定腔中，共焦腔的衍射损耗最低。 L表示腔长，R = R = R2为腔镜的曲率半径，a为镜面半径。 48. 推导出平-凹稳定腔基模在镜面上光斑大小的表示式，做出：

35、（1 ）当R=100cm时， 、 ，s2随L而变化的曲线；（2）当L=100cm时，si、，s2随R而变化的曲线。 49. 平凹腔中凹面镜曲率半径为R，腔长L=0.2R，光波长为，求此平凹腔产生的基模高斯 光束的束腰半径。 解题思考： 关键概念：稳定性条件、稳定腔等价对称共焦腔、基模、束腰半径 关键公式：0 ： g1g2 : 1 LR -L)_ Lg2(g -1) (L - R2) (L R) g1 g2 2g1g2 zL(RL)Lg11) Z2 _ (L R2) +(L R) g +g2 2gQ2 2 _L(R2 L)(R L)(R +R2L) _ gg2(1 gg?)L2 (L-RJ+(L

36、-FQ2一(g+g2-2g42)2 时 _ 卩L(R - L)(R1 + )(1-f) L-1 2I fn 2II 2LI f2n （2）将介质移到薄透镜处，即0,高斯光束传输通过的对应光器件组的传播矩阵为: 由ABCD定律, 1I| = 1o1_j J 高斯光束在介质出射面处的 q参数: If 1 2J- -:蔦 Q2I (Q)2 (1) ff -X 2 AqB , LI 2 : QX2 1 即+）（|-fn）（T2f（ fn i 二 2 L I (Wf) izQ L I斗) fn 所以 1 q2Q2 .：鳥Q 2 (Q)- f 由: 2 qQr 输出高斯光束的远场发散角 2. -!；q 2

37、| 2 2 二 (=)2 (V-)2 ff L I、1/| LI . (1 一 fn)(1 一 f)一 f(I 一 fn 53. 两支He-Ne激光器都采用平凹腔， 尺寸如图所示，请问在何处插入焦距为多少的透镜可 以实现而者的模式匹配。 Rl=lm R2=qO RH1=50cn 关键概念：稳定性条件、稳定腔等价对称共焦腔、高斯光束束腰、q参数、高斯光束的 薄透镜变换、模式匹配、传播矩阵 关键公式：0 ： g1g2 : 1 zL(R2 -L)Lg2(gi -1) z- (L -&) (L -R) g g2 -2gQ2 - Lgi -1) -L(R -L) (L -R2)(L -R) g g2 -

38、2gig2 f2 _L(R2 -L)(R -L)(R R2-L) _ gg2(i-gig2)L2 gig2(igig2)严 (gi g2 2g22)2 (L-甩)+( R)25-2g)2 _i L1 _i 0 1 各向同性自由空间传播传输矩阵： ，透镜透射传播矩阵： i o i一 i - f 一 0 (R+R2-2L)2 ABCD 定律：q2 Aqi一- Cqi +D L(R -L)(R -L)(Ri R2 -L)i/4 q =z q =z izR HO 关键点：第二个谐振腔的左侧腔镜对入射高斯光束也起透镜变换作用。 解：对于第一个谐振腔: gii =10.7 尺1 0 :： giigi2(= 0.7) ：1 可见，第一个谐振腔为稳定腔。 因此，可以第一个谐振腔两腔镜面中心连线为z轴以其等价对称共焦腔中心为坐标原点 建立坐标系，同时假设该平凹腔的两腔镜在该坐标系中的坐标分别为Z11和Z12，等价对称共 焦腔的腔长为2Fi，束腰为-，10。 Z11曲11 -1)0.3