非线性方程组求解的牛顿迭代法用MATLAB实现

1、1.二元函数的newton迭代法理论分析设z二f (x, y)在点(Xo, yo)的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数，(X. h yo h;为该邻域内任意一点，则有f (Xo h, yo k) f(Xo, yo)+ 陀 f (x,y)+kf (x, yh其中 h 二x _Xo, k 二y _y0于是方程f(x, y)=o可近似表示为cdf (Xk, yQ+ | h 上 f (x, y) xk +k 上 f (x, y) y二yk =oyQ 二 o即 f (Xk, yQ (x- Xk) fx(Xk, yQ (y yQ fy (Xk,同理，设汽(x,y)在点(xo, yo)的某一邻域内连续且

2、有直到2阶的连续偏导数，(Xh，yh)为该邻域内任意一点，亦有Cy 二y。其中 h =x _X。， k =y _y于是方程g (x, y)二o可近似表 示为g (Xk, yQ + Jh 丄 g (x, L +k 丁 g (x, y) |y=yk 二cc-XTZo即 g (Xk, yQ (x- Xk) gx(Xk, yk) (y- yjgygyQ 二 o于是得到方程组一 yQfydk, yQ(yi f(X，yQ + (x- Xk) fx (Xk, yQ+(V 灵 y-O f _ Xk) (Xk, y J+求解这个方程组，当gx (Xk, yk) fy (Xk，yQ- fx (Xk，yQgydk,

3、 0 时丄 f (Xk, yQgy (Xk, yQ g(Xk, yQ fy (Xk, yQ X 二 Xkgx (, yQ fy (, yQ 一 fx (, yQgy&k, yQg(Xk, yQ fxg, vQ 一 f X, vQgxg, vQ v = vk gxg, yQ fyg, yQ - fxg, yQgyX, yQ从而f (Xk, yk) gy (Xk, yk- g (Xk, yk) fy (Xk, yk)X = Xk 十!gx(Xk, yk) fy(Xk, yk fx(Xk, yk) gy(Xk, yk)y = yk . g(Xk, yk) fx(Xk, yj f (Xk, yk)gx

4、(Xk, yQ k gx(xyQ fy(xyQ fx(Xk, yk) gy(Xk, yQ记符号gfx- fgx 区必)二g (Xk, Vk) fx (Xk, yk) f (Xk, Vk) gx (Xk, yk)fgy gfy (Xk, yk) = f (&, Yk) 9y (Xk ,k) 一 g (Xk,k) f y (Xk, yQ gxfy 一 fx9y (耳,yk) =gx (Xk, yk) fy (Xk, yQ fx&k $k) 9y &k , yQ于是(1)式可改写为fg gfy y ( Xk , yk )Xk f f gx y - xgy (Xk, yk)g f _ fgx x (

5、Xk , yk )迭代公式为:Xk 1Xkfg yz gfy ( Xk , y k )fggx yXy(Xk, ygfx -fgkx(Xk, yk )ykffgx y - xg y (Xk, yk)通过迭代公式（3）可以迭代出当212时，（Xk, yk）的值，当（xk l,yk 1） ； G 0为给定的误差控制项）时，原方程组的根即为 （Xk, yk） o2. newton迭代法求解给定的线性方程组方程组;f ( X , y 0 卫(x, y) = 0其中r /1/3么3/2八彳f (x, y) = a r c t 玄 n y 4) 一1 、g(x, y) =e xpxf+ y )4求解过程如

6、下23V1/34) 21/2丫1?33/22,2gx _ -2xexp（ x。y）于是迭代公式为为了解岀正负轴的两个解，需要对函数f进行变形f =(tan(l) 4 一 y)J _xfx 二-13f y tan( ) y2)匕 y2)3. MATLAB编程实现过程先画出函数图像找出大概位置ezplot C exp (x(2)+yA (-2)二4, -6, 6, -6, 6) %画 岀函数 gy=2. 4:0. 001:3. 8;x=(ta n(l)+4-y. A(32)八 3;hold on plot (x, y)%画岀函数 f耳将图放大观察由图可以看岀两个交点的大概位置是（-1,34）和（1

7、, 2.6） o所以将这两个点作为初始值进行迭代计算,MATLAB编程如下:for m二1:2;%循环两次计算岀两个解if m0. 000001%设置计算精度i二i+1;f=(ta n(1)+4yA(3/2)Tx;g=exp (xA (-2) +yA (-2) 4;fx=-l;fy=3*(ta n(l)+4-yA(3/2)A2*(T. 5*yA(l/2);gx二-2*x (-3) *exp(XA (-2) +yA (-2);gy二-2*yA (-3) *exp (x* (-2)+(-2) ; xk=x+(f*gy-g*fy)/(gx*fy-fx*gy); yk y+(g*fx- f*gx)/ (gx*fy-fx*gy); t二abs(xkx);x 二 xk;y 二 yk;endspri ntf(，i=%dnx=%8.8fny=%8.8f,i,x,y)% 输岀