抛物线焦点弦

1、抛物线焦点弦的性质及应用平面内与一个定点 F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。由于抛物线定义的特殊性,使得它有许多其他圆锥曲线所没有的特征，特别是抛物线过焦点的弦的性质尤其突出，同时也高考中经常要考查的内容。设抛物线的方程为y2=2px(P 0),过焦点p芯,0)作倾斜角为二的直线，交抛物线于 P、Q两点，则线精品资料段PQ称抛物线的焦点弦，(如图1).抛物线的焦点弦具有以下性质性质 1:设 P(xi ,yi),Q(x 2,y2),则 yiy2=-p2.p证明：当珂0时，pQ方程为込代入y2=2px中有y2=即 yi=p,y2=-p, ，yiy2=-p2.当于90时，设直线PQ斜率

2、为k,则PQ方程为y=k(x pp)与y2=2px联立，消x后得到: ky2_2py_kp 2=0, yiy2=-p2.所以2 2 2yi y2 =4p xiX2,、22因为 yi = 2 pxi, y2 =2px2,2 2所以 XiX2 J，y24p24p2例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点证：直线MQ平行与抛物线的对称轴证明：为了方便比较，可将p点横坐标及y2p2p(2；yi),Q(x2,y2),但 yiy2=-p2y22ppp2PM方程是：y= x,当x=二时,y=即为M点的纵坐标,yi2yiP、Q,通过点Q点纵坐标均用这样M点与Q点的纵坐标相同，故 MQ /Ox.例2设坐标原点为

3、0,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则0A 0B =5精品资料D、-3解析：设弦的两个端点为A(xi ,yi)、B(X2,y2),xi X2=P22 .f *yi y = _ P , oa ob Xi X2 yi y23p故答案选B性质2:抛物线焦点弦的长度:2pAB=p (Xi X2)=敲.证明：如图所示，分别做AA、BBi垂直于准线I，由抛物线定义有ppAB = AF 十 BF = Xj 十一十 x2 十一=捲 + x2 十 p 22且有 AF = AAi = AF cosa + p ,BF = BBj = p - BF cosa ,于是可得AFBF抛物线顶点在0(0,0),

4、焦点是圆M的圆心F,过F作倾斜AB = AF + BFP + P = P = P221cos：1 cos：1cos ： sin故命题成立例3已知圆M : x2+y2-4x=0及一条抛物线, 角为：的直线l,l与抛物线及圆由上而下顺次交于 求 |AB|+|CD|.解：如图，方程x2+y2-4x=0,表示的图的圆心为(2 , 0)即为抛物线的焦点，抛物线的方程是y2=8x(其中p=4),2p 8|AD|=一=40,但圆的直径 |BC|=4 ,si n2o( 1|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=40-4=36.性质3:三角形OAB的面积公式:S OAB精品资料证法一：当直线倾斜角 二为直角时，

5、公式显然成立。当直线倾斜角r不是直角时,设焦点弦所在直线方程：y = k(x -卫)2由y =k(xp)= y2 y p2 =o 2c2ky =2px+ 2Pyi +yrS2目诃2二-P1 P ,1 P , P ,Soab jyyy21 蔦1力P2=4 (yi y2) 一4yiy22P2sin v性质4:以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切证法一：如图3，设PQ中点为R，贝U R即为PQ为直线圆的圆心，过 R作RS JMN于S ,/ P/ P|PQ|=|PF|+|QF|=-以1戸2切+(X2|)2+y2/ P/ PpP=(xi|)2+2pxi + -(X2|)2+2px2=X1 +一+

6、X2 + PX1 +X2+P,2 2又设 P(xi,yi),Q(X2,y2),xi +X2 y1+y2而R(厂,-RS=X1+X2 p X1+X2+P+一=2 2 2MiSy尸（司期）-41O即 X图孑1|RS|=；|PQ|,RS为圆的半径，命题得证证法二：由图3知RS为梯形PQNM的中位线,1 1|RS|=；(|PM|+|QN|)= -|PQ|(利用性质 3), RS为圆的半径，故结论成立性质5:以抛物线y2=2px（p 0）,焦点弦PQ端点向准线作垂线，垂足分别为M、N，贝U FM JFN.（其中F为焦点）.证明：如图4，由抛物线定义知|PF|=|PM| ,/= Z2 ,而 PM /Ox,

7、 .-.2= Z3 ,/= Z3,同理24= 23，而21+ 23+ 24+ z6=180 : 2+ 2=90 : FM JFN.1 1 2性质6:设抛物线y2=2px（p 0）,焦点为F，焦点弦PQ，贝U +=-（定值）.|FP| |FQ| p证法一：由P、Q向准线作垂线，垂足分别为 M、N，作QA JOx于A, FB JPM于B,准线与 Ox交|AF| |BP| |EF|-|NQ|PM|-|EF|（如图5）由皿 5F，则芮=鬲,即=但由定义知 |NQ|=|FQ|,|PM|=|PF|,|EF|-|FQ|PF|-|EF|EF|EF|EF|EF|=,有丰=1 - 即 +=2,|FQ| |FP|F

8、Q|FP|QF|PF|1 1 2而|EF|=p,代入后即得鬲+芮=；证法二：由性质的语法二，设|FP|=t1,|FQ|=-t2,2psin 2Y2pcos 8 p2而t1+t2=冇，心亦,山2|=2p111 1 t2-t1 si nJ 2则鬲+晶=冷;？=7=；（3v 0）,还有其它证法sin2 v例4 2001年理科第11题：过抛物线y =ax2（a 0）的焦点F作一直线交抛物线于 P、Q两点，若线段PF与QF的长分别是p,q，则1 丄等于（）p q14(A) 2a ( B)(C) 4a(D)2aa则点P到点(0,1)的距离与点P到y2004年理科第16题：设P是曲线y2 =4(x -1)上

9、的一个动点,轴的距离之和的最小值为 .性质7 :以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。证明：如图，设ppA (-2, yi)，Bi(-2，y2)，则 M i又 K FM iyi y22p K AB% 一 y2yi - y?片一x22 2yi y22p2pyi y2-K AB* K FM i，即性质8 :如图，A、O证明:因为KoayiXi2pFM-AB.Bi和B、0、Ai三点分别共线。yi2yi2pyi2pKo土 一琴，而 yiy2,所以kOA-K OBi ，y2Aiy1BizVF Tx所以A、0、Bi三点共线。同理可证，B、0、Ai三点分别共线.例5 200i年理科第i9题：设抛物线y2 = 2px(p 0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，且 BC/X轴，证