对数与对数运算知识点及例题解析汇编

1、 对数与对数运算知识点及例题解析 1、对数的定义 若aN(a.O,且a)，则x叫做以a为底N的对数，记作x = logaN，其中a叫做底数，N叫 做真数. 负数和零没有对数. 对数式与指数式的互化：x=logaNu ax=N(a .O,a,N . 0). 2、 以10为底的对数叫做常用对数,log ioN记作lgN . logeN 记作 ln 3、以无理数e=2.718 28为底的对数称为自然对数, 4、对数的性质： logal =0,logaa =1(2)对数恒等式alogaN = N:loaN = N (a0,且 a 1). 类型一、指数式与对数式互化及其应用 例1、将下列指数式与对数式互

2、化： b 9 _ 2 (1)； (2) I I (3厂 ； (4)二；(5) 思路点拨：运用对数的定义进行互化 A =9 ；(3) 解：】一 -;(2) (呵；呃紇5 = 4； (5) -：；(6) -2 =16 log3-l log 16 = -2 3；4 5、对数的运算性质如果a .0,a,M 0,N 0，那么 加法： M loga M loga N rloga(MN)减法：loga M logaNlogai N 数乘： nlogaM = loga M n(n R)iogamMn= |1。刖. 换底公式：吋=器20,且bF 特殊情形: 1丄亠、 logab= loga，推广 logab l

3、ogbc logd= logad. 例2、求下列各式中x的值： (1) J (2)一 (3)lg100=x (4) 上：一二 思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幕的运算性质求出x. x = (M)-3=(4yi=4C = 4-a=l 解：-； i11 i (2) T一 一 亍一一一辽一 10 x=100=102,于是 x=2; (4)由 例 3、若 X= log43, 95 a4b4 则(2X 2x)2 等于( 104 C亍d3 解由x= log43，得 4x= 3,即 2x= 3, 4 3. 彳，所以(2X 2X)J 类型二、利用对数恒等式化简求值 3“謬3 例4、求值：解：-:. 总

4、结升华：对数恒等式二订中要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为真数 訪 Gb c2 = 5rO:.c= iog2(i+1遇(i+二 1 例9、设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：. -H4 .住+b + c . a+b-c .a + b+c a +A-c. 左边二 loga+1過= log2 () 证明： ,+掰-0, b0.求证： 2 2 证明：t a +b =7ab, / a0，b0, 即二 a+i 1 . = -(lg+lgi) 乙 a2+2ab+6=9ab,即卩(a+b) 2=9ab,. Ig(a+b) 2=lg(9ab), 2lg(a+b)=lg9+lga

5、+lgb 2lg(a+b)-lg3=lga+lgb a 1 . -一丄| 乙 一 log e 例11、(1)已知log xy=a，用a表示 .； (2)已知 log aX=m, log bX=n， log cx=p，求 log abcx. logiy 二 l + lo臥y = l+ 类型四、换底公式的运用 -a log 川丁二 T 0 log/ 廟 解：原式=: (2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底. m. np 方法一：a =x， b =x， c =x 2 j2 a = x化b 二芒，c = J log 戚 x = 方法二： 111 = 1汀* mnp 丄+丄+丄 mn +矽+呼 m

6、n p 1 log r abc k)g+log+log “ mn+np +mp mnp ;11一 例12、求值：= 解： n 九 132 log23 log23og32 535 2+二(丁 + 于)Qogj 2+)二？bg昇-log32 = - log 3 9232624 _ lg 9 lg 32 21g 3 51g 2 10 (2j ； logj (3)法一 25 1 法二：. 总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于o不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某 个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可. 类型五、对数运算法则的应用 例13、求值 (1) log 89 log 2?32 (2) -门：一-二二 3 log2g2 32+log i+log 436) (3) :- (4)(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52) 1 柑2 5 10 bg 乍 3 log 爭 2 - 解：原式=. 原式=二：- 3,3 log3(5 + fcg 17+log j 6 = 1082(5-1062-+10836)-13628-3 原式=(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52)