初三数学图形位似

1、图形的位似图形的位似 下述图片的变换中具有下述图片的变换中具有 哪些共同的特征？哪些共同的特征？ ? 下面的一组图片是下面的一组图片是形状相同的图形的图形,在图片上取在图片上取 一点A,它与另一图片(如图片如图片)上的相应点相应点B之间之间 的连线是否经过镜头P的中心?在图片上换其它的 点试一试,还有类似的结论吗还有类似的结论吗? P A B C D E F 如果两个图形对应点所在的直线交于同一点如果两个图形对应点所在的直线交于同一点, , 并且对应点到这点的距离成比例，那么这两并且对应点到这点的距离成比例，那么这两 个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心. 这个交点叫做位似中心, 这时两个

2、 相似图形的相似比又叫做它们的 位似比. O A B C F E D 这是位似图 形吗？ 显然，位似图形是相似图形的特殊情形. O A B C D 这是位似图 形吗？ A B C D E B1 A1 C1 D1 E1 这是位似图这是位似图 形吗？形吗？ 练一练练一练1：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是 . （1）五边形ABCDE与五边形ABCDE； （2）在平行四边形ABCD中，ABO与CDO 练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是. （3）正方形ABCD与正方形ABCD. （4）等边三

3、角形 ABC与等边三角形ABC 练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是. （5）反比例函数 y6 x （x0）的图像与 y 6 x （x0）的图像 练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是. （6）扇形ABC与扇形ABC， （B、A 、B在一条直线上， C、A 、C在一条直线上） （7）ABC与ADE（DEBC； AEDB） 2如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点， 四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果 是位似图形，说出位似中心和位似比. 位似图形的性质 （ 1）从上面练习第1(1)(4)题图中，我们可以看到，

4、OAB O A B , 则 OA OA OB OB AB A B . 从第 2 题的图中同样可以看到 AF AD AP AC AE AB EP BC FP DC 一般地，位似图形有以下性质： 1. 位似图形是相似图形 2.位似图形的每组对应点所在的直线都交 于一点； 3.位似图形上任意一对对应点到位似中心 的距离之比等于位似比. 4. 位似图形对应线段所在直线平行或共线. A B C D E 4 3 6 4.5 2 5 你知道位似 中心在哪儿 吗?位似比是 多少呢? D B E A C 2 4 3 6 2.5 5 这幅图的位 似中心在哪 儿?位似比? F B C A D E 若ABCDEF，

5、那么，它们位似吗？ 位似中心在哪儿呢？ C B A D E 若ABCDEC呢？ A B C E D 若若 ADEABC 呢？ 若 ABCEDC 呢？ B A C E D 练 一 练 ? 下列说法正确的是（ ） ? A.两个图形如果是位似图形，那么这 两个图形一定全等； B.两个图形如果是位似图形，那么这 两个图形不一定相似； C.两个图形如果是相似图形，那么这两个 图形一定位似； D.两个图形如果是位似图形，那么这两个 图形一定相似。 在下列每个图形中，位似图形的对 应线段AB与AB是否平行？BC与 BC，CD与CD，AD与AD是否 平行？ 位似图形中不经过位似中心的对应位似图形中不经过位似中

6、心的对应 线段平行线段平行. 位似图形上任意一对对应点到位 似中心的距离之比等于位似比。 分清谁比谁! 下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形 ABCD 都是相似图形.分别观察这五个图，你 发现每个图中的两个四边形各对应点的连线交点 的位置在何处？ 1. 位似变换是相似变换的特例，位似图形一 定是相似图形，但相似图形不一定是位似 图形. 2.位似中心可以在两个图形的同侧,或在两个 图形之间,或在图形内,或在边上或顶点上. 3.位似中心在连接两个对应点的线段之外称 为外位似; 位似中心在连接两个对应点的线段之上称 为内位似. 做做 一一 做：做： ? 按如下方法可以将ABC的三边缩小 为原

7、来的1/2: O A B C 如图,任取一点O,连接AO,BO,CO, 并取 它们的中点D,E,F; DEF的三边就是 ABC相应三边的1/2. 实际上ABC与 DEF是位似图形. F E D 如果在射线OA,OB,OC 上分别取D,E,F, 使OD=2OA, OE=2OB, OF=2OC, 那么, 结果又会怎样? D E F A O B C 结果会得到一个放大了的 DEF,且 DEF的三边是的三边是ABC三边的2倍.即它 们的位似比是21. 已知三角形ABC，在三角形ABC外任取一 点O，如果在射线AO,BO,CO 上分别取点 D,E,F使DO=2OA,EO=2OB,FO=2OC, 那 么,

8、结果会怎样呢?画出图形。 ? 如图所示,作出一个新图形，使新图形与原图形对应 线段的比是21. A B G C E D F P 1.在原图上取几个关键点 A,B,C,D,E,F,G; 图外任取一点P; 2.作射线AP,BP,CP,DP,EP,FP,GP; 在这些射线上依次取点 A,B,C,D,E,F,G,使 PA=2PA,PB =2PB,PC =2PC,PD =2PD,PC =2PC, PE =2PE,PF =2PF,PG =2PG; B A C D E F G 3.顺次连接点A, B, C, D, E, F,G, 所得到的图 形(向下的箭头)就 是符合要求的图 形; ? 实际上,新图形与原图

9、形是位似图形 ,位似比是21. ? 如果在上面的例题,你还有其它方法吗? ? 如果依次在射线上PA,PB,PC,PD,PE,PF,PG 上 取点A,B,C,D,E,F,G 呢? ? 结果是一个向上的箭头 . ? 新图形与原图形是位似图形 ,位似比是21 A B C D E F G A B G C E D F P A B C D E F G A B G C E D F P B A C D E F G 利用位似将图形放大或缩小的作图步骤： 第一步：在原图上选取关键点若干个,并在 原图外任取一点P. 第二步：以点P为端点向各关键点作射线 （或以关键点为端点向点P作射线）. 第三步：分别在射线上取关键

10、点的对应点， 满足放缩比例. 第四步：顺次连接截取点. 即可得到符合要求的新图形. 简记方法:（1）选点；（2）作射线； （3）定对应点；（4）连线. A B A O x y （0，4） C （6，4） B （6，0） A C B （3，0） （0，2） （3，2） C （-3，0） （-3，-2） （0，-2） 作位似图形作位似图形 例： 如图，请以坐标原点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形，位似比为 . 能画出几个？ 62页例题 2 1 如图,平面直角坐标系,A(6,3),B(6,0),以原 点O为位似中心,相似比为1/3将AB进行 变换,画出变换后的图形,并求出相应的 坐标.

11、8 6 4 2 -2 -4 -6 -10-551015 O A B 如图,A(2,3),B(1,1),C(5,2)以原点O为位似中 心,相似比为2, 将ABC进行变换,画出变换 后的图形,并求出相应的坐标. -10-551015 8 6 4 2 -2 -4 -6 A O B C 直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律 以坐标原点为位似中心的位似变换有一下性质： 若原图形上点的坐标为（x，y），像与原图 形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx， ky）或（kx，ky）. ? 归纳: ? 在平面直角坐标系中,如果位似变换是 以原点的位

12、似中心,相似比为k,那么位似图 形对应点的坐标的比等于k或 k. ? 说明: ? 1. 在原点同侧,坐标比为k,异侧坐标比为 k; ? 2.有时画出一种即可. ? 3.以原点为位似中心的两个新图形关于原点 中心对称. ? 4.平移、旋转与轴对称变换、位似变换都是几何 变换。四种变换中，平移、旋转与轴对称都是全 等变换，变换前后的图形是全等的，而位似变换 前后得到的图形不全等，它们是相似的。 ? 5.四种变换的坐标表示：以点P(a,b)为例. ? （1）将点P向右平移m个单位得P /(a+m,b)；将点 P向下平移m个单位得P /(a,b- m). ? （2）点P关于x轴的对称点P /(a,-b)；点P关于y轴 的对称点P /(-a, b). ? （3）将点P绕坐标原点旋转180o