18 19 第1章 12 121 集合之间的关系

1、1.2 集合之间的关系与运算 1.2.1 集合之间的关系 学习目标：1.理解集合之间的包含与相等的含义(重点)2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系(难点、易混点)3.在具体情境中，了解空集的含义并会应用(难点) 自 主 预 习探 新 知 1维恩(Venn)图 用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn) 图，其优点是可以形象地表示出集合之间的关系 2集合间的关系 思考1：如何理解子集、真子集的概念？ 提示 (1)子集与真子集的定义具有“判定”和“性质”的两重性 A?B等价于对任意xA，都有xB； AB等价于A?B，且至少有一个元素xB，但x?A. A

2、B两种情况，真子集是子集的特殊情况 和B包含AB(2)A?思考2：如何理解两集合相等？ 提示 (1)集合A中的元素与集合B中的元素相同，则集合A等于集合B，这是从集合中元素的特征出发来表达两个集合相等，它指明了两个集合的元素特征 (2)若A?B且B?A，则AB，这是从集合关系的角度表达，A与B相等，即对任意xA，都有xB；反之，对任意xB，都有xA，这说明集合A等于集合B. 3子集、真子集的性质 页 1 第(1)规定：空集是任意一个集合的子集也就是说，对任意集合A，都有? A. (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即A?A. (3)如果A?B，B?C，则A?C. AC，则，. BC(4)如果

3、AB 4集合关系与其特征性质之间的关系 设Ax|p(x)，Bx|q(x)，则有 (1)若p(x)?q(x)，则A?B；反之，若A?B，则p(x)?q(x) (2)若p(x)?q(x)，则AB；反之，若AB，则p(x)?q(x) 基础自测 1思考辨析 (1)0是?.( ) (2)正整数集是自然数集的子集( ) (3)空集是任何集合的子集( ) 解析 (1) ?是不含任何元素的集合，而0表示由一个元素0构成的集合 (2) 由正整数集和自然数集的概念知此题正确 (3) 规定空集是任何集合的子集，故正确 答案 (1) (2) (3) 2，若AB，则2xy等于( y设集合Ax，B0，x ) 2A0 B1

4、 D1 C2 0，C 由元素的互异性知x ?2，1xxx，? ?，0yy0?2xy2. 3已知集合M1,2,3,4,5，N1,5，则有( ) 页 2 第 MNNM BA MNCNM D的元M中存在不属于N由题意知N中任意元素都是M中的元素，且B NM素，所以.2 2含有的子集个数为x|x_. 4集合 导学号：60462025】【2242个2 ，x|x22中含有两个元素，所以它的子集有4 合 作 探 究攻 重 难 两个集合之间关系的判定 2 10x|x，则下列式子表示不正确的 (1)已知集合A ) ( 是 A1B1A A ?A1，1DC?A 22之间的，N2，则集合y|yx(2)已知集合Mx|y

5、xM2，集合N _关系是 n?1?Zx，n?之间N，则集合M，n，nZ(3)设集合，NMxxx? 22? 的关系是_ 集合关系由元素关系? 思路探究x|x (1)A解析2 ”关系，“”、?01,1，元素与集合之间是“1 ”关系，?”“”“集合与集合之间是“ 1正确，选项B中应为. A由选项可知A、C、D22 N2，所以|y|yx2yN|M(2)xyx2x|xR，y. M1n21为奇数，而集合M中，MnZxx，nZ,21，xxN(3)nn 22n xx，nZ，所以NM. 2 页 3 第答案 (1)B (2)NM (3)NM 22x，其他条件不变，x(，y)|y母题探究：(变条件)本例(2)中，若

6、P则P与M，N之间有什么关系？ 解 P(x，y)|yx222上的点构成的集合，而yxM，2表示二次函数N都是数集，故P与M，N之间不具有子集关系 规律方法 判断两集合关系的关键及方法 1关键：明确集合中的元素及其属性 2方法：(1)列举法：将集合中的元素一一列举出来； (2)元素分析法：从两个集合元素的特征入手，通过整理化简，然后做出判断； (3) 直观图法：利用数轴或Venn图直观判断 提醒：(1)用描述法表示集合时，即使表示代表元素的字母不同，但是如果特征性质的本质相同，表示的仍是同一个集合 (2)用描述法表示集合时，如果特征性质相同，但是代表元素的属性不同，那么表示的是不同的集合 跟踪训

7、练 1下列命题中正确的有_(写出全部正确的序号) 20?0|x；(0,1)?；?2,3,4,5,6菱形?矩形x2,4,6 1x|x20,1,2；x|x 0,1；1 根据子集的定义，显然正确；中只有正方形才既是菱形，也是20中的元素只有一个“|xx0”，因此是矩形，其他的菱形不是矩形；中集合集合0的子集；中(0,1)的元素是有序实数对，而0,1是数集，元素不同；中两个集合之间使用了“”符号，这是用来表示元素与集合的关系时使用的 1x|xxx符号，不能用在集合与集合之间；中两集合的关系应该是|2 页 4 第因此正确的是、，错误的是、. 集合的相等及应用 b?22 0182 017 1，a，集合，则

8、b0，a ，aba的值为( ) ? a? 】 【导学号：60462026 B1 A0 1 1C D思路探究 根据集合相等的定义求出字母a与b的值，注意集合中元素互异性的应用 b?解析 2，a1，ab，又aa0， 0，? a?b21，a0.a1. 0，b a2 0172 0182 0172 0181. (，a1，a1)b0又a1答案 C 规律方法 1.若两集合相等，则集合中的元素完全相同 b2本题以“0”为着眼点，中a不为0为突破口进行解题 a3解含字母的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性(如本例中a1舍去) 跟踪训练 2设A4，a，B2，ab，若AB，则ab_. ?，ab4?，b解得a2

9、abB，4a，2，AB，所以因为 4A?，2a?4. b2，所以a 由集合间的关系求参数 探究问题 页 5 第 A可能是什么？设集合则集合B若B?A，1设集合A1,2，1,2,3，则集合B共有几个？设集合A1,2,3，若B?A 共有几个？，则集合B，若B?Ann 2个1,2；8个；提示：?，1，2， “空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集”，正确吗？2 正确提示：2，那a1xA是空集，当a0，C可能是空集当a时，集合提示：集合A，B 4 是空集1时，集合C集合B是空集，当a6x|1A.Ax1, Bx|m1x2mB，求实 设集合?已知 m的取值范围数 m的取值范围B1.讨论是否为?思路探

10、究 ?取值范围2数集?数轴 1，12m 解当m 符合题意；B时，?即m2. ?B，即m2时，1当m2m1 ，借助数轴如图所示，?A由B ?，11m?55?. mm0.所以0得解得 22?，612m?5. m2mm或0的取值范围为综合可知，实数m 2 规律方法 已知集合间的关系求字母的值或范围的解题策略 页 6 第1若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程. 2若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误一般含“”用实心点表示，不含“”用空心点表示 3此类问题还要注意是否存在空集的情况，因为空集是任

11、何集合的子集 跟踪训练 3(1)将例3中集合Ax|1x6改为Ax|1x6，其他条件不变，结果如何？ 【导学号：60462027】 (2)将例3中B?A改为A?B，这样的实数m是否存在？ BA，结果有变化吗？ 中B?A改为(3)若将例3解 (1)由例题可知，m2，即B?，符合题意； 当Ax|1x ?10m?，即0m解得 25?m? 25所以，实数m的取值范围为mm2或0m. 2 ?11?0m. ?即，m5?m 2 不存在即这样的m ，则需?时，要使AB2时满足题意当m2即B由例题可知(3)m1 或?16m2m16255. m解得0m或0 225. m即0 25 2.所以结果没变化mm或综上可知，

12、0 2 基标固 双 当 堂 达 ) 的子集中含有元素A0的子集共有( 1集合A1,0,1， 4个 BA2个 D8个C6个 ，、0,1、0 根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有0B 1,0,1四个，故选B.1、的子集的为MZ，则下列集合是集合3，x|2已知集合Mx5x) ( 3,0,1 AP1,0,1,2 BQ Zy1，|yyRC3，xx|N DSx|D 集合M2，1,0,1，集合R3，2，集合S0,1，不难发 页 8 第现集合P中的元素3?M，集合Q中的元素2?M，集合R中的元素3?M，而集合S0,1中的任意一个元素都在集合M中，所以S?M.故选D. ?0，0,1?(0,1)，(a，b)(b，a300，)上面关) ( 系中正确的个数为 2 BA1 4 DC3 B 正确，0是集合0的元素；正确，?是任何非空集合的真子集；错误，集合0,1含两个元素0,1，而(0,1)含一个元素点(0,1)，所以这两个集合没关系；错误，集合(a，b)含一个元素点(a，b)，集合(b，a)含一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等故选B. 4设集合Ax|1x2，Bx|xa，若A?B，则a的取值范围是( ) 【导学号：60462028】 Aa|a2 Ba|