格林公式知识点总结

1、 第三节格林公式及其应用 教学目的：理解和掌握格林公式及应用 教学重点：格林公式 教学难点：格林公式的应用 教学内容： 、Green公式 单连通区域. 设D为单连通区域，若 D内任一闭曲线所围的部分都属于D .称D为单连通区域 （不含洞），否则称为复连通区域 （含洞）规定平面D的边界曲线L的方向，当观看者 沿L行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边，如 定理1.设闭区域D由分段光滑的曲线 L围成，函数P（x, y）和Q（x, y）在D上具有一阶连 续偏导数，则有DeQ_fdXdy = ：LPd-Qdy.L为 D的取正向的边界曲线即格林公式 既为X-型又为y-型区域 一 cP 八门: JbP

2、x152（x）HPXi?i（x）dx =a L2 : y = ：2（x） / ；:y 连续, Ddxdy y dy Li: y= 1 （x） Pdx 又L PdxLPdx bb PXi, i（x）dxPXi, 2（x）dx a+ a b Px1（x）-Px2（x）dx -：P dxdy Pdx .yL 号幼=0 对于y-型区域，同理可证门 =.1_5.原式成立 对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在D1, D2，D3, D4上应 用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证 2 | dxdy xdy - ydx 几何应用，在格林公式中，取P-y,Q=：x,-D y=

3、l ._ 1 .A = ? Lxdy _ydx 说明：1)格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立 CCdxdy cX cy 2 )记法.Lxdyydx= D 3 )在一定条件下用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二重 积分. 4 )几何应用. 例 1计算 U(yx)dx + (3x + y)dy 2 2 L : (x-1) (y-4) =9 卫=3兰 ,;:x,川 斜(31)dxdy = 18t 解：原式=-八 )y x = a cos t 3 计算星形线 =asint围成图形面积(0兰t兰2兀) .一 . 1 .1 2n A 石 iXdy _ydx = ? o 3兀a2 (a c

4、os31 3asin21 cost asin2t 3a cos21 sin t)dt 平面上曲线积分与路径无关的条件 1)与路无关：是 G为一开区域，P(x, y),Q(x, y)在g内具有一阶连续偏导数， 若G内任意指定两点 A, B及G内从A到B的任意两条曲线L1丄2 成立，则称LPdx Qdy在G内与路径无关. 否则与路径有关 例 1.(x + y)dx + (x-y)dy ：从(1,1)到(2,3)的折线 L2从(1,1)到(2,3)的直线 x 3 = (3)若LPdx Qdy在D内与路径无关当起点固定在(x0, y0 )点，终点为 (x,y) (x,y)后，则x0,y0)Pdx +

5、Qdy是 x, y 的函数，记为 u(x, y). (x,y) 5 (Pdx +Qdy 1 (2 _ y)dy + ( (1 + x)dx =_ 解：L1= 2 2 j2 3 L2 : y=下证：u(x, y)= (x0,y0)Pdx Qdy 的全微分为 du(x, y) = Pdx Qdy + 2(x-2),即 y = 2 -1 L (x y)dx (x - y)dy L2 25 1(x 2x1)2(1x)dx 二 定理：设P(x, y) , Q(x，y)在单连通区域 D内有连续的一 阶偏导数，则以下四个条件相互等价 (1)内任一闭曲线 C，cPdx Qdy = 0. (2) 对内任一曲线L

6、， L Pdx Qdy与路径无关 (3) 在D内存在某一函数 J(x, y)使d(x, y) =Pdx Qdy在d内成立. :P (4)；：y 汶，在d内处处成立 c C 代B，及连接 代B的任意两条曲线 AEB，AGB r c C = AGB BGA为D内一闭曲线 知 c Pdx Qdy, AGBPdx Qdy= .BEAPdx Qdy . P(x,y) , Q(x, y)连续，只需证 -:u -：x =P(x, y) .u Q(x, y) 八y M(x,y) N(x也,y) 由定义 _：U u(x：x)u(x,y) lym二 Mo(x,y。) u(x x,y)二 (x ：xy) (xo,y

7、o)Pdx Qdy u(x, y) + = u(x, y) + XIX (X .x,y) (x,y) dx p Pdx Qdy AGBPdx Qdy+ BEAPdx Qdy = 0 :u；u P(x, y)=Q(x,y) 即；x，同理：y cP cQ cP fQ (3) 二(4)若 du(x, y) = Pdx Qdy，往证 刃=.：x , P = :x , Q y 2 2 :卩：P:Q：Q: u u 为：x：y , ；：x：y：x,由P,Q具有连续的一阶偏导数；X：y ：y：x _P卫 故：y =:议 (4) = (1)设C为D内任一闭曲线，D为C所围成的区域.-cPdx Qdy: 疔Q 于

8、 ()dxdy D欣创 =0 解: x)dx (xex _2y)dy , L 为过(0,0) ,(0,1)和(1,2)点的圆弧. P =ey +x , Q = xey -2y，则 令 .：P y e yi与路径无关. 取积分路径为OA AB. Pdx + Qdy j Pdx + Qdy I = OA+ AB 卫=ey :x , .xdy - ydx 2丄2 例2. 计算C x y , (1) (2) c为以(OQ)为心的任何圆周. c为以任何不含原点的闭曲线 y (广 i 、1 J x 解: -：P (1) 2 -x / 22 (x y ), Q x y 2-x1 2 / 2r2 (x y )

9、, ：P :Q y2, :Q y .x 在除去(0,0)处的所有点处有 斜=；x，做以0为圆心，r Pdx Qdy 为半径作足够小的圆使小圆含在C内， C G=0，即 2：r cos x 0 c Pdx Qdy 二 f = (1+x)dx+J0(ey -2y)dy=e 2 ：2sjn日 r2=2 二=0 (2)v 刁=；：x 、二元函数的全微分求积 C Pdx Qd厂 0 Ay (x,y) (Xo,y) .c Pdx Qdy与路径无关，则Pdx Qdy为某一 函数的全微分为 (x,y)xy Pdx + Qdy J Pdx + Qdy J Pdx + Qdy (x0 ,y0)= ，x0+ y0

10、u(x,y) = 注：u(x, y)有无穷多个. 验证：(2x sin y)dx xcosydy是某一函数的全微分，并求出一个原函数 解：令 P=2x+siny ， Q=xcosy (x, y) * i :Q；：P 亠二 cosycosy ；x, y 原式在全平面上为某一函数的全微分，取 (X。，y) = (0,0), (x.0) 例5. u(x, y)二 (x,y) (o,o)PdxQdy 02xdx 0 xcosydy =/ xsin y 计算c(y3e 解：令P二 -my)dy (3y2ex _ m)dy y3ex _my , Q 二 3y2ex .：P c 2 x 3y e - m y

11、 :x 添 c c为从E到F再到G，FG 是半圆弧 P 加 也=3y2ex y, 直线 GE , 则 Ge pdx + Qdy= - J* mdxdy 吨2已吧)2 -m(1) 4 31 原式=(17)m 例6.设f (x)在( 3 -0dx - m(1) i=4 2 1 y f (x,y)d -22y2f (x,y)dy L y，其中 )上连续可导，求 y 为从点A(3, 3)到B(1,2)的直线段. 2 解；令 1 y f(x,y) ；:x 许 g 1 2 -7y2f(x,y) -1 y x 2 y y3f (x, y) = y2f(x，y) x/fd)1 y 原式= 2. .:x 故原积

12、分与路径无关，添 AC CB构成闭路，.原式 21 342 y2f(y)-idy 3；1； f(；x)dx 站293 !2 CB AC =3 1.证明： cf(x2 + BC AC 2 1 :2 y 1 3 2221 3 f(；x)dx 2f(y)2dy 3 2 333y2 一 13 2 1 22 f (u)du2 f (y)dy 3 y2 3 f(u)为连续函数，而c为无重点的按段光滑的闭曲线，则 2)(xdx ydy) =0 确定的 n值， n x(xy ) dx_ c y 使在不经过直线y = 的区域上， 2 2 2、 X(X y ) 厂 c y n -dy 与路径无关，并求当C为从点(1,1)到 X 2 Q 2【y f (x, y) -1 y P 2yf(x,y) xy2f (x,y)y-1-y2f(x,y) y2f(x,y) xy3f(x,y)-1 2 2 yy=y 3 小结： w f 、fdx