相似三角形及比例线段课件讲解

1、相似形相似形 全等的两个图形 也是相似形 全等形与相似形有何关系？ （1）全等形是相似形的特殊情况; （2）相似形包括全等形. 把形状相同的图形称为把形状相同的图形称为 相似的图形，简称相似形. （1）相似形的形状必须同， 大小不一定等; （2）当大小相等时，相 似形变成全等形. P A B C A B C ABC S ABC 如果两个多边形 是相似形，那么 这两个多边形的 对应角相等，对 应边的长度成比 BACB A C ABCA B C ACBA C B ? ? ? ? ? ? ABBCCA A BB CC A ? 相似图形的性质：相似图形的性质： 各对应角相等，各各对应角相等，各 对应边

2、成比例。对应边成比例。 这既是两个相似的这既是两个相似的 图形的性质，又是判定图形的性质，又是判定 的依据。的依据。 正方形是相似的图形吗？ 等边三角形是相似的图形吗？ 矩形是相似的图形吗？ 等腰三角形是相似的图形吗？ 直角三角形是相似的图形吗？ 等腰直角三角形是相似的图形吗？ 两个正方形两个正方形 两个等腰直角三角形两个等腰直角三角形 B A C C D A B FG H E 两个图形的相似 与对应的角度有 关,也与对应边的 比有关. 大家说大家说 生活中存在大量的 形状相同的图形，试举 出几例. A B C A1 B1 C1 例题1 如图，四边形ABCD与四边形 A 1B1C1D1是相似形

3、，点A与点A1、点B 与点B 1、点C与点C1、点D与点D1分别是 对应顶点，若BC=3，CD=2.4， A 1B1=2.2，B1C1=2 ， B=70度， C=110度，D=90度，求边AB、 C1D1的长和A 1的度数. D A B C D1 A 1 B1 C1 塔原高146.59米，因 顶端剥落，现高136.5 米，相当于一座40层 摩天大楼，塔底面呈 正方形，占地5.29万 平方米. E A B C D a b c x 复习引入：复习引入： 相似形形状相同，大小不一定相同的 图形叫做相似形。 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动 相似多边形的性质： 如果两个多边形是相似形，那么它们的对

4、 应角相等，对应边成比例。 比例线段比例线段 在同一单位下，两条线段的长度的比， 叫做这两条线段的比，记作a:b或 。 b a B A C B1 A1 C1 b a 单位： 同一 顺序： 一致 结果： 正数 无单位 分数要化成 最简分数 其中,线段a,b分别叫做这个线 段比的前项和后项。 若a=148 mm，b=220 mm，求ab； 若a=148 mm，b=22 cm，求 ba ? 结论： ? 1.两条线段的比就是长度的比，它是一个正 数,它没有单位. ? 2.两条线段的比是有顺序的; ? 3.两条线段比与所选的长度单位无关. ? 4.求两条线段比时.如果单位不同.那么必须 先化成同一单位.

5、再求它们的比 . ? 5.比的性质同分数的性质. ?; 55 37 220 148 .1:? mm mm b a 解 ? 2222055 2 . 14814837 bcmmm acmmm ? 练 习: 2.如果两条线段的比与另两条线段的 比相等叫做这四条线段 ， 简称 . 成比例线段 比例线段 如果比例的两个内项（或者两个外项） 相同，那么这个相同的项叫比例中项。 对于四条线段a、b、c、d， 如果 那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例 线段，简称比例线段.那么 a、b、c、 d 叫做组成比例的项，其中a,d叫 做比的外项,b,c叫做比的内项, d 叫做 a、b、c的第四比例项. ):( d

6、 c b a dcba?或 如果作为比例内项的是两条相同的线段 ， 即 a b b c = 或 a：b=b：c， 那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项. B C D A 50 25 B C D A 20 10 AB 50 BC 25 = =2， AB 20 BC 10 = =2， AB AB BC BC = . 因此，AB、BC、AB、BC是成比例线段. 1、已知点B在线段AC上，BC=AB。求 下列线段的比值： 数学操： （1）AB：BC（2）AC：AB（3）BC：AC 2、已知： 的值求（)( : ), 2:5:yxyxyx ? 3、线段a、c的积是625，则a、c的比例中 项是

7、 。 4、已知3x-5y=0，则x：y= . 两条线段的比是它们的长度的比，两条线段的比是它们的长度的比， 也就是两个数的比也就是两个数的比. 关于成比例的数具有下面的性质. 比例式是等式， 因而具有等式的各个性质， 此外还有一些特殊性质：此外还有一些特殊性质： （1）比例的基本性质： 比例的基本性质： 比例的外项之积等于内项之积 特殊地：特殊地： ab=bc b =ac. ? 2 如果如果 ad =bc. 则可得到则可得到 或 d c b a ? ? b d a c d b c a c d a b ?, 如果 a：b =c：d ，那么ad =bc. a c b d = 即 练习11： 如果

8、PA PC PB PD = ， 那么 PA PD= 如果 CD DF EB AD = ， 那么 AD CD= 如果 AC BD EF EA = ， 那么 EF BD= 如果 HE HF NF NK = ， 那么 HF NF= PBPC； EBDF； ACEA； HENK； 练习12： 如果 AD PB PB BC = ， 那么 AD BC= 如果 DE DF DF DC = ， 那么 DE DC= 如果 SB EF EF SC = ， 那么 EF 2= 如果 MA NF NF MB = ， 那么 NF 2= PB2； DF2； SBSC； MAMB. 练习21： 如果 AEBF=AFBE， A

9、E = ， 那么 BE = ， BF = ， AF = ； BE = ， BF = ， AF = ， AE = ， AF BE BF BE AF BF AF AE BF AE BF AF AF BE AE AF BE AE AE BF BE BF AE BE 对调内项， 比例仍成立！ 练习21： 如果 AEBF=AFBE， AE = ， 那么 BE = ， BF = ， AF = ； BE = ， BF = ， AF = ， AE = ， AF BE BF BE AF BF AF AE BF AE BF AF AF BE AE AF BE AE AE BF BE BF AE BE 对调外项，

10、比例也成立！ 说明： (1)一个等积式可以改写成八个比例式 (比值各不相同)； (2)对调比例式的内项或外项， 比例式仍然成立 (比值变了). a c b d = a b c d = ? d c b a = . 练习21： 如果 AEBF=AFBE， AE = ， 那么 BE = ， BF = ， AF = ； BE = ， BF = ， AF = ， AE = ， AF BE BF BE AF BF AF AE BF AE BF AF AF BE AE AF BE AE AE BF BE BF AE BE 说明： 同时对调比例式两边的比的前后项， 比例式仍然成立 (比值变了). a c b

11、d = b d a c = . ? (2)合比性质 如果 那么 d dc b ba? ? ? d c b a ? ac bd ? abcd bd ? ? ac bd ? ac abcd ? ? （分母不为0） 练习31： 如图，已知 AC BC = ， 那么 AB DE BC EF = ， DF EF 理由： AB DE BC EF = ? AC DF BC EF = . AB+BC DE+EF BC EF = ? A B C D E F 练习32： 如图，已知 AC AB = ， 那么 AB DE BC EF = ， DF DE 理由： AB DE BC EF = ? AB+BC DE+EF

12、 AB DE = ? BC EF AB DE = ? AC DF AB DE = . A B C D E F 练习33： 如图，已知 BC AB = ， 那么 AC DF BC EF = ， A B C D E F EF DE 理由： AC DF BC EF = ? ACBC DFEF BC EF = ? AB DE BC EF = ? BC EF AB DE = . 练习34： 如图，已知 AE AB = ， 那么 BE CF EA FA = ， AF AC 理由： BE CF EA FA = ? AE+BE AF+CF AE AF = ? AB AC AE AF = ? AE AF AB

13、AC = . A B C E F 练习35： 如图，已知 AE AB = ， 那么 BE CF AB AC = ， AF AC 理由： BE CF AB AC = ? AB AC BE CF = AE+BE AF+CF AE AF = ? AE AF BE CF = ? ABBE ACCF BE CF = ? BE CF AE AF = ? AE AF AB AC = . ? AB AC AE AF = 有没有简单方法？ 有！ A B C E F (3)等比性质 如果 那么 k d c b a db ca ? ? ? k d c b a ? 等比性质等比性质可以推广可以推广到任意有限多个相等到

14、任意有限多个相等 比比. 等比性质：等比性质： 如果 , 那么 . .(.0) acm kb dn b dn ? ? ? ? ? . . acm k bdn ? ? ? （不可逆） CD AB k CD AB ? （2）引入比值k的表示方法：如果把 表示成比值k, 即 ,则AB=kCD。或 注意：引入比值k的方法是解决比例问题的一 种重要方法,以后经常会用到。 1 CDAB k ? 比有前后顺序,相当于分子与分母 a c b d = m n = = = = 证明： 设 =k, 则 a=bk, c=dk, m=nk, = a+c+m b+d+n bk+dk+nk b+d+n = (b+d+n)k

15、 b+d+n =k = . a b a c b d = m n a+c+m b+d+n = . a b ？ 练习35： 如图，已知 AE AB = ， 那么 BE CF AB AC = ， A B C E F AF AC 理由： BE CF AB AC = ? AC CF AB BE = ? AC CF AB BE = ? AF AC AE AB = ? AE AF AB AC = . ? AF AE AC AB = ACCF AC ABBE AB = ABBE0 x+y 5 x 3y 4 y 例1、已知 = ，求 . 解： = ， x+y 5 3y 4 x+y 15 y 4 = ， x+yy

16、 154 y 4 = ， x 11 y 4 = . 例2、已知 a：b：c=2：5：6， 求 的值. 2a+5bc 3a2b+c 解： 设 = = = k, a b c 2 5 6 则 a=2k, b=5k, c=6k, 2a+5bc 3a2b+c = 4k+25k6k 6k10k+6k = 23 2 . 例3、已知：如图， = = ， OA OB 3 OC OD 2 求：(1) ; (2) . OA AC OA+OB OC+OD O A B C D 分析：(1) OA AC OA OA+OC OA+OC OA OC OA = 2 3 . 例3、已知：如图， = = ， OA OB 3 OC

17、OD 2 求：(1) ; (2) . OA AC OA+OB OC+OD 解：(1) OC OA = ， 2 3 OA 3 OC 2 = ， OA+OC OA = ， 5 3 AC 5 OA 3 即 = ， OA 3 AC 5 = ； O A B C D 例3、已知：如图， = = ， OA OB 3 OC OD 2 求：(1) ; (2) . OA AC OA+OB OC+OD 解：(2) OA+OB OC+OD = . 3 2 OA OB 3 OC OD 2 = = ， O A B C D C A B D E 课本例课本例1.已知：已知： 如图，如图， EC AE DB AD? 求证：求证

18、： AE AC AD AB EC AC DB AB ? ? )2( )1( 1.若 则 ， ， . 2 3 x y ?， ? ? y yx ? ? ? yx yx ? ? ? yx yx 25 5 2. 4和9两数的比例中项是 . 3.线段a和c的积是625，则a和c的比例中 项是 . xyz xyz xyz ? ? .若，且38， 379 则，. 5.32531 . abcabc abc ? ? 若， 则， 7.下列各组线段的长度成比例的是 （ ） （A）2，3，4，1 （B）1.5，2.5，6.5，4.5 （C）1.1，2.2，3.3，4.4（D）1，2 ，2，4 D 6.若a、b、c、

19、d成比例，且a=2， b=3， c=4，那么d=_ . 6 (): _. xyy xxyy xy 22 22 8.已知，43， 23 则 += -+ = + 11 5 2 9(0) 3 24 . 55524 bdf ace ace bdfbdf aceace ? ? ? ? .， 则, 10. acabbc kk bca ? ?若，求 的值 补充练习：补充练习： 如图所示：皇帝决定把一个正方 形的土地分给4个儿子，在正方形的土地中 间有一片森林，有4处产金的地方，皇帝决 定这样划分：每人一块产金之地，森林4人 公共领地面积和形状完全相同，你想一想皇 帝是怎样分的？ 森林 A B P 如图:如果

20、点P把线段AB分割成AP和PB （APPB)两段,其中AP是AB和PB的比 例中项,那么称这种分割为黄金分割,点P 称为线段AB的黄金分割点. AP与AB的比值 称为黄金分割 数(简称黄金数).黄金分割数是一个无理 数,在应用时常取它的近似值 0.618 2 15 ? BP AB ? 35 2 ?5 1 () 2 APBP ABAP ? ? 即 长 短 全 长 5 1 () 2 APBP ABAP ? ? 2 1 5 ? 0.618 长=全0.618 短=长0.618 3.已知线段MN的长为8厘米，点P 是线段MN的黄金分割点，则较 长线段MP的长是 厘米，较 短线段PN的长是 厘米. 4.已

21、知线段AB的长为4厘米，点P 是线段AB的黄金分割点，则线段 AP的长是 厘米. 三角形一边的平行线 C A B D E 课本例课本例1.已知：已知： 如图，如图， EC AE DB AD? 求证：求证： AE AC AD AB EC AC DB AB ? ? )2( )1( 例：如图DEBC，求证： EC AE DB AD? 三角形一边的平行线性质定理： 平行于三角形一边的直线截其 他两边所在的直线（或两边延长 线），截得的对应线段成比例 A C D E B A B C D E A B C D E 已知， ， 求A 1、 如图，已知，ABCDEF，OA=14， AC=16，CE=8，BD=1

22、2， 求OB、DF的长. B O E F A CD 2、如图， 在ABC, DGEC, EGBC, 求证： =AB AD. A B C D EG 2 AE 三角形一边的平行线性质定理三角形一边的平行线性质定理推论推论： 平行于三角形一边的直线截其他 两边所在的直线，截得的三角形的 三边与原三角形的三边对应成比例. A B C D E ADAEDE ABACBC ? A C D E B 如图，已知E,F是ABC 中AB,AC 边的中点， BF,CE相交于点G,求证： = = 1：2 重心： 1、定义：三角形三条中线相交于一 点，这个交点叫做三角形的重心 . 2、作法：两条中线的交点 . 3 、性

23、质：三角形的重心到一个顶点的 距离，等于它到对边中点的距离的两倍 . GB FG GC EG 1.如图，在ABC中，DEBC， AE=2，EC=3，DE=4， 求BC的长. E B C A D 2.如图：BDAC，CE=3，CD=5， AC=5， 求BD的长. B E AC D 3 ：已知，ABC中，C=90， G是三角形的重 心，AB=8. 求： GC的长； 过点G的直线MNAB，交 AC于M，BC于N，求MN的长. N MG C A B 动脑筋 D 三角形一边平行线判定定理 : 如果一条直线 截三角形的两边所得的对应线段成比例， 那么这条直线平行于三角形的第三边. 如果D ,E分别在AB,

24、AC的延长线上时， 或在反向延长线上时，以上结论同样成立. 由 ， 以上三个比例式中任何一个都可以推出DEBC EC AE DB AD ? AC EC AB DB AC AE AB AD ?, A C D E B 1.已知：如图，点已知：如图，点D,F在边AB 上，点 E在边在边AC上，上， 且且DE/BC， 求证：求证：EFDC. B C D E F A AB AD AD AF ? 判断题: 1、如图（1），在ABC中,点D与点E分 别在AB、AC上, AD=3cm, DB=4cm,AE=1.8cm,CE=2.4cm, 则 DEBC( ) 。 图（1） 2、如图（2），已知:BD与EC相交于

25、点 A,AB=8,AE=6,AC=12,AD=9. 则DEBC。 ( ) 图（2） 平行线分线段成比例定理： 两条直线被三条 平行的直线所截，截 得的对应线段成比例 . ? 即：ADBECF DF DE EF DE DF EF AC AB = BC AB AC BC = 注意：此性质定理无逆定理 （即无判定定理） ? L1L2L3 AB=B C DE=EF 平行线等分线段定理：平行线等分线段定理： 两条直线被三条平行的直线所截， 如果在一直线上所截得的线段相等，那 么在另一直线上所截得的线段也相等。 即： 熟悉定理的几种变形熟悉定理的几种变形 井字型 A字型 X字型 倒 A字型 畸形(O 无用

26、) O 如图ADBE CF，AB=3，AC=8， DF=10， 求EF的长 . 作图题： 已知线段a,b,c,求作线段x, 使a：b=c：x a b c B O A C D M N a b c x 如果条件改为： 或 将如何作？ ac x b ? 2bc x a ? 在梯形ABCD中，ADBC，EFBC，且 AE：EB=5：3， （1）DC=16cm，求FC的长. （2）AD=6，BC=10， 求EF的长. 2）如图，已知ADEBFC， AC=12，DB=3，BF=7， 求EC的长. 相似三角形的预备定理：相似三角形的预备定理： 平行于三角形一 边的直线截其他两边所在的直线，截得的 三角形与原

27、三角形相似 . A B C D E A C D E B 相似三角形的判定方法有相似三角形的判定方法有： 判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似 . 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等， 两个三角形相似. 判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似 . 直角三角形相似的判定定理： 斜边和直角边对应 成比例，两个直角三角形相似 . 相似三角形定理 1： 相似三角形对应高的比、对应中线的 比、对应角平分线的比都等于相似比 . 相似三角形定理 2： 相似三角形周长比等于相似比 . 相似三角形定理 3： 相似三角形的面积比 等于相似比的平方. 性质1和2可以概括为： 相似三角形对应高的比、对应中线

28、的比、对应角平分线的比、周长比都等 于相似比. 一定要证相 似后，才能 用它的性质. 90,ABCCD ABACB ? ?在中， 是上的高， BD A C 2 2 2 1; (2). (3). ACAD AB CDAD BD BCBD BA ? ? ? （ ） ABC ACD CBD 如图：已知如图：已知ABD=C，可知？，可知？ ACBABD AB2=ADAC 如图，ABC是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成正 方形零件，使正方形的一边在 BC上，其余两个 顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边 长是多少？ 先证明：APNABC 由相似得出 即

29、求出x的值 PNAD BCAH ? 80 12080 xx? ? a : b = c : d， 3.比例的基本性质： ad = bc b是a、c的比例中项 a:b=b:c（b2=ac） 4.比例的其它性质： 合比性质： ac bd ? abcd bd ? ? ac bd ? ac abcd ? ? （分母不为0） ?直线、射线与线段 ?直线射线与线段，形状相似有关联。 ?直线长短不确定，可向两方无限延。 ?射线仅有一端点，反向延长成直线。 ?线段定长两端点，双向延伸变直线。 ?两点定线是共性，组成图形最常见。 ?角 ?一点出发两射线，组成图形叫做角。 ?共线反向是平角，平角之半叫直角。 ?平角两倍成周角，小于直角叫锐角。 ?直平之间是钝角，平周之间叫优角。 ?互余两角和直角，和是平角互补角。 ?一点出发两射线，组成图形叫做角。 ?平角反向且