数学212平面直角坐标系中的基本公式 课件三新人教B版必修2

1、2.1.2平面直角坐标系中的 基本公式 一. 两点间的距离公式 当AB不平行于坐标轴，也不在坐标轴 上时，从点A和点B分别向x轴，y轴作垂线 AA 1 ，AA 2 ，BB 1 ，BB 2 ， 垂足分别为A1(x1，0)，A2(y1 ， 0)，B1(0，x2)，B2(0，y 2)， 其中直线BB1和AA 2相交于点C。 B 2 B 1 A 2 A 1 B(x2,y2) A(x1,y1) O y x C 在直角在直角ACB中，中，|AC|=|A 1B1|=|x2 x 1 |， ， |BC|=|A 2B2|=|y2 y 1 |， ， B 2 B 1 A 2 A 1 B(x2,y2) A(x1,y1)

2、 O y x C 由勾股定理得由勾股定理得 |AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2 x 1|2+|y2 y 1| 2， ， 由此得到计算两点间距由此得到计算两点间距 离的公式：离的公式： d(A， ，B)=|AB| 22 2121 )()xxyy?（ 当AB平行于x轴时，d(A，B)=|x2 x 1|； 当AB平行于y轴时，d(A，B)=|y 2 y 1|； 当B为原点时，d(A，B)= 22 11 xy? 求两点距离的步骤 已知两点的坐标，为了运用两点距离 公式正确地计算两点之间的距离，我们可 分步骤计算： （1）给两点的坐标赋值：(x1 ，y 1)，(x2， y 2). （2）计算两个

3、坐标的差，并赋值给另外 两个变量，即x=x2 x 1，y=y2 y 1. （3）计算）计算 d= 22 xy? （4）给出两点的距离）给出两点的距离 d. 通过以上步骤，对任意的两点，只通过以上步骤，对任意的两点，只 要给出两点的坐标，就可一步步地求值，要给出两点的坐标，就可一步步地求值， 最后算出两点的距离最后算出两点的距离. 例1. 已知A(2，4)，B(2，3)，求 d(A，B)。 解：x 1=2，x2=2，y1=4，y2=3， x=x 2 x 1=4，y=y2 y 1=7， d(A，B)= 22 65xy? 例2已知点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0), 求证：ABC是等腰三角形

4、。 证明：因为 d(A，B)= 22 (3 1)(42)8? d(A，C)= 22 5 10220?（） （） d(B，C)= 22 530420?（） （） 因为|AC|=|BC|，且A，B，C不共线， 所以ABC是等腰三角形。 二. 坐标法 坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标 系或者是直角坐标系），将几何问题转化 为代数问题，再通过一步步地计算来解决 问题的方法. 用坐标法证题的步骤 用坐标法证题的用坐标法证题的步骤 （1）根据题设条件，在适当位置建立坐 标系（直线坐标系或者是直角坐标系）；（直线坐标系或者是直角坐标系）； （2）设出未知坐标； （3）根据题设条件推导出所需）根据题设条件

5、推导出所需未知点的 坐标，进而推导结论. 例例3已知已知ABCD，求证：，求证： AC 2+BD2=2(AB2+AD2). D(b-a,c) C(b,c) B(a,0)AO y x 证明：取A为坐标原点，为坐标原点， AB所在的直线为所在的直线为x轴，建轴，建 立平面直角坐标系立平面直角坐标系xOy， ， 依据平行四边形的性质可设点依据平行四边形的性质可设点A，B，C， D的坐标为A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)， ， D(b a，c)， ， 所以 AB 2=a2 ，AD 2=(ba)2+c2， AC 2=b2+c2 ，BD 2=(b2a)2+c2 ， AC 2+BD2=4a2+2b2

6、+2c24ab =2(2a 2+b2+c22ab)， AB 2+AD2=2a2+b2+c22ab， 所以 ：AC 2+BD2=2(AB2+AD2). 三. 中点坐标公式 已知A(x1，y1), B(x2 ，y 2)两点，M(x，y) 是线段AB的中点，则有 12 12 2 2 xx x yy y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? M(x,y) B(x 2,y2) A(x1,y1) O y x （1）两点间线段的中点坐标是常遇到的）两点间线段的中点坐标是常遇到的 问题，中点法也是数形结合中常考察的 知识点，这一思想常借助于图象的线段 中点特征加以研究，确定解题策略。中点特征加以研究，确定解

7、题策略。 （2）若已知点P(x，y)，则点P关于点 M(x0， ，y 0)对称的点坐标为 对称的点坐标为P(2x0 x， ，2y 0 y). （3）利用中点坐标可以求得ABC （A(x 1 ，y 1)，B(x2 ，y 2)，C(x3 ，y 3 )）的 重心坐标为 123 123 3 3 xxx x yyy y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C(x3,y3) M(x,y) B(x2,y2) A(x1,y1) O y x 例例4已知已知ABCD的三个顶点的三个顶点A(3，0)， B(2，2)，C(5，2)，求顶点 ，求顶点D的坐标。的坐标。 解：因为平行四边形的解：因为平行四边形的 两条

8、对角线的中点相同，两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同。所以它们的坐标也相同。 设设D点的坐标为点的坐标为(x，y)， ， 则 235 1 22 202 1 22 x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得 0 4 x y ? ? ? ? 所以点D的坐标是(0，4). 例例5 已知点A(1，3)，B(3，1)，点，点C在在 坐标轴上，ACB=90，则满足条件的点 C的个数是（的个数是（ ） ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 解：若点C在x轴上，设C(x，0)，由 ACB=90，得|AB|2=|AC|2+|BC|2， ， (13)2+(31)2=(x+1)2+32

9、+(x3)2+12， 解得x=0或 或x=2, 若点C在在y轴上，设轴上，设C(0，y)，由，由ACB=90 得|AB|2=|AC|2+|BC|2 ， 可得y=0 或或y=4， ， 而其中原点O(0，0)计算了两次， 故选C. 例例6ABD和和BCE是在直线是在直线AC同侧的同侧的 两个等边三角形，用坐标法证明： |AE|=|CE|. 证明：如图，以证明：如图，以B点为坐标原点，取点为坐标原点，取AC 所在的直线为所在的直线为x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系. 设ABD和和BCE的边长的边长 分别为a和c， 则 则A(a，0)，C(c， ，0) D ，E ， 3 (,) 22 aa ? 3

10、( ,) 22 cc 于是|AE|= 22 222 3 44 cc aacaacc? |CD|= 2222 3 ()(0) 22 a caaacc? 所以|AE|=|CD|. 例例7.求函数求函数y= 的最小值的最小值. 22 148xxx? 解：函数的解析式可化为 2222 (0)(01)(2)(02)xx? 22 148xxx? 令A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)， 则问题转化为在x轴上求一点P(x，0)，使 得|PA|+|PB|取最小值. 1 2 -1 -1 21 P(x, 0) A(0, -1) B(2, 2) A(0, 1) O y x A(0，1)关于x轴的对称点为A(0，

11、1)， min (|)|13PAPBA B? 即函数y= 的最小值为 13 22 148xxx? 练习题： 1 如果一条线段的长是5个单位，它的一 个端点是A(2，1)，另一个端点B的横坐标 是1，则端点B的纵坐标是（ ） （A）3 （B）5 （C）3或5 （D）1或3 C 2设 设A(1，2)，在，在x轴上求一点轴上求一点B，使得，使得 |AB|=5，则B点的坐标是（ ） （A）(2，0)或或(0，0) （B）( ，0) （C）( ，0) （D）( ，0)或或( ， ，0) 121? 121?121? 121? D 3若 若x轴上的点轴上的点M到原点及点到原点及点(5，3)的的 距离相等，则M点的坐标是（ ） （A）(2，0) （B）(1，0) （ （C）(1.5，0) （D）(3.4， ，0) D 4若点若点M在在y轴上，且和点轴上，且和点( 4，1)， ， (2， ，3)等距离，则M点的坐标是点的坐标是 . 1 (0,) 2 ? 5若点若点P(x，y)到两点M(2， ，3)和和N(4， ，5) 的距离相等，则