[2018年最新整理]微分方程的解2

1、微分方程的解 微分方程的解析解 （一）求微分方程（组）的解析解命令： dsolve（方程1方程2 , 方程n初始条件，自变量。） 记号：在表达微分方程时，用字母 D表示求微分，D2、D3等。 表示求高阶微分任何D后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为确省 例如，微分方程喚 =0应表达为：D2y=0. dx2 （二）simplify（s）:对表达式s使用maple的化简规则进行化简. 例如： syms x simplify(si n(xF2 + cos(x)A2) an s=1 例1求 du =1 u2的通解. dt 解 输入命令：dsolve(Du=1+uA2,t) 结果：u

2、= tg(t-c) 例2求微分方程的特解. f2y+4dy dx2 dx 29y =0 .y(0) =0, y(0) =15 解输入命令:y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x) 结果为：y =3e-2xsin (5x) 似比Jy-dtdz-dt 例3求微分方程组的通解 =2x -3y 3z =4x -5y 3z =4x -4y 2z 解输入命令 x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t) x=simple(x)% 将 x 化简 y=simple(y) z=simple

3、(z) 结 果为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t 微分方程的数值解 (一)常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值 问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度 要求的便于计算的表达式。 因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。 对常微分方程:严f(X，)，其数值解是指由初始点x 0开始 * ) = y。

4、的若干离散的X值处，即对X。讣：x2 :：:xn,求出准确值y(xj yg),y(Xn)的相应近似值 yy2, Yn (二) 建立数值解法的一些途径 设xi q -Xj =h, i =0,1,2,n -1,可用以下离散化方法求解微分方程: =f(x, y) 、y(x ) = y。 1用差商代替导数 若步长h较小，则有 y(x) y(x h) - y(x) h 故有公式: i = 0,1,2/ ,n-1 = yi +hf(Xi,yi) .y。=y(x。) 此即欧拉法。 2、使用数值积分 对方程y =f(x,y),两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有: Xi iX* i _ X* 丫任十)

5、y(xj = f (t, y(t)d i 2 i f (x*, y(xj) + f (x* y(xr) 实际应用时，与欧拉公式结合使用: 故有公式： h yi .1 u 2【f 以)f 任 i, yi J y。二 y(x。) y(01. =yi hf (Xi,yi) 畀=yi +： f(x, yj + f 仪出 y(k) k = 0,1,2, 对于已给的精确度 名，当满足丫汇-y c名时，取yj十y；， 然后继续下一步y2的计算。 此即改进的欧拉法。 3、使用泰勒公式 以此方法为基础，有 龙格-库塔法、线性多步法等方法。 4、数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为O (hk+1 )时

6、(k为正整数，h为步长)，称它 是一个k阶公式。 k越大，则数值公式的精度越高。 ? 欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。 ? 龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。 ? 线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。 (三) 用Matlab软件求常微分方程的数值解 T,Y = solver(odefu n,tspa n,y0)求微分方程的数值解. 说明： (1)其中的 solver 为命令 ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s ode23t、 ode23tb 之一. odefu n是显式常微分方程: 、y(t。)= y。 (3) 在积分区间tspan= to,tf

7、 上，从to到tf，用初始条件yo求解. (4) 要获得问题在其他指定时间点to ,鮎,t2,上的解，则令tspan= tott, ,tf(要求是单调的). 注意: 1、在解n个未知函数的方程组时，xO和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以 的分量形式写成 2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组 例 4 器-10(1-X瞪-X =0 x(0) =2;x(0) =0 解:令 y1=x， y2=y1 则微分方程变为一阶微分方程组： y2 =1000(1 - yi )y2 - yi J y1 () = 2, y2(0) = 0 1、建立 m-文件vdp1

8、000.m如下： fun ction dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)A2)*y(2)-y(1); 2、取 t0=0, tf=3000，输入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-) 3、结果如图 2 例5解微分方程组 *=讨2讨3 y2=y3 1丫3 =.51%丫2 yi(0) =0,y2(0)=讥(0) =1 解 1、建立 m-文件rigid.m如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2); 2