高考数学讲义随机变量及其分布列.版块三.离散型随机变量的期望与方差3.学生版

1、期望与方差知识内容1离散型随机变量及其分布列离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量x来表示，并且x是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量x叫做一个随机变量随机变量常用大写字母x,y,l表示如果随机变量x的所有可能的取值都能一一列举出来，则称x为离散型随机变量离散型随机变量的分布列将离散型随机变量x所有可能的取值x与该取值对应的概率p(i=1,2,l,n)列表表示：iixx1x2xixnpp1p2pipnp(x=m)=(0ml，l为n和m中较小的一个)我们称这个表为离散型随机变量x的概率分布，或称为离散型随机变量x的分布列2几类典型的随机分布两点分布如果随机变量x

2、的分布列为x10ppq其中0p0，-m+式中的参数m和s分别为正态变量的数学期望和标准差期望ox为m、标准差为s的正态分布通常记作n(m,s2)正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布重要结论：正态变量在区间(m-s,m+s)，(m-2s,m+2s)，(m-3s,m+3s)内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%+正态变量在(-，)内的取值的概率为1，在区间(m-3s，m+3s)之外的取值的概率2是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x=m三倍标准差之内，这就是正态分布的3s原则s若xn(m，2)，f(x)为其

3、概率密度函数，则称f(x)=p(xx)=xf(t)dt为概率分布-1x-m函数，特别的，1n(0，2)，称f(x)=xe-2dt为标准正态分布函数-s2t2p(xx)=f()则e(x)=，d(x)=x-ms标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可3离散型随机变量的期望与方差1离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量x所有可能的取的值是x，x，x，这些12n值对应的概率是p，p，p，则e(x)=xp+xp+l+xp，叫做这个离散型随12n1122nn机变量x的均值或数学期望（简称期望）离散型随机变量的数学期望刻画了这个

4、离散型随机变量的平均取值水平2离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量x所有可能取的值是x，x，x，这些值对应的12n概率是p，p，p，则d(x)=(x-e(x)2p+(x-e(x)2p+l+(x-e(x)2p叫12n1122nn做这个离散型随机变量x的方差离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）d(x)的算术平方根d(x)叫做离散型随机变量x的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量b3x为随机变量，a，为常数，则e(ax+b)=ae(x)+b，d(ax+b)=a2d(x)；4典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散

5、型随机变量x的期望取值为p，在n次二点分布试验中，离散型随机变量x的期望取值为np二项分布：若离散型随机变量x服从参数为n和p的二项分布，则e(x)=np，d(x)=npq(q=1-p)n超几何分布：若离散型随机变量x服从参数为n，m，的超几何分布，nmn(n-n)(n-m)mnn2(n-1)4事件的独立性如果事件a是否发生对事件b发生的概率没有影响，即p(b|a)=p(b)，这时，我们称两个事件a，b相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件如果事件a，a，a相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发12n生的概率的积，即p(aiailia)=p(a)p(a)lp(a)，并且上式中任

6、意多个事12n12n件a换成其对立事件后等式仍成立i5条件概率对于任何两个事件a和b，在已知事件a发生的条件下，事件b发生的概率叫做条件概3率，用符号“p(b|a)”来表示把由事件a与b的交（或积），记做d=aib（或d=ab）典例分析【例1】已知随机变量x的分布列为x123p则d(x)等于（）a0b0.80.40.2c20.4d1【例2】同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量x=1表示结果中有正面向上，x=0表示结果中没有正面向上，则ex=，dx=_【例3】袋中编号为1，2，3，4，5的五只小球，从中任取3只球，以x表示取出的球的最大号码，则ex=_，dx=_【例4】已知离散型随机变量x的分布

7、列如下表若ex=0，dx=1，则a=，b=xp-101abc2112bc【例5】两封信随机投入a，三个空邮箱，求a邮箱的信件数x的数学期望e(x)与方差d(x)423【例6】编号1，的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是x求随机变量x的概率分布；求随机变量x的数学期望和方差【例7】甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为e、h，e和h的分布列如下：e0012h12613pp101010510310210则比较两名工人的技术水平的高低【例8】甲乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大

8、致相等而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：x1p010.30.320.230.2x012乙保护区：2p0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平【例9】现有甲、乙两种建筑钢筋材料，从中各取等量的样品，检验它们的抗拉强度指数如下xp1000.11150.21250.41300.11450.25xp1100.11200.21250.41300.11350.2x和h分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度在使用材料时，要求抗拉强度平均不低于120的条件下，试比较甲、乙两种材料哪一种的质量更好些【例10】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个234（n=1，）现从袋中任取一球，x表示所取球的标号求x的分布列，期望和方差；b若h=ax+b，eh=1，dh=11，试求a，的值【例11】某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数x的分布列，并求出x的期望e(x)与方差d(x)（保留两位小数）【例12】有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开用它们去试开门上