高中数学竞赛单元训练题：三角函数

1、高中数学竞赛单元训练题：三角函数高中数学竞赛单元训练题陕西省西安市高新一中党效文陕西省韩城市司马迁中学任战武一,选择题1.如果一个含有3个元素的集合可表示为(sin0,cos0,1),也可以表示为(sin.0,sin+cos0,0),那么sin.+cos.0的值为().a.0b.1c.一1d.士1455infz+1+2x.+z2?设函数,(z)一的最大值为m,最小值为m,则m与m满足的关系式是().a.m+m一2b.m+m一4c.mm一2d.mm一43.已知abc的三边长a,6,c均为有理数,a一30,b一20,则下面结论正确的是().a.cos0和cos50均为无理数b.cos0为无理数,c

2、os50为有理数c.cos0为有理数,cos50为无理数d.cos0和cos50均为有理数4.在aabc中,若sin.a+cos.a一1,则aabc是().a.锐角三角形b.直角三角形c.钝角三角形d.等腰直角三角形5.设,(z)一maxsinz,sin3x,3sin号,1一c.sz),则当o<z<睾时,(z)等于().a.卜c.szb.了1sin3c?3sin三3d?sin6.已知(2cos0-1)(2cos20-1)(2cos2zo-1)(2cos2一01)一1,其中一等,则正整数72的最小值是().a.4b5c.6d.10二,填空题7?已知函数,(z)=3sin(>.)

3、在区间一号,3上的最小值为一3,则jtd,值为.s?已一号,詈口且,十sinz一2a一0,14.+sinycos+口一0.则cos(x+2y)的值为.9.在abc中,已知sinacos.詈+sinccos.a一3sinb,则.a_一2i导的值等于.10.设函数,(z)一4sinzsin.(号+号)+c.s2x,若if(x)一ml<2成立的充分条件是詈z等,则实数m的取值范围是.11.已知a,j9io,号l,则.y2c.s(a+c.s(a+的最小值为.12.在abc中,已知tana,tanb,tanc成等比数列,则lb的取值范围是.三,解答题13.在锐角aabc中,若cos.a,cos.b

4、,cos.c之和等于sinza,sin.b,sin.c中的某一个,证明:tana,tanb,tanc必可按照某种顺序组成等差数列.14.某市环保部门对该市每天环境污染情况进行调查研究后,得出一天中环境污染指数,(z)与时间z(小时)的函数关系为f(x)一i1sn(lx-181)+了1一.i+2a,x024.其中.为与气象有关的参数,且.-o,.若函数,(z)的最大值为当天的综合污染指数,并记作m(.).(i)求函数m(口)的表达式;(1i)市政府规定,每天的综合污染指数不得超过2,试问该市目前的综合污染指数是否超标?15.在非直角abc中,三边a,b,c满足关系式a+c一(a>1).证a

5、ntan导一;(i1)是否存在函数,(a),使得对一切满足条件的a,舍的值恒为定值?若存在,求出,(a)的表达式;若不存在,请说明理由.参考答案一,选择题1.c.依题意sin0,cos0,1=sin0,sin0+cos0,0.由集合中元素的互异性知sin1,且sin0.从而有c05一0,sin=1,sin一sin+cos解得sin一一1,cos=0.故sin.+cos.一一1.z.az)一亟一+1.因为g(z)一sinfx+x为奇函数,且,(z)存在最大值和最小值,所以g(z)也存在最大值m和最小值m,且+m一0,故m+一(1vr+1)+(+1)一2.3.d.方法一:考查如图1所示的圆内接四边

6、形abac,其中圆的半径为r,abc一20.由于abc的三边长a,6,c均为有理数,则由余弦定理知cos30,cos20,cos(c一50):一cos5均为有理数,从而由正弦定理知,b=2rsin20为有理数.于是,aa=2rsin404rsin20cos20也图l是有理数,acacb也是有理数.再由托勒密定理知ab:(aa?bc-ac?ab)也是有理数.故在abc中,由,余弦定理知cos是有理数.方法二:在aabc中,由余弦定理知一cos50一cos(c一5)为有理数,cos30和cos20也均为有理数,从而cos+cos50:2cos30cos20为有理数,故cos0也是有理数.4.b.因

7、为sin.a+cos.a一1,所以音(1-cos2a)+音(111+c.s2a):1,即(2+12cos22a+2c.s2a)=1.从而1+6?+()2一s,得c.sa+c.sa一s:0,即(cos4a一1)(cos4a+15)一0.因为cos4a+15>0,所以cos4a-1=0,即cos4a一1.又0.<4a<720.,所以4a一360.,即a一90.,故abc为直角三角形.5.c因为sin3z一3sinz一4sinsz,o<z<号,所以专sin3zsinz一sin3x<sinz.从而sinz3sin号一4s.n号<3sin詈.x(1一c.sz)一

8、sinz一1一(sinz+c.sz)一1一.sin(z+q-),而o<z<号,所以<#2sin(z+),所以1in(z+号)<o,因此1一cos<sinz?故,(z)一3sin号?6.b.(2cos1)(2cos20-1)(2cos2一1)(2cos201)一(2c.s一1)(2c.s2一1)?(2cos2一1)(2cos2一1)一.(2c0s20-1)(2c.s2一1).(2cos2一1)一?(2c.s2一1)(2cos2一1)(2cos2一1)一(2cos2一1)(2cos2一1)(2cos2一1)一(2c.s2一1)(2cos2一1)(2cos2一1)-.?

9、一2cos2r0+1(2c.s2一1)一_1,所以c.s2c.s9c0s2荡一s.经计算知,当一1,2,3,4时,等式均不成立;而当一5时,等式成立.故的最小值为5.二,填空题7.2.因为,(z)一3sincox为奇函数,所以求的最小值,即求t一的最大值.又f(x)在区间一手,詈上取得最小值为一3,所以詈,即丁.从而一孥一2.8.1.由题设得x(一s+2svi)n+x=i2a,n(-2y):2.令,()一.?l由题设得(一2)a+si:2n.令,(一+sint,tei一4,詈,ljf()在一号,号上是增函数?由于,(z)一2n一,(一2y),得x=一2y,即z+2y=0.故cos(x+2y)一

10、1.9.o.由已知等式,得sina.+sinc.一号sinb,即sina+sinc+sinac.sc+c.sasinc一3sinb,fllpsina+sinc=2sinb.所以2sina丁+cc.ta-c一4sin导c.s导.又sin尘一c.sbo,所以c.sa-czsin导卿cos一zsin导-o.,.,一i.1-cos(.x+)一+.一2sinz(1+sinz)+12sinz一1+2sinz.当詈z警时,i,(z)一<2恒成立,即,(z)-2<m<,(z)+2恒成立,所以if(x)一2<m<,(z)+23一.易知,(z)一3,(z)一2,il<m<

11、4.11.3.不妨设oa詈,则oa一詈一詈,oa+詈+擎.由余弦函数的单调性,得一2c.s(a一)+c.s(a+zcos(号一)+c.s(+号)一号cos+sin一/3-sin(+号)?因为詈+号警,所以sin(+号).故当a一号,一.时,有一一号.号)?因为tanatanc-ta椰,所nb=-tan(a+c)一一tana+tanc,即啪a+啪ctall2b一1=tanb(tanzb-1).从而o(tanatanc)一(tana+tan63一4tana.tanctanb(tan2b一1)一4tan2btan2b(tanzb+1)(tanb一3).因为tanzb(tanzb+1)>0,所以

12、tan2b>3,即tanb一tanb从而be(詈,警或b詈,詈).若b>詈,则o<a<一b<号,o<c<一b<要,故0<tana<tan(7cb),0<tanc<tan(7cb),于是tana?tanc<tan2(7cb)一tanb,这与tana?tanc=tanzb.盾,故b不可能为钝角.又当tanb/耐,必有tanatanc,即abc:詈.故bei詈,号).三,解答题13.由对称性,不妨设cosa+cosb+cosc=sinc,则t1+cos2a+(cos2csinzc)=0,即1+c.s2c+专(c.s2a+c

13、.s2b)=0,.2cosc+cos(a+b)cos(ab)一0.cos(a+b)一一cosc0,.2cosccos(ab)一0,即cos(a-b)一2cosc一一2cos(a+b),-.3cosacosb=sinasinb,即tanatanb一3.从而tanc一一tan(a+b)一一!里2故tana,tanc,tanb依次成等差数列.14.(i)设一1sin云lz一181,则原函数可化为gct一t+一+zn.oz24,.0<41一18l.o1.由于g()的图象为线段或折线,故g()的最大值在端点或折点处取得.又当g()的图象为折线时,在折点处的值为n一号,而g(n一)一znmaxg(.),g(专),所以g(t)的最大值为=max(专)max了1一n悟一n.而g(o)一当.n<lat1,(当了1nt3时),g()一n+吾(.n导).画出函数m(n)的草图如图2所示,并解方程组j一.一1得:.并解方程组得n=.1y=a-一百从而m(n)一当.n<时1,(当n时).图2.,上是增函数,故m(n)一<2.因此,该市目前的污染指数没有超标.15.(i).n+c=ab,-.sina+sinc=2sinb,.2sina丁+cc.ssin导c.s导.in一c