高中数学选修1-1《导数及其应用》知识点讲义

1、第三章导数及其应用一、变化率与导数1、定义：设y=f(x)在x=x处取得一个增量dx(dx0).0函数值也得到一个增量dy,称dydx为从x到x+dx00f(x+dx)-f(x)记为lim=lim，也称为函的平均变化率.若当时dx0时，有极限存在，则称此极限值为函数y在x=x处的瞬时变化率，0dy00dx0dxdx0dx即f(x)=limdxdx0数y在x=x处的导数，记作f(x)或y00f(x+dx)-f(x)00.0x=x0,说明：导数即为函数y=f(x)在x=x处的瞬时变化率.02、几何意义:dx0时，q沿f(x)图像无限趋近于点p时，切线pt的斜率.即f(x0)=kpt.3、导函数（简

2、称为导数）y=f(x)称为导函数，记作y，即f(x)=y=limdx0二、常见函数的导数公式1若f(x)=c(c为常数)，则f(x)=0；2若f(x)=xa,则f(x)=axa-1;3若f(x)=sinx,则f(x)=cosx4若f(x)=cosx,则f(x)=-sinx;5若f(x)=ax,则f(x)=axlna6若f(x)=ex,则f(x)=ex17若f(x)=logx,则f(x)=xlnaa18若f(x)=lnx,则f(x)=xdydxf(x+dx)-f(x)=lim.dx0dx3.f(x)三、导数的运算法则1.f(x)g(x)=f(x)g(x)2.f(x)g(x)=f(x)g(x)+f

3、(x)g(x)f(x)g(x)-f(x)g(x)=g(x)g(x)2四、复合函数求导y=f(u)和u=g(x),称则y可以表示成为x的函数,即y=f(g(x)为一个复合函数，则y=f(g(x)g(x)五、导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:（1）在某个区间(a,b)内，如果f(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；如果f(x)0,则f(x)仍为增函数.例如：f(x)=x3在r上有f(0)=0，其余恒有f(x)0,，f(x)=x3仍为r上的增函数，其函数图像为：（2）求单调区间的步骤：求f(x)的定义域；求导f(x)；令f(x)0，解集在定义域内的部分为增区间.令f(x)0，

4、解集在定义域内的部分为减区间.“”说明：当函数有多个递增区间或递减区间时，不能用“”、或”相连，应该用“，隔开或用“和”.（3）一种常见的题型：若已知函数的单调性求参数的取值范围，利用“f(x)单调递增，则f(x)0；若f(x)单调递减，则f(x)0?来求解，注意等号不能省略，否则可能漏解！2.函数的极值与导数（1）极大、极小值得定义：若对x附近的所有的点，都有f(x)f(x)00且f(x)=0，则称f(x)是函数f(x)的一个极00小值.称x是极小值点.0.说明：极大值与极小值统称为极值，极大值与极小值点统称为极值点，极值点是实数而不是点（2）求函数的极值的步骤：确定定义区间，求导f(x)；

5、求方程f(x)=0的解x；0检查x左右两边f(x)的符号：0i、如果在x附近的左侧f(x)0,那么f(x)是极大值;00ii、如果在x附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x)是极小值;00iii、如果在x左右两侧导函数不改变符号，那么f(x)在x处无极值.00说明：在解答过程中通常用列表：3、4、函数的最值与导数求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤求函数y=f(x)在(a,b)内的极值；将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.说明：“最值”是整体概念，“极值”是个局部概念.5、生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：扩展：常见的导函数构造函数型：1、关系式为“加”型(1)f/(x)+f(x)0构造exf(x)/=exf/(x)+f(x)(2)xf/(x)+f(x)0构造xf(x)/=xf/(x)+f(x)(3)xf/(x)+nf(x)0构造xnf(x)/=xnf/(x)+nxn-1f(x)=xn-1xf/(x)+nf(x)(注意对x的符号进行讨论)(ex)2(ex)22、关系式为“减”型(1)f/(x)-f(x)0f(x)f/(x)ex-f(x)exf/(x)-f(x)构造=ex(2)xf/(x)-f(x)0构造=f(x)/