高考数学讲义函数的图象与性质.知识框架

1、函数的图像与性质模块框架高考要求要求层次重点难点单调性c概念和图象特征熟知函数的性质和图象函数单调性的证明和判断简单函数单调区间的求法复合函数的奇偶函数的性质奇偶性b简单函数奇偶性的判断和证明性判断与证明*抽象函数的奇偶周期性b简单函数周期性的知识内容一、函数单调性（一）主要知识：1.函数单调性的定义：1判断和证明性复合函数的周期性判断与证明*抽象函数的周期性如果函数f(x)对区间d内的任意x,x，当xx时都有f(x)f(x)，则称f(x)在121212d内是增函数；当xf(x)，则f(x)在d内时减函数1212设函数y=f(x)在某区间d内可导，若f(x)0，则y=f(x)为xd的增函数；若

2、f(x)0f(x)在a,b是增函数；f(x)-f(x12x-x12)0f(x)在a,b是减函数；(x1-x2)f(x1)-f(x2)0f(x)在a,b是减函数3.复合函数单调性的判断：“同增异减”4.函数单调性的应用利用定义都是充要性命题即若f(x)在区间d上递增（递减）且f(x)f(x)xx（x,xd）；121212若f(x)在区间d上递递减且f(x)x（x,xd）121212比较函数值的大小可用来解不等式求函数的值域或最值等（二）主要方法1讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2判断函数的单调性的方法有：用定义；用定义法

3、证明函数单调性的一般步骤：取值：即设x，x是该区间内的任意两个值，且x0,b0)在-,-x,+上单调递增；在-,0或0，或aaaabbbbb上是单调递减二、函数的奇偶性与对称性（一）主要知识：1奇函数：如果对于函数y=f(x)的定义域d内任意一个x，都有-xd，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数；2偶函数：如果对于函数y=g(x)的定义域d内任意一个x，都有-xd，都有g(-x)=g(x)，那么函数g(x)就叫做偶函数3图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函

4、数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数4奇偶函数的性质：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；f(x)是偶函数f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函数f(x)的图象关于原点对称；奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性f(x)为偶函数f(x)=f(-x)=f(|x|)若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)=0对称性关于y轴对称：f(-x)=f(x)；关于原点对称：f(-x)=-f(x)；3关于直线xa对称：f(ax)f(ax)或f(x)f(2a

5、x)；关于点(a,b)对称：f(x)2bf(2ax)或f(ax)bbf(ax)。（二）主要方法：1.判断函数的奇偶性的方法：定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断f(x)f(x)或f(x)f(x)是否定义域上的恒等式；图象法；性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是d,d，那么在它们的公共定义域ddid121上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；22.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f(x)f(x)0，f(x)f(x)1三、函数的周期性（一）主要知识：1周期函数：对于f(x)定义域

6、内的每一个x，都存在非零常数t，使得f(xt)f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，t叫做f(x)的一个周期，则kt（kz,k0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期2几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数yfx满足对定义域内任一实数x（其中a为常数），fxfxa，则yfx是以ta为周期的周期函数；fxafx，则fx是以t2a为周期的周期函数；fxa1，则fx是以t2a为周期的周期函数；fxfxafxa，则fx是以t2a为周期的周期函数；f(xa)1f(x)，则fx是以t2a为周期的周期函数1f(x)f(xa)1f(x)1f(x)，则fx是以t4a为周期

7、的周期函数f(xa)1f(x)，则fx是以t4a为周期的周期函数1f(x)函数yf(x)满足f(ax)f(ax)（a0），若f(x)为奇函数，则其周期为t4a，若f(x)为偶函数，则其周期为t2a函数yf(x)xr的图象关于直线xa和xbab都对称，则函数f(x)是以42(b-a)为周期的周期函数；函数y=f(x)(xr)的图象关于两点a(a,y)、b(b,y00)(ab)都对称，则函数f(x)是1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x)y=f(x-h)；1）y=f(x)y=f(x)+h；2）y=f(x)y=f(x)-h。上移h以2(b-a)为周期的周期函数；函数y=f(x)(xr)的图象关于a(a,y)和直线x=b(a0)或向右(a0)或向下(a0)的图像可以将函数y=f(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a1)或压缩（0a0)的图像可