高斯小学奥数四年级上册含答案第10讲_游戏策略

1、第十讲游戏策略对策论又称博弈论，研究的现象与政治、经济、军事乃至人们的日常生活学习都有密切的联系一般地，在具有竞争或对抗性质的行为中，参加竞争对抗的各方具有不同的目标为了达到各自的目标，各方既要制定出对自己最有利的方案，又要考虑到对手所有可能采取的方案对策论就是研究竞争对抗中各方是否存在最佳行动方案，以及如何找到这个最佳方案我们将要学习的对策问题，主要是研究在两人的游戏过程中如何使自己取胜的策略问题如果说“统筹规划”所研究的是“死的”对象的话，那么“对策问题”所研究的就是一个“活的”对手，因而在考虑问题时需要设想对手可能采取的各种方案，并使己方的策略能在对手所有可能采取的方案中都处于有利位置，

2、我们将这种状态称作“必胜状态”（否则称为“必败状态”）那么在给定的游戏规则下，是否存在必胜状态，以及为了达到必胜状态所采取的策略就成了问题的关键！需要强调的是，我们的目标不是“可能胜”而是“必胜”我们不能存在侥幸心理，不能寄希望于对方的失误，而是要在假定双方都足够聪明的前提下寻找必胜策略例题1有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取3枚如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么谁有必胜策略？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？分析直接考虑12枚棋子并不容易，大家不妨试试棋子较少时谁有必胜策略，看看能否找到规律练习1有15枚棋子，甲、乙两人轮流取，规

3、定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取2枚如果谁取走最后一枚棋子谁赢那么谁有必胜策略？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？情况很复杂时，我们往往需要先从比较简单的情况开始尝试，在逐渐变复杂的过程中，寻找规律进而解决题目这其实是一种非常重要的数学思想，高年级乃至往后的数学学习中应用的递推、数学归纳法等都是以此为基础的利用互补的想法，我们有更一般的结论“有m枚棋子，两人轮流取棋子，规定每人每次可以取走1至n枚，直到把棋子取完为止，谁取得最后的一枚棋子谁胜”其取胜策略是：每次取走棋子数除以(n+1)的余数枚棋子，让对方面对(n+1)的倍数枚棋子必败状态，则可保证取到最后的一枚

4、棋子而获胜例题2现有2014根火柴甲、乙两个人轮流从中取出火柴，规定甲先取，每人每次至少从中取出2根，最多取出4根如果谁无法取出火柴谁就赢，请问谁一定能赢？策略是什么？分析本题中每人每次最少要取出2根火柴，如果恰好剩下1根火柴，就已经无法再次取出了能否像例题1那样，从火柴较少的情况入手，找出规律呢？练习2现有2009个糖豆，甲、乙两个人轮流取从中出糖豆，每次至少从中取出2个，最多取出5个，谁无法取出糖豆谁就赢如果甲先取，请问谁一定能赢？策略是什么？在一定能分出胜负的对策问题中，一方要么处于必胜状态，要么处于必败状态处于必胜状态的一方，总能进行一次适当的操作后，把必败状态留给对手反之，处于必败状

5、态的一方，无论采取什么策略，都只能把必胜状态留给对手在很多对策问题中，具有对称性的状态往往是解决问题的关键例题3甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可规定取到最后一个球的人赢，甲先取球如果开始时两堆分别有五个球和八个球，那么谁有必胜策略？请说明理由分析直接考虑5个和8个并不容易，你能像之前一样，从最简单的情况开始分析，找到规律吗？练习3甲、乙两个海盗分金币：有两堆金币，一堆有2009枚，一堆有2014枚甲、乙轮流从中拿金币，每次只能从同一堆中拿，个数不为零即可规定拿到最后一枚金币的人获胜，胜者可以获得所有金币如果甲先拿，那么谁有必胜策略？

6、请说明理由例题4如下图，方格a中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移b动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45角走1步，最终将棋子走到方格b的人获胜请问：谁一定能获胜？必胜策略是什么？a分析在棋盘中，有一些是必胜格，有一些是必败格一方想要获胜，必须每次都把棋子走到必胜格子中，使得对手下一步无论采取什么操作，都不得不进入必败格子本题中方格b就是必胜格那么其他的格子中哪些是必胜格？哪些是必败格？练习4如右图，方格a中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45角走1步，b最终将棋子走到方格b的人获胜请问：谁有必胜策略？必胜策略是什么？a例题5如下图，方格a中放有一枚棋子，甲先乙

7、后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右b上方沿45角走1步，最终将棋子走到方格b的人获胜请问：（1）谁一定能获胜？必胜策略是什么？（2）如果每次允许往同一方向（上、右或右上）走任意多步，结果又如何呢？a分析第（1）问中，每次只能走1步，那么b为必胜格，则它相邻的左、下、左下三个格子全是必败格；第（2）问中，每次可以走任意多步，那么b为必胜格，则由b可以直接找出多少个必败格呢？例题6桌上有一块巧克力，它被直线划分成3行7列的21个小方块，如图所示现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：每人每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；拿走其中一块，把另一块留给对手再切；不断重复前两步，最

8、后谁能恰好留给对手一个小方块，谁获胜如果你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能保证自己最后获胜？分析直接分析并不容易，还是先来看看简单情况吧！如果只有一行或一列的小方块，谁会获胜？两行或两列呢？你能发现什么规律呢？“在对策问题中，要想取得胜利，必须使自己能始终保持在必胜状态中，而使对手总是处于必败状态明确了这一点，我们就知道了解决对策问题的关键在于弄清楚什么是必胜状态，什么是必败状态知己知彼，百战不殆”哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利课堂内外田忌赛马田忌很喜欢赛马有一回他和齐威王约定，进行一次比赛将马分成上、中、下三等，比赛的时候，上等马对上等马，中等马对中等马，

9、下等马对下等马由于齐威王每个等级都比田忌的强，三场比下来，田忌都失败了田忌觉得很扫兴，垂头丧气地准备离开赛马场这时，田忌发现，他的好朋友孙膑也在人群里孙膑招呼田忌过来，拍着他的肩膀，说：“从刚才的情形看，齐威王的马比你的马快不了多少呀”孙膑还没说完，田忌瞪了他一眼，说：“想不到你也来挖苦我！”孙膑说：“我不是挖苦你，你再同他赛一次，我有办法让你取胜”田忌疑惑地看着孙膑：“你是说另换几匹马？”孙膑摇摇头，说：“一匹也不用换”田忌没有信心地说：“那还不是照样输！”孙膑胸有成竹地说：“你就照我的主意办吧”齐威王正在得意洋洋地夸耀自己的马，看见田忌和孙膑过来了，便讥讽田忌：“怎么，难道你还不服气？”田

10、忌说：“当然不服气，咱们再赛一次！”齐威王轻蔑地说：“那就来吧！”一声锣响，赛马又开始了孙膑让田忌先用下等马对齐威王的上等马，第一场输了接着进行第二场比赛孙膑让田忌拿上等马对齐威王的中等马，胜了第二场齐威王有点儿心慌了第三场，田忌拿中等马对齐威王的下等马，又胜了一场这下，齐威王目瞪口呆了比赛结果，田忌胜两场输一场，赢了齐威王还是原来的马，只调换了一下出场顺序，就可以转败为胜作业1.10枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，两个小朋友玩翻硬币游戏规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻两人轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人获胜请问：谁有必胜策略？必胜策略是什么？2.现有2

11、00个石子甲、乙两个人轮流从中取出石子，每次最少从中取出2个，最多取出4个，谁无法取出石子谁就赢如果甲先取，那么谁有必胜的策略？必胜策略是什么？3.甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取任意多个，但不能不取规定取到最后一个球的人输，甲先取球（1）如果开始时两堆各有两个球，那么谁有必胜策略？请说明理由；（2）如果开始时两堆分别有两个球和三个球，那么谁有必胜策略？请说明理由4.甲、乙二人轮流在一个正十二边形中画对角线（即两个不相邻顶点的连线）规定新画的对角线不能与已经画出的对角线相交，谁不能继续画谁输甲先画，请问谁有必胜策略？必胜策略是什么？5.如下图所示，

12、方格a中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45角走1步，最终将棋子走到方格b的人获胜请问：谁一定能获胜？必胜策略是什么？ba第十讲游戏策略1.例题1答案：（1）乙有必胜策略；（2）甲有必胜策略详解：（1）如果剩不到4枚棋子，先取的人把所有棋子取走后获胜；如果剩4枚棋子，无论先取的人如何取，所剩的棋子数都不到4枚，所以后取的人获胜；如果有12枚棋子，甲取1枚时乙取3枚，甲取2枚时乙取2枚，甲取3枚时乙取1枚，在每次甲取完后，乙可以取适当数量的棋子以保证两人一个回合共取4枚棋子，这样乙可以拿到最后1枚，乙胜（2）如果剩1枚，那么先取的人必败；如果剩2至4枚，先取的人

13、可以剩1枚不取，所以后取的人败12枚的情况与4枚的情况类似，甲先取3枚，剩下9枚之后乙取1枚时甲取3枚，乙取2枚时甲取2枚，乙取3枚时甲取1枚，甲保证两人一个回合共取4枚棋子最后1枚必然被乙拿到，甲胜2.例题2答案：甲有必胜策略详解：根据上题经验，第二个人总可以保证和第一个人共取6根火柴，20146=335ll4，所以2014根火柴的情况与4枚火柴的情况相同4枚火柴时甲先取2根火柴即可获胜，因此2014根火柴时甲也先取2根火柴，之后乙无论怎么取，甲再取时都可以保证两人一个回合共取6根火柴(2014-2)6=335ll2，最后剩下的2根火柴留给了乙，甲无法取出火柴，甲获胜3.例题3答案：甲必胜详

14、解：甲先从8个球的那堆中取出三个球，使得两堆球一样多之后每次乙取几个球，甲就在另一堆中取相同数量的球，甲获胜4.例题4答案：甲必胜详解：我们给必胜格子（如方格b）标记“”，给必败格子标记“”从方格b逆推，能一步走到b的格子都要标记“”特别地，最上边一行和最右边一列为“”和“”相间的标记，如左图对于左图中的格子1和格子3，对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子1和格子3都是必败格子如果把棋子移到格子2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中，因此格子2是必胜格子用类似的方法分析，得到右图因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“”的格子中即可b123ab5.例题5答案：（1）甲必胜；（2）甲必胜详解

15、：（1）我们给必胜格子（如方格b）标记“”，给必败格子标记“”从方格b逆推，能一步走到b的格子都要标记“”特别地，最上边一行和最右边一列为“”和“”相间的标记，如左图对于左图中的格子1和格子3，对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子1和格子3都是必败格子如果把棋子移到格子2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中，因此格子2是必胜格子用类似的方法分析，得到右图因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“”的格子中即可b123baa（2）与第（1）问方法类似，得到下图甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“”的格子中即可ba6.例题6答案：切走12个小方块详解：当只剩1行（或1列）时，但不是一个小方块，先切

16、的人只要切剩下一个小方块就赢了当剩2行（或2列）时，如果剩22的方块，那么先切的人切完后成为12的方块，所以后切的人必胜；如果剩23、24、等情况，先切的人只要切剩下一个22的方块就可以取胜当剩3行（或3列）时，如果剩33的方块，先切的人切一刀后只能剩下13或23的方块，此时后切的人获胜当有37块时，先切的人切走34=12块，给对手留下一个33的正方形，接着每次都给对手留下一个11或22的正方形即可获胜7.练习1答案：（1）乙必胜；（2）甲必胜详解：（1）甲取1枚时乙取2枚，甲取2枚时乙取1枚，乙只要保证两人一个回合共取3枚棋子，即可拿到最后1枚获胜（2）甲先取2枚，剩下13枚之后乙取1枚时甲

17、取2枚，乙取2枚时甲取1枚，甲保证两人一个回合共取3枚棋子，最后1枚必然被乙拿到，甲胜8.练习2答案：甲必胜详解：2009(2+5)=287，甲先取5个糖豆，之后乙无论怎么取，甲再取时都可以保证两人一个回合共取7个糖豆，最后剩下的2个糖豆留给了乙，甲无法再次取出糖豆，甲获胜9.练习3答案：甲必胜简答：甲先从2014个金币中取出5个金币，使两堆金币一样多之后每次乙拿几个金币，甲就在另一堆中拿相同数量的金币，最后肯定甲拿走最后一个金币，甲获胜10.练习4答案：甲必胜简答：策略是每次把棋子走到下图中标有“”的格子内ba11.作业1答案：先翻动的人必胜简答：先翻硬币的小朋友翻1枚硬币，以后对手翻1枚时自己翻2枚，对手翻2枚时自己翻1枚，保证两人一个回合共翻3枚，即可保证自己翻到最后1枚12.作业2答案：乙必胜简答：甲取2个乙就取4个，