高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合：第4节数列求和之并项求和与分组求和法

1、第4节并项求和与分组求和法【基础知识】1分组转化求和法：有一类数列a+b，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数nn列a,b是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为nn几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.2并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如a=(-1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，ns=1002-992+982-972+n+22-12=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.an2)xan1cosxan2sinx满足f0.(2)若bn2ana，求数列bn的前n项和sn.2n

2、aaan-1aaa【规律技巧】常见可以使用公式求和的数列：(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解；(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式【典例讲解】【例1】设数列an满足a12，a2a48，且对任意nn*，函数f(x)(anan12(1)求数列an的通项公式；1【变式探究】在等差数列an中，已知公差d2，a2是a1与a4的等比中项(1)求数列an的通项公式；n（n1）(2)令bna2，记tnb1b2b3b4(1)nbn，求tn.【针对训练】111

3、1、求数列的前n项和：1+1,+4,+7,+3n-2，111解：设s=(1+1)+(+4)+(+7)+(+3n-2)n2n-1将其每一项拆开再重新组合得s=(1+n111+aa2an-1)+(1+4+7+3n-2)（分组）当a1时，s=n+(3n-1)n22(3n+1)n（分n组求和）当a1时，s=n1-1-1an+(3n-1)na-a1-n+(3n-1)n12a-12as=k(k+1)(2k+1)(2k3+3k2+k)sn2k3+3k2+kn2(n+1)22、求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设a=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+kknnnk=1k=1将其每一项拆开再重

4、新组合得nnnk=1k=1k=1（分组）2(13+23+n3)+3(12+22+n2)+(1+2+n)n(n+1)(2n+1)n(n+1)+222（分组求和）n(n+1)2(n+2)2【巩固提升】11数列an满足anan12(nn*)，且a11，sn是数列an的前n项和，则s21()a.212b6c10d112已知函数f(n)n2cos(n)，且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100()a100c100b0d1020013（2013湖南卷）设sn为数列an的前n项和，sn(1)nan2n，nn*，则(1)a3_；(2)s1s2s100_n2且anf(n)f(n1)，则a1a2a34已知

5、函数f(n)n2（当n为奇数时），（当n为偶数时），a100等于()a0b100c100d10200【解析】由题意，得a1a2a3a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(99100)(101100)(1299100)(23100101)5010150103100.故选b.【答案】b5、求cos1+cos2+cos3+cos178+cos179的值.解：设sncos1+cos2+cos3+cos178+cos179cosno=-cos(180o-no)（找特殊性质项）sn（cos1+cos179）+（cos2+cos178）+（cos3+cos17

6、7）+（cos89+cos91）cos90（合并求和）0n6、数列an：a1=1,a2=3,a3=2,an+2=an+1-a，求s.2002解：设s2002a1+a2+a3+a2002由a=1,a=3,a=2,a123n+2=an+1-a可得na=-1,a=-3,a=-2,456a=1,a=3,a=2,a=-1,a=-3,a=-2,789101112a6k+1=1,a6k+2=3,a6k+3=2,a6k+4=-1,a6k+5=-3,a6k+6=-2a6k+1+a6k+2+a6k+3+a6k+4+a6k+5+a6k+6=0（找特殊性质项）s2002a1+a2+a3+a（合并求和）2002(a+a

7、+a+a)+(a+a+a)+(a123678126k+1+a6k+2+a6k+6)+(a1993+a1994+a1998)+a1999+a2000+a2001+a2002a1999+a2000+a2001+a2002a6k+1+a6k+2+a6k+3+a6k+457、在各项均为正数的等比数列中，若aa=9,求loga+loga+loga的值.563132310解：设s=loga+loga+logan3132310由等比数列的性质m+n=p+qaa=aamnpq（找特殊性质项）和对数的运算性质logm+logn=logmn得aaas=(loga+loga)+(loga+loga)+(loga+loga)n3131032393536（合并求和）(logaa)+(logaa)+(logaa)3110329356log9+log9+log9333108、求和：9、设答案：2.，则_10、若sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，则s17+s3350等于()a.1b.-1c.0d.2解：对前n项和要分奇