高斯小学奥数五年级上册含答案_质数与合数

1、第三讲质数与合数什么是质数？每一个数都能写成若干个数相乘的形式，考虑到任何一个数都能写成若干个1乘以它本身的形式，所以不考虑1作为乘数的情况：6=23，8=24=222，12=26=34=223这些数都能拆成若干个不为1的数相乘的形式，我们把这样的数称为合数而像2，3，7这些不能拆成若干个不为1的数相乘形式的数，我们称之为质数如果说得形象一点，质数就是“拆不开”的数，合数就是拆得开的数严格说来，质数就是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数注意，1既不是质数也不是合数我们先来看一个关于质数的小问题，提高大家对质数的熟悉程度：请写出所有颠倒个位十位之后还是质数的两

2、位质数_（填写在横线上）相信对100以内的质数比较熟悉的同学，做这个题目会很轻松质数是我们后面学习的基础，因此同学们一定要牢牢记住常见的质数请同学们在下面的横线上写出100以内的所有质数：同学们还可以这样做：从大到小写出100以内的质数如果你能一个不少地写出来，说明你对100以内的质数确实掌握得很牢固了_当然，同学们写出的这些质数只是质数大军中的冰山一角在100以上还有无穷多个质数，比如接着100的就有四个质数：101，103，107，109例题1下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华

3、夏中兴力，同唱移山壮丽歌将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为156号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话【分析】156以内的质数有哪些？把它们列出来，然后依次找出对应的汉字，这句话就出来了练习1自然数n是一个两位数，它是一个质数，而且n的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？例题2（1）如果两个不同的质数相加等于26，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出（2）如果两个不同的质数相加等于25，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出（3）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出【分析】对

4、于第1问，依次枚举即可，可知这两个不同的质数一定都是奇数那么后两问中的质数可以都是奇数吗？练习2如果三个互不相同的质数相加，和为52，这三个质数可能是多少？通过前面的学习，我们对质数已经有了基本了解下面我们来学习这一讲中最重要的内容：分解质因数分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式如：30=235，100=2255，280=22257同学们请注意：分解式应该把质因数按从小到大的顺序写好，每个数分解质因数的形式是唯一的分解质因数的方法一般是短除法，如下图所示，我们将30分解质因数，在计算的过程中要善用各种特殊数的整除特性能整除30230相除后得3155100在分解质因数时也可以写成：100=

5、2252；280在分解质因数时也可以写成280=2357这种写法更简洁更方便，其中位于质因数右上角，表示质因数个数的数叫作指数，如：100=2252指数280=2357指数这里280的分解式中5和7的指数都是1，写的时候可以省略如何确定一个大数是不是质数呢？我们要判断197是不是质数，难道需要一一验算197以内的所有质数吗？同学们不用担心，数学家们早就为我们准备了简单的方法，只需要试很少的几个就能判断例如我们要判断197是否为质数，只需要验算15以内的质数就足够了！因为1515=225比197大类似的，如果我们要判断2011是不是质数，只需要验算45以内的质数，因为4545=2025比2011

6、大有了这个方法，同学们以后判断一个大数是不是质数就非常方便了例题3请把下面的数分解质因数：（1）360；（2）539；（3）999；（4）10101分析将一个数分解质因数，可以从最小的质数开始，一个一个去试商，写成短除的形式练习3请把下面的数分解质因数：（1）373；（2）12660在整数问题中，有一类特殊的问题，专求乘积末尾连续0的个数解决这类问题的方法同样是质因数分解下面我们来看一个例题例题4算式123l100计算结果的末尾有多少个连续的0？【分析】乘积的末尾要出现一个0，只需要乘数中凑出一个10，那么能凑出来几个10，末尾就有多少个连续的0注意到10=25，我们只需要计算这个算式中含有的

7、质因数2和5的个数就可以了练习4算式123l30的计算结果的末尾有多少个连续的0？分解质因数是学习数论问题时非常重要的方法，大家一定要能熟练的将一个数分解质因数，这应该作为一项基本的能力来培养下面我们来看看如何利用分解质因数来解决实际的问题例题5三个连续自然数的乘积等于39270，那么这三个数的和等于多少？分析39270是三个自然数的乘积，于是先将39270分解质因数，再对这些质因数进行适当的组合，凑出题目中的三个连续自然数由于连续自然数相互之间比较接近，所以凑的时候也必须尽量接近例题6360与一个三位数的乘积是完全平方数，这个三位数最小是多少？【分析】完全平方数是两个相同数的乘积，那么分解后

8、它的每个质因数的次数都是偶数而360=23325，它不是一个平方数它最小再乘上多少，结果就是平方数了？通过上面例题的讲解，相信大家能体会到分解质因数的好处它就像手术刀一样，把整数解剖开来，让我们把整数的组成结构看得一清二楚很多看似复杂的问题，如果从分解质因数的角度来看，就会变得非常简单课堂内外质数有无穷个吗？在正整数里走得越远，我们就发现质数变得越来越稀少有人可能会问：质数出现频率越来越小，它们会不会在某处终止呢？会不会从某个数开始之后就没有质数了呢？早在公元前300年左右，欧几里得就第一次证明了质数有无穷多个他用的是如下的反证法：设n代表最后一个质数，那么从2到n的所有质数的积是2357ln

9、将这个积加1称为k，因为2，3，5，7，11，n都不能整除k，所以k必然含有一个更大的质因数！这与n代表最后一个质数相矛盾！作业1.（1）如果两个不同的质数相加等于39，那么这两个质数的乘积是多少？（2）三个互不相同的质数相加，和为30，这三个质数的乘积是多少？2.自然数49，87，101，103，121中，哪些是质数？3.请把下面的数分解质因数：（1）240；（2）10804.三个连续自然数的乘积为336，则这三个数的和是多少？5.算式123l35的计算结果的末尾有多少个连续的0？第三讲质数与合数例题1.答案：少年朋友亲切联欢一九九七相聚中山详解：156中的质数有2、3、5、7、11、13、

10、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53共16个例题2.答案：（1）69、133；（2）46；（3）434（详解：（1）26可以拆成3与23的和，或者7与19的和；（2）25只能拆成2和23的和；3）三个数的和是偶数，可以是三个偶数，或者一偶两奇考虑到质数中只有2是偶数，可知一定是一偶两奇，且偶数是2另外两个奇数是7和31例题3.答案：（1）360=23325；（2）539=7211；（3）999=3337；（4）10101=371337例题4.答案：24详解：末尾0的个数与算式结果所含质因数2和5的个数有关，结果中质因数的个数又与乘数中质因数的个数有关因为2的个数要比5的个

11、数多，所以0的个数等于5的个数乘数中5的倍25数有20个，的倍数有4个，所以质因数5的个数有20+4=24个末尾有24个连续的0例题5.答案：102详解：39270=23571117考虑其中最大的质因数17，三个自然数中一定有17的倍数如果是17，那么一定有16或18这33不可能如果是34，另外两个数是33和35，正好满足+34+35=102例题6.答案：160详解：完全平方数的每个质因数的次数一定是偶数而360=23325，至少要再乘上25=10才是一个平方数题目要求是三位数，即1443360102_是一个平方数可知空格上也要填入一个平方数，最三位数小要填16要乘的三位数最小是160练习1.答案：23、37、53、73简答：一位数中的质数只有2、3、5、7而n的个位数字只能是3和7，分类枚举即可练习2.答案：2、3、47或者2、7、43或者2、13、37或者2、19、31简答：三个质数一定是一偶两奇，偶数是2练习3.答案：（1）质数；（2）12660=2235211练习4.答案：7简答：130中5的倍数有6个，25的倍数有1个，所以其中有7个5计算结果的末尾有7个连续的0作业1.答案：（1）7