圆锥曲线定点定直线定值问题（干货分享）

1、圆锥曲线定点定直线定值问题定点、定直线、定值专题1、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为。（)求椭圆的标准方程；（)若直线与椭圆相交于,两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。.【标准答案】（I)由题意设椭圆的标准方程为， （I）设，由得，以A为直径的圆过椭圆的右顶点,，(最好是用向量点乘来），,解得,且满足.当时，,直线过定点与已知矛盾；当时,直线过定点综上可知，直线过定点,定点坐标为2、已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，。（）求椭圆C的方程;（)设直线与椭圆交于P、Q两点，直线与交于点S。试问

2、：当m变化时,点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。.解法一：(）设椭圆的方程为。1分，,，。分椭圆的方程为。5分（）取得,直线的方程是直线的方程是交点为7分，若,由对称性可知交点为若点在同一条直线上,则直线只能为.分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上.事实上，由得即，记,则。9分设与交于点由得设与交于点由得10，12分,即与重合，这说明，当变化时,点恒在定直线上。3分解法二：（）取得，直线的方程是直线的方程是交点为7分取得，直线的方程是直线的方程是交点为若交点在同一条直线上，则直线只能为。分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上

3、。事实上,由得即，记,则.9分的方程是的方程是消去得以下用分析法证明时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明即证即证式恒成立。这说明,当变化时，点恒在定直线上。.解法三:()由得即.记，则。6分的方程是的方程是7分由得9分即2分这说明，当变化时，点恒在定直线上。13分3、已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为,离心率为 （)求椭圆的方程； （)过点作直线交于、两点,试问：在轴上是否存在一个定点,为定值？若存在，求出这个定点的坐标;若不存在，请说明理由.解:（I）设椭圆E的方程为，由已知得:。2分椭圆的方程为。分(）法一：假设存在符合条件的点，又设，则:。.。5分当直线

4、的斜率存在时,设直线的方程为：，则由得7分所以分对于任意的值，为定值，所以，得,所以；1分当直线的斜率不存在时,直线由得综上述知,符合条件的点存在，起坐标为13分法二：假设存在点，又设则：=。5分当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，由得7分9分设则11分当直线的斜率为0时,直线，由得:综上述知，符合条件的点存在，其坐标为。.1分4、已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率,过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆于、两点。. (）求椭圆的标准方程； (）设点是线段上的一个动点,且，求的取值范围； (）设点是点关于轴的对称点,在轴上是否存在一个定点，使得、三点共线？若存

5、在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。解法一： (I)设椭圆方程为，由题意知故椭圆方程为 （)由（I）得,所以,设的方程为（）代入，得 设则，由，当时，有成立。（）在轴上存在定点，使得、三点共线。依题意知，直线C的方程为， 令，则的方程为、在直线上,在轴上存在定点，使得三点共线。解法二：（）由（I)得，所以。设的方程为代入,得设则 当时,有成立. （)在轴上存在定点，使得、三点共线。 设存在使得、三点共线，则， ， 即 ，存在，使得三点共线.6、(福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点.（）求过点、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段A的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。.解：（)圆过点O、F，M在直线上.设则圆半径由得解得所求圆的方程为（I）设直线A的方程