第3章(弹性力学其他问题讨论)参考资料

1、第 3 章 若干弹性力学问题的讨论 13.1 弹性力学中的几个典型问题 13.1.1 平面问题 23.1.2 轴对称问题 43.1.3 板壳问题 63.2 弹性力学问题的一般求解方法 83.2.1 用位移平衡微分方程求解平面问题 93.2.2利用相容性条件按应力求解平面问题 103.2.3 Airy 应力函数 113.3 结构材料失效准则与等效应力 143.3.1 材料实验的基本知识 143.3.2 最大主应力准则 153.3.3 最大剪应力准则 163.3.4 最大变形能准则 163.3.5 正八面体剪应力准则 173.3.6最大剪应力准则与最大变形能准则的对比 183.3.7 脆性材料的库

2、仑摩尔圆准则 203.4 能量法 213.4.1 应变能的定义 213.4.2 用瑞利法分析梁弯曲问题 233.4.3弹性问题中的能量表示虚位移原理 25习题 29第 3 章 若干弹性力学问题的讨论本章主要讨论与机械结构分析有关的弹性力学理论中的其它典型问题，包括弹性力学平面问题 中典型问题分析、弹性力学问题的基本求解方法简介、机械结构强度与失效的基本理论，以及有关 能量法的基本知识，这是利用有限元进行机械结构弹性体分析的理论依据。 要求了解掌握弹性力学 平面问题的应力函数法、 掌握结构强度失效准则中的等效应力理论等内容， 了解能量法的基本思想。3.1 弹性力学中的几个典型问题任何一个弹性体都

3、是一个空间物体，其所受的外力也都是空间力系，所以，严格地讲，任何一 个实际的弹性力学问题都是空间问题。但是，如果所分析的弹性体具有某种特殊的形状、并且所承受的外力是某种特殊的外力，那么就可以把空间问题简化为近似的典型问题进行求解。这样的简化 处理可以大大简化分析计算的工作量，且所获得的结果却仍然能够满足工程上的精度要求。本节主 要介绍平面问题、轴对称问题和板壳问题。3.1.1平面问题平面问题是工程实际中最常遇到的问题，许多工程实际问题都可以简化为平面问题来进行求 解。平面问题一般可以分为两类，一类是平面应力问题，另一类是平面应变问题。（1）平面应力问题所谓平面应力问题是指，所研究的对象在 z方

4、向上的尺寸很小（即呈平板状），外载荷（包括体 积力）都与z轴垂直、且沿z方向没有变化，在z = h/2处的两个外表面（平面）上不受任何载荷， 如图3-1所示。x图3-1平面应力问题对于这种情况，在z = h/2处的两个外表面上的任何一点，都有二z = zx = zy=0。另外，由于z方向上的尺寸很小，所以可以假定，在物体内任意一点的6、 zx yz都等于零，而其余的三个应力分量二x、xy贝V都是X, y的函数。此时物体内各点的应力状态就叫做平面应力状态。在平面应力状态下，由于J = zx = zy =0 ,所以可以很容易得到平面应力问题的平衡方程._xyy(3.1)平面应力问题的几何方程(3.

5、2)平面问题中的物理方程1 r .1:.x 二E x y J；y = E ；y Xxy =石 xy平面问题的弹性矩阵以及应力应变关系式参见上节。（2）平面应变问题 与上述情况相反，如图3-2所示，当物体z方向上的 尺寸很长，物体所受的载荷（包括体积力）又平行于其 横截面（垂直于z轴）且不沿长度方向（z方向）变化， 即物体的内在因素和外来作用都不沿长度方向变化，那 么这类问题称为平面应变问题。对于平面应变问题，一 般可假想其长度为无限长，以任一横截面为xy面、任一纵线为z轴，则所有应力分量、应变分量和位移分量都不 沿z方向变化，而只是 x, y的函数。在这种情况下，由于 任一横截面都可以看作是对

6、称面，所以物体内各点都只 能在xy平面上移动，而不会发生z方向上的移动。根据对称条件可知，zx = zy =0,并且由剪应力互等关系可 以断定，xz = yz =0。但是，由于z方向上的变形被阻 止了，所以一般情况下匚z并不等于零。在平面应变状态下，由于二x、二y、二z及xy都只是x, y的函数，而xz = -yz =0，且因外力都垂直于 z轴， 故无z方向的分量。由应力平衡微分方程式可以看出，其中的第三个方程能够自动满足，剩余的两 个式子与式（3.2）相同。对于平面应变问题，因位移分量都不沿z方向变化，且y*图3-2平面应变问题w = 0，故有 z = zx = zy =0，几何方程与平面应

7、力问题的几何方程相同。但是，由于应变问题的物理方程与平面应力问题的物理方程不同，即(3.3)所以其=0，即匚z二二（匚x 匚y），因而平面x；y =吁 _y _ U xy =G xy(3.4)对于平面应变问题，可以用如下类似的矩阵表达式1 XSy lvL xy丿E 用 E/(172)z(b)C dzbr-CEz TPdry式中的D矩阵与平面应力问题的弹性矩阵形式相同，但是需要将平面应力问题中的 代替，用/（1 -）代替。对有些实际问题，例如挡土墙和重力坝的问题等，虽然其结构并不是无限长，而且在靠近两端 之处的横截面也往往是变化的、并不符合无限长柱形体的条件，但这些问题很接近于平面应变问题,对于

8、离开两端较远之处按平面应变问题进行分析计算，得出的结果是可以满足工程要求的。3.1.2轴对称问题在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束状态以及外载荷都对称于某一根轴（过该轴的任 一平面都是对称面），那么弹性体的所有应力、应变和位移也就都对称于这根轴。这类问题通常称 为空间轴对称问题。对于轴对称问题，采用圆柱坐标 r、H z比采用直角坐标 x、y、z方便得多。这是因为，当以 弹性体的对称轴为 z轴时（如图3-3所示），则所有的应力分量、应变分量和位移分量都将只是r和z的函数，而与 诜关（即不随坡化）。为推得轴对称问题的平衡微分方程，可取z轴垂直向上，用间距为dr的两个圆柱面，且互成d：角的两个

9、垂直面及两个相距dz的水平面，从弹性体中割取一个微小六面体PABC，如图3-3（b）所示。沿r方向的正应力，称为径向正应力，用g表示；沿n方向的正应力，称为环向正应力，用表 示；沿z方向的正应力，称为轴向正应力，用Cz来表示。而作用在水平面上沿r方向的剪应力，则用-zr来代表，按剪应力互等定理，有.zr = -rz。另外，由于对称性，= r 及 z子：z都不存在。这样，总共只有四个应力分量，即G；二、.zr，它们都只是r和z的函数。z二 z zdz :zCTrzzdrA r drArydr(c)图3-3轴对称问题示意-如果六面体的内圆柱面上的正应力是门，则外侧圆柱面上的正应力便是 c r dr

10、。由于对dr称，J在方向（环向）没有增量。如果六面体下面的正应力是二Z ,则上面的正应力应该是二z z dz。同样，六面体内面及外面的剪应力分别为.rz及rz 空dr,下面及上面的剪应力dzCT则分别为zr及zr _zrdZ。此外，径向体力用 K表示，而轴向体力（z方向的体力）用Z代表。 dz一d日d日d日若将六面体所受的各力都投影到六面体中心的径向轴上，并取sin及cos 1，可2 2 2得到平衡方程- dr r dr ddzi ；r rd)dz-2；rdzdz rd dr-zrrd ：dr Krd vdrdz 二 0(3.5)简化后除以rd Tdrdz，并略去微量，得=0(3.6)将六面体

11、所受的各力都投影到z轴上，则得平衡方程乞 dr r dr d 出z f .；r zd 出z ：-r(3.7)(3.8)-cz rd 启r Zrd 力rdz =0简化后除以rd Tdrdz，并略去微量，得_iz 二 Z =0L、;z r r于是得到空间轴对称问题的平衡微分方程为-：；丁 r：UrTZK =0 :z rA 亠 Z =0汀 r如果用r表示沿r方向的正应变，即径向正应变；用B表示沿二方向的正应变，即环向正应变; 而沿z方向的轴向正应变仍用；z来表示。另外，r方向与z方向之间的剪应变用 z r表示，由于对称, 剪应变r二及-z均为零；沿r方向的位移分量，称为径向位移，用 Ur表示；沿z方

12、向的轴向位移分 量，仍用w表示，并且由于对称，环向位移 u_=0。.:rUrzr(3.10)根据几何方程的定义方法，可以得到因径向位移所引起的应变分量是而轴向位移w引起的应变分量为.:w(3.11)由此得到空间轴对称问题的几何方程.:rUr(3.12)rcw忑fUr 丄 Cw+LL、:z : r由于极坐标也是一种正交坐标，所以轴对称问题的物理方程可以直接根据虎克定律得到，即1；r X _(3.13)r 1A；zz6 1 1Yzr1=TG zr21一 E zr3.1.3板壳问题（1）平板问题在弹性力学里，把两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体称为平板， 简称为板，如图3-4。

13、两个板面之间的距离t称为板的厚度，而平分厚度t的平面称为板的中间平面, 简称中面。如果板的厚度 t远小于中面的最小尺寸b （如小于b/8b/5）,该板就称为薄板，否则就为厚板。对于薄板，通过一些计算假定已建立了一套完整的理论，可用于计算工程上的问题。但对 于厚板，还没有便于解决工程问题的可行计算方案。当薄板受有一般载荷时，总可将载荷分解为两个分量，一个是作用在薄板的中面之内的所谓纵 向载荷，另一个是垂直于中面的所谓横向载荷。对于纵向载荷，可以认为它们沿厚度方向均匀分布,因而它们所引起的应力、应变和位移，都可以按平面应力问题进行计算。而横向载荷将使薄板产生 弯曲，所引起的应力、应变和位移，可以按

14、薄板弯曲问题进行计算。图3-4平板问题示意在薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板的弹性曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的 位移称为挠度。线弹性薄板理论只讨论所谓的小挠度弯曲的情况。即，薄板虽然很薄，但仍然具有 相当的弯曲刚度，因而它的挠度远小于它的厚度。如果薄板的弯曲刚度很小，以至于其挠度与厚度 属于同阶大小，则必须建立所谓的大挠度弯曲理论(大变形理论)。薄板的小挠度弯曲理论是以三个计算假定为基础的，这些假定已被大量的实验所证实。取薄板的中面为xy,这些假定可陈述如下： 垂直与中面方向的正应变(即应变分量)极其微小，可以忽略不计。取忆=0,则由几何方程第三式可知一W = 0，所以有czw

15、= w (x, y)(3.14)这说明，在中面的任一根法线上，薄板全厚度内的所有各点都具有相同的位移w，且等于挠度。 应力分量:z、 zx zy远小于其余三个应力分量，因而是次要的，由它们所引起的应变可以 忽略不计，但它们本身却是维持平衡所必须的，不能不计。这样，有zxzy(3.15)根据几何方程可得故有-:u:z=0x-y(3.16)U:z-：w:x:v _-：z-：w-:y(3.17)由于z =0， zx =0 , zy =0,所以中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并成为弹性曲面的法线。此外，由于不计 G所引起的应变，故其物理方程为；x；yYxy= x- Sy )1= E(tly _3X

16、卜2(1十卩).- xy由此可得，薄板弯曲问题的物理方程与薄板平面应力问题的物理方程是一样的。 薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即.:vxyjv：u” +:x；:y，故有u 乙卫=0 ,v z=（3.19）(3.20)xy面上的投影形状却保持不变。因此，中面的任意一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但在（2）壳体问题对于两个曲面所限定的物体，如果曲面之间的距离比物体的其它尺寸为小，就称之为壳体。并 且这两个曲面就称为壳面。距两壳面等远的点所形成的曲面，称为中间曲面，简称为中面。中面的 法线被两壳面截断的长度，称为壳体的厚度。对于非闭合曲面（开敞壳体），一般都假定其边缘（壳边）总是由垂

17、直于中面的直线所构成的直纹曲面。在壳体理论中，有以下几个计算假定： 垂直于中面方向的正应变极其微小，可以不计。 中面的法线总保持为直线，且中面法线及其垂直线段之间的直角也保持不变，即这两方向的 剪应变为零。 与中面平行的截面上的正应力（即挤压应力），远小于其垂直面上的正应力，因而它对变形的影响可以不计。 体力及面力均可化为作用在中面的载荷。如果壳体的厚度t远小于壳体中面的最小曲率半径R,则比值t/R将是很小的一个数值， 这种壳体就称为薄壳。反之，即为厚壳。对于薄壳，可以在壳体的基本方程和边界条件中略去某些很小的 量（一般是随着比值t/R的减小而减小的量），从而使得这些基本方程在边界条件下可以求

18、得一些近 似的、工程上足够精确的解答。对于厚壳，与厚板类似，尚无完善可行的计算方法，一般只能作为 空间问题来处理。3.2弹性力学问题的一般求解方法根据前面的讨论可知，弹性力学问题中共有15个待求的基本未知量，即 6个应力分量、6个应变分量、3个位移分量，而基本方程也正好有15个，即平衡微分方程 3个、几何方程或变形协调方程6个（几何方程和变形协调方程实质上是等效的，两者只能应用其中之一）、物理方程6个。于是，15个方程中有15个未知函数，加上边界条件用于确定积分常数，原则上讲，这些方程足以求 解各种弹性力学问题。可以证明，当这些方程的解答存在时，只要不考虑刚体位移，则所求得的解将是唯一的。但是

19、，在实际求解时，其数学上的计算难度仍然是很大的。事实上，只是对一些简单 的问题才可进行解析求解，而对大量的工程实际问题，一般都要借助于数值方法来获得数值解或半 数值解。求解弹性力学问题主要有两种不同的途径。一种是按位移求解，另一种是按应力求解。按位移 求解就是先以位移分量为基本未知函数，求得位移分量之后再用几何方程求出应变分量，继而用物 理方程求得应力分量。从原则上讲，按位移求解可以适用于任何边界问题，不管是位移边界问题还 是应力边界问题、或者是混合边界问题，所以对某些重要问题，虽然不能按位移求解方式得到具体 的、详尽的解答，但却可以得出一些普遍的重要结论，这是按应力求解时所不能办到的。事实上

20、， 在很多情况下，按位移求解也比较方便，只要所确定的位移函数是单值连续的，那么用几何方程所 求得的应变分量就必定满足相容方程。但是，关键的问题是由位移分量和应变分量所确定的应力分 量还必须要满足平衡微分方程，所以，按位移求解弹性力学问题时，往往要比按应力求解更难于处 理。这是按位移求解的缺点所在，也就是按位移求解尚不能得到很多有用解答的原因。然而，值得 指出的是，在有限单元法中，按位移求解则是一种比较简单而普遍适用的求解方式，本书中所介绍 的有限单元法都是以这种位移解法为出发点。求解弹性力学问题的另一种方式是按应力求解，即先以6个应力分量为基本未知量，求得满足平衡微分方程的应力分量之后，在通过

21、物理方程和几何方程求出应变分量和位移分量。需要特别注 意的是，应使所求得的应变分量满足相容方程，否则将会因变形不协调而导致错误。此外，应力分 量在边界上还应当满足应力边界条件。由于位移边界条件一般是无法改用应力分量来表示的，所以,对于位移边界问题和混合边界问题，一般都不可能按应力求解得到精确的解答。因此，用弹性力学 求解某一具体问题，就是设法寻求弹性力学基本方程的解，并使之满足该问题的所有边界条件。然 而，要在各种具体条件下寻求问题的精确解答，实际上是很困难的。研究发现，对一些重要的实际 问题，只要对其应力或应变的分布作若干的简化，则求解将变得比较简单。为此，通常可以根据求 解对象的几何形状和

22、受载情况，将具体问题简化为平面问题（可进一步分为平面应力问题和平面应 变问题）、轴对称问题、板壳问题等等。本节以平面问题为例，介绍弹性力学基本求解方法，首先给出了利用位移平衡方程求解弹性力 学平面问题的基本过程，然后给出了利用相容性条件按应力求解弹性力学平面问题的基本过程，最 后给出了 Airy应力函数法求解弹性力学平面问题的基本过程。3.2.1用位移平衡微分方程求解平面问题下面给出位移为基本未知量时，求解平面问题所需要的微分方程和边界条件。以平面应力问题 为例，其物理方程为(3.21)将平面问题几何方程代入上式得十E2(W，已1jy：叹空)(1亠 I ) ：x jyE1 E1(3.23)(3

23、.24)对于应力表达的边界条件需要进行变换。由柯西公式(3.25)将上面的方程代入应力平衡微分方程，得 (卑卑+空色)+x=。、&X 2 Qy22 歸2v 1 -2v 1,12u:y22；x22；:x:y7上式即为位移法求解平面应力问题的基本微分方程式。在用位移为基本变量求解时会碰到两类边界条件，即位移边界条件和应力边界条件。位移边 界条件是，在S边界上，有已知的位移ny在考虑物理方程，整理得E角丄I合丄 1_卩.cv 丄一 、 n x(=+A=)+ ny(=+=)s+X =0(3.26)1 一卩exGj2cy exE:V：u1 vfu2【ny() nx( . )s Y 01 -y:x2：x:

24、y这就是用位移分量来表达的应力边界条件。综上所述，按位移求解平面应力问题时，应使位移分量满足以位移表达的平衡微分方程式求出了位(3.24),并在边界上满足位移边界条件式(3.25)或以位移分量表达的应力边界条件式(3.26)。移分量以后，再由几何方程求出应变，用物理方程求出应力。对于平面应变问题，只需在上面的各个方程中将E换成一，将换成1 -2 卩按位移法求解平面问题需要处理两个偏微分方程，较为复杂，甚至不能得到确切解。但这种方 法可以对所求问题进行宏观描述，因此可以得到一些有价值的结论。322利用相容性条件按应力求解平面问题& y :y , xy(3.27)已知弹性力学平面问题的几何方程为c

25、u ;=x -x.2332c Zy U C v C , eV:y2上式最后一项为（2)，因此可以得到如下方程，即相容方程中的第一式(3.29)2 - 2 2 - (x :x y:y x : x _-y: y :x为了保证弹性体内任一点都有确定的位移，且同一点不可能有两个不同的位移，应变分量x, ；y, xy应满足相容性方程，否则变形后微元体之间有可能出现开裂与重叠。2xy将平面问题的物理方程（3.3）代入上式得(3.30)6 I 昇二 x3y) 2(；y3x) =2(1)一y: xxy根据平面问题的平衡微分方程CCx Txy一 +X =0:x:y二 y : xyy Y 二0:y ；x上面两式分

26、别对 x和y求偏导数，然后相加并整理得r2.2xy2xyX :Yx-(:x仝)y(3.31)将上式代入式（3.31 ）并整理得ex列(3.32)上式即为通过相容性条件按应力求解平面问题的方程式。对于平面应变问题，只要将上式中心奂成即可。3.2.3 Airy应力函数在一个弹性体内，应力分量应该满足相容方程、平衡微分方程和应力边界条件。对于平面问题 的应力平衡微分方程x.X_y=xy+ X =0Y =0(3.33)：xy更y=0, y： xy =0；:x:X得到上述两方程的通解为；-X2，:-y c 2 ,巧 xy :X:xy它的解包含两部分：特解和通解。构造齐次微分方程(3.34)(3.35)选

27、择如下形式的特解(3.36)二x = -Xx, ； = -Yy, xy = 0_Yy, - xy =则整个平衡微分方程的全解为(3.37)其中，(x, y)是平面问题的应力函数。这个辅助函数首先由G. B. Airy提出，在求解弹性力学平面问题时较为重要，应力函数对求解平面问题较为有效。应力分量也应满足相容方程。对于平面问题，假如体积力可以忽略，考虑相容性条件的平衡 方程式(3.32)可以简化为(3.38)(3.39)(2 2)(；二；二)=0 ；x ：:y把包含应力函数的应力全解式(3.37)代入上式，得(g+2)(-Xx+Yy)=0 :xyy:x忽略体积力，上式进一步简化为:-4-X-4

28、y(3.40)上式即为用应力函数(x, y)表达的相容性方程。考虑到X =0,Y =0,按应力函数进行求解，得到如下式子xy(3.41)用上述方法计算出应力后，再进一步计算出应变，最后通过应变计算出位移。应力函数的创建需要一定的经验，不同的问题应使用不同的应力函数。为简便起见，可以采用 多项式形式创建应力函数以对简单的弹性力学问题求解。下面给出几个构建应力函数求解弹性力学平面问题的例子。设弹性体体积力为 0，即x =0,Y =0.(1)=a bx cy这是一个最简单的线性应力函数，不管系数取何值，对于应力函数的相容方程(方程)总是满 足的。从式(3.41)可得各应力分量为；x = 0, ；y

29、=0, . xy = 0因此，线性应力函数状态是没有应力、没有体积力和表面力的情况。这对于任何弹性问题都是没 有意义的。(2)=ax2 bxy cy2此二次多项式在任何情况下都满足相容方程。分别讨论如下。设=ax?，由式(3.41)得应力分量二X =0,；y =2a, xy =0这种应力状态对应长方形平板沿y轴受拉力或压力的情况，如图3-5(a)。(a)(b)(c)图3-5应力函数为三阶多项式的讨论设炉=bxy，可以得到”X = 0,”-y =0,xy = -b 这种应力状态对应长方形平板沿四周作用剪切力，如图3-5 ( b)。设即二cy2，与即二ax2时的状态相似，作用力的方向变成x轴，如图

30、3-5 (c)。(3)=ay3可以证明，上式在任何情况下都满足应力函数相容方程。可以求得；-x = 6ay, ；- y = 0, xy = 0 这种应力状态下对应梁弯曲情况，如图3-6。9图3-6应力函数为三阶多项式的讨论(4)= Ax3 Bx2y Cxy2 Dy3当A,B,C和D是常数时2 二 2Cx 6 Dy :yxy2 二 6Ax 2 By.x一汽:2 2Bx 2Cy由上式可知，所有的应力是随（3.42）x和y线性变化的。如果 A=B=C= 0，那么这种应力状态相应于梁的纯弯曲的应力状态。因此，函数门-Dy3能够用于弯曲。此外，由于 4门=0，上述应力函数都满足相容方程。3.3结构材料失

31、效准则与等效应力对于具有复杂应力状态的结构，用弹性力学理论、有限元法或其他方法得到应力状态后，如何 判断在此应力状态下结构是否失效是十分重要。本节介绍几种常用的失效判据，即最大主应力准则、最大剪应力准则（也称Tresca准则）、最大变形能准则 他称von Mises准则）和最大八面体剪应力准则。3.3.1材料实验的基本知识材料的应力一应变曲线可以通过拉伸试验来获得，图3-7即为几种不同材料的典型应力-应变曲线。从图中可以看出，不同的材料有不同的特性。在初始阶段应力和应变是线性的。之后，应力达到了弹性极限，材料开始产生屈服，即产生塑性变形，该点的应力值为屈服极限 Sy。其中碳素钢的应力应变曲线在

32、屈服点之后突然下降，而其他材料没有这个特点。许多材料的屈服极限通常可以用屈服应力的0.2%来定义，即从坐标（0, 0.002） ?应该是（0.002, 0）吧处开始，画一条平行于 应力一应变曲线线性部分的直线，交点处的应力被定义为屈服极限。Strew如果材料始终受纯拉力作用，可以用材料的屈服极限作为判断失效的标准，即材料所受的应力 不能超过屈服极限。但在工程实际中，材料所承受的应力情况通常比较复杂(如平面或三维应力状态)，很显然，这时用拉伸试验获得的屈服极限值作为失效判据是行不通的。例如，塑性材料不管是在受压力还是受拉力作用，在相同的纯法向应力下，总是容易在45方向的“滑移”面上发生断裂。而脆

33、性材料试样很容易在拉力下失效，而在压力情况下，脆性材料通常在剪应力的作用下失效。所 以，针对材料不同的受力状况，使用不同的失效准则是非常重要的。3.3.2最大主应力准则最大主应力准则最早由Rankine提出，认为材料所能承受的最大主应力是引起材料失效的主要原因。因此，判断材料是否失效，只要求得材料的最大主应力。前面已述，弹性体内任一点共有三个互相垂直的主应力，即 二1,二2,二3，且有二1乙2卞3，因此，只要求得 二1而不必考虑其他两个 主应力。设Sy是材料的屈服极限，则最大主应力准则的失效判据为_ 色(3.43)由于最大主应力准则的十分简单，人们经常采用它进行初步的判定，它还可以应用于不发生

34、屈 服失效的脆性材料。但是，最大主应力准则没有在实验结果中得到足够的验证。绝大多数材料能够承受很高的各面 均匀作用的静水压力而不发生断裂或永久变形。下面给出的例子就可以证明最大主应力准则不能作 为很好的失效准则。如图3-8所示，一物体受应力 二1和二2作用，其中 1为拉应力，二2为压应力。当杆受纯扭转 时，如果F和二2大小相等，那么在 45平面上，剪应力与G大小相等。根据最大主应力失效准 则，匚是有限值，但是，试验证明，对于受纯扭转塑性材料，当发生屈服时，剪应力要远远小于 G。(a)(b)图3-8矩形单元的45滑移面3.3.3最大剪应力准则最大剪应力准则又称 Tresca理论。对于主应力 q

35、，cc3，材料失效准则为3Symax2 2(3.44)即当最大剪应力的值达到材料屈服极限Sy的一半时，材料发生失效。也可以认为Sy/2是单轴拉伸试验在屈服点的剪切应力。最大剪应力理论适用于塑性材料的失效判断。对塑性材料进行简单拉伸或压缩试验，可以发现最大剪应力发生在与轴线成45的平面上。试验中试件断裂时就沿着 45面断裂，即滑移线与轴线大致成45。简单拉伸试验验证了最大剪应力理论。同样可以验证，对于塑性材料在三维应力状态下，最大剪应力理论也是适用的。脆性材料的拉伸试验表明，试件通常不会发生塑性变形而会直接发生断裂。脆性材料的压缩试 验表明，滑移面或剪切失效面与最大剪应力面完全不同。另外，对于脆

36、性材料，拉伸和压缩时最大 剪应力也不同。对于承受三维应力状态的脆性材料，最大剪应力准则也不适用。因此，可以说最大 剪应力理论并不适用于脆性材料。3.3.4最大变形能准则最大变形能准则是工程中最常用的一种失效准则，又称von Mises准则。这个准则把在一般应力状态下某一点的变形能和拉伸试件的屈服联系了起来。当三个主应力相等时为静水应力，在这种情况下，所有方向上的应变均相等，没有剪应力，因 此物体不发生变形。这种状态发生任何一点偏差都会导致变形。一般的应力状态可以认为是一个纯 静水应力情况和一个变形情况的叠加。静水应力即平均正应力为JPy 7f(3.45)(2.144)因此，应力的一般状态可以表

37、示为kxxyyzI ave0.00a0D x D ave巧xyIOx-xyyzzxyz在等式的右边，第一个矩阵为静水应力，第二个矩阵为产生变形的应力。上式还可以用主应力表达 ave00 101 ave00 10 ave0+0口 2 _ 口 ave00忑ave100口 3 _ 口 ave _(3.47)单位体积的能量由下式给出u = /_2 巴卫2 +b2cr3 十 CI3W) (3.48)为确定变形能，只需计算二1 -6ve，6 -；ave和二3 -二ave。其中，二ave -二2二3 /3。单位体积内的变形能可以简化为1 16E 宙2 2 21- ；2亠 I?- 2- ；3 i 亠 I?-

38、3- ；1j(3.49)在拉伸实验中，材料发生屈服时的应力状态为 ；_=Sy和二2= =3=0。所以，屈服时变形能为1+P 2 (Ud)y = 3E S y化简式(3.49)和(3.50)，得到在一般应力情况下的von Mises准则为0.5(-6)2(6-6)2(6-G)2LSy(3.50)(3.51)按照变形能理论，当主应力 G，二2，二3满足下式时发生屈服/5匕-二2)2(2 -二3)2 2 -f)2LSy(3.52)若定义von Mises应力为二 vonMises 二一 0.5 （J - 二 2）仟 2 一；3）2 （6 一二1）2（3.53）则最大变形能准则可表示为von Mises(3.54)3.3.5正八面体剪应力准则以3个主应力方向为坐标轴，正八面体的一个表面的外法线方向与坐标轴的方向余弦值相等,即nx = ny = nz。可以证明，该面上正应力为11(3.55)二 oct (二 12 二3) I 133剪应力为或-oct2 2 2(5 一 2)+(尢一 3)+( 5一 3)(3.56)-oct彳(112-312)12(3.57)式中，I1和I2分别称为第一和第二应力不变量。该面上的正应力和剪应力分别称之为正八面体正应 力和正八面体剪应力。图3-9正八面体应力通过材料的轴向拉伸试验可以发现，在