2工程试验设计讲稿(第二章-区组设计)18页

1、工程试验设计第二章 试验干扰控制讲 稿2009年2月1日第一节 试验干扰的概念在因素试验过程中，为了保证试验指标的精确性，即为了保证试验结果的可信度，各种试验处理在试验过程中除了所要考察的因素水平变化外，其余的其他试验条件应该保持均匀一致。否则，试验结果就不能真正反映试验因素变化对其影响的程度。例如，在犁耕牵引阻力的实验过程中，考察了三个因素：工作速度A、犁的类型B和犁的深度C。如果每个因素取两水平进行试验，以确定两种类型的犁牵引阻力的大小，则可按照标准正交表L4（23）安排4次试验处理组合的试验。此时不考虑存在因素间的交互作用。表2-1 犁耕牵引阻力试验考察因素及水平列号试验号（1）（2）（

2、3）ABC1（1）A1（1）B1（1）C12（1）A1（2）B2（2）C23（2）A2（1）B1（2）C24（2）A2（2）B2（1）C1我们知道，在犁的牵引阻力试验过程中，不同类型和不同含水量以及不同坚实度的土壤对犁耕作的阻力是不相同的。因此，在试验安排过程中，上述4种组合处理如果在相同的土壤条件下进行，则可以反映3种因素对犁耕阻力的影响；而如果在不同的土壤条件下进行，则土壤条件改变对犁耕阻力的影响可能就会超过上面3个因素的影响，从而使得试验所得出的结论失去了可信度。但问题是，在实际的试验过程中，土壤条件的改变是客观存在的，在同一块田地内和在同一条垄沟内，土壤的条件都是非均匀的。因此，如何在

3、不均匀的条件下使得试验结果可信，即存在不可控因素的条件下，如何使得试验指标具有较高的精确度，就是试验设计要解决的问题。1 干扰因素1.1 干扰的定义在试验设计中，将对试验指标有影响并能够比较精确控制其水平，也就是将对其考察的试验条件称为“因素”；对一些可能对试验指标产生影响，但是却不能进行人工精确控制，因而也不是加以考虑和考察的试验条件称为干扰（干扰因素）。1.2 消除干扰因素对有些试验问题，除去要考察的因素之外，试验条件比较均匀一致，干扰因素对试验指标的影响较小，我们可以忽略干扰的作用。而对于有些试验问题，这种干扰是绝对不容忽视的。例如为了确定几种优良小麦的增产效果，就要安排地块进行田间试验

4、。但是由于自然条件、土地情况、田间管理水平等种植条件在不同地区必然存在较大差异，因此就可能使得试验结果在不同地区不具有真实的可比性。在试验过程中，有些干扰因素是随机出现的，有些是试验之前无法事先估计到的，因而在试验过程中也是无法控制的。因此，为了保证试验结果的精确度，应尽量保持各种试验组合处理都在相同的条件下进行，以控制和消除干扰对试验指标的影响。对于验证性试验，例如产品的鉴定，要求规定统一的试验标准和试验条件，实际试验对严格按照标准和规定的条件进行。对于探索性试验，必须认真遵循:设置区组重复试验随机化措施这三个基本原则，以消除和控制干扰对试验指标的影响，使得因素的作用效果表现出来。1.3 干

5、扰因素存在的判断正交表空列法如果已经做完了一个试验，并且得到了所要求的试验指标，怎样制定该试验指标是否受到了干扰呢？在正交试验中，根据正交表所表现的因素水平的正交性，可以利用正交表来制定试验指标的精确程度，既是试验指标受干扰的大小。具体制定方法通过下面例子。例2-1对三因素二水平的试验采用L8(27)标准正交表设计试验计划。考察所有的一级交互作用，安排试验的表头设计如表2-2所示下：表2-2 正交试验的表头设计列号1234567因素ABABCACBC空从上面的表头设计过程中我们可以知道，在L8(27)表上除去安排了试验因素和交互作用外，尚存在一个空列。根据空列中所标示的各水平所对应的试验指标平

6、均值，就可制定其干扰因素的干扰程度。表2-3 空列判断干扰因素的方法因素试验号指标yi空列水平（）1(3) 因素对应指标的大小次序 0.140（1） 0.225(3) -0.0852(4) 0.170（2） 0.228(4) -0.0583(5) 0.250（2）空列的水平 0.228(5) 0.0024(6) 0.310（1） 0.225空列各水平对应的指标之和的平均值ki(6) 0.0855(8) 0.410（2） 0.228(8) 0.1826(7) 0.340（1） 0.225(7) 0.1157(2) 0.110（1） 0.225(2) -0.1158(1) 0.080（2） 0.2

7、28(1) -0.148分析步骤如下：（1）求按照空列所标示的水平求对应指标平均值（即是空列上所对应的ki值），并按所对应的水平数填入上表中列上。 (第一水平)(第二水平)（2）求差值i求出每一号试验所对应的的大小以表示，并将其值填入表中。 （3）排序将yi一列数值大小和i一列数值大小排成一定顺序，按从大到小或者从小到大的顺序。现我们按照从小到大的顺序排列，并将顺序号填入表内括号中。（4）比较yi列数据的序号和i列数据的序号是否一致。若一致，说明试验结果较精确，受干扰因素的影响较小。若序号不一致，表明试验结果不够精确。两种序号的差异越大，表明试验结果越不精确。本例中，两列数据的排序完全一致，说

8、明试验数据较精确，可以进行进一步的计算分析。空列各水平所对应的试验指标平均值的差异（Re）反映了试验中未考察的交互作用、未考察的因素和试验误差对试验指标的影响。若这种影响很小，可以忽略，则列中的数值应该完全相等，即=常量，即Re=0。即是空列所表示的水平对试验指标没有影响Re=0（极差），所以k1=k2，因此，=常量。这样一来，所以应该与的顺序完全一致。如果通过上面的分析表明试验指标有较大的干扰误差，就应当查明原因，采取必要的措施并进行重新的试验。而不应该继续采用误差较大的试验指标进行计算分析，因为这样所得到的结论是不可靠甚至会是错误的。空列极差Re是否大于因素极差，如果，则说明干扰因素对试验

9、指标影响大于试验因素，试验结果不可靠。第二节 试验设计的基本原则 在进行因素试验时，为了避免干扰因素对试验指标的影响或者将其减少到最小程度，应该遵循设置区组、重复试验和随机化这三个基本原则。1 设置区组1.1区组区组就是人为划分的试验时间和空间的范围任何一项试验的试验点数都不能是1，最小正交试验的试验号为4。因此，在进行试验时，不同试验号之间就一定存在时间上的前后差异。假如每一号试验所需的时间较长，则多点试验时前后时间的差异就更大。由于时间的差异存在，就会导致试验条件的改变，因而造成试验误差的出现。另外，有一些试验是在不同空间内进行的，如田间试验。不同空间内存在差异（土壤、水分、气温、温度等）

10、，由于时间上的差异会导致试验空间的差异，将会进一步扩大试验的误差。而且试验号越多，试验的时空范围就越大，试验条件之间的差异也就越大。在进行试验时，要想使时空范围在同一点上进行是无法实现的。因此，在时间试验过程中，我们就应该通过划分区组缩小试验的时空范围，尽量创造均匀一致的试验条件，有效的控制试验干扰对试验指标的影响。1.2 区组设计区组设计就是利用区组合理安排试验方案的设计方法。区组设计时，区组之间的试验条件差异可能较大，但是区组内各个组合处理间的试验条件则要求相对均匀。(1)差（瘠） 好（肥）(2)差（瘠） 好（肥）例如，在一块土肥相差很大的田地上进行三种小麦产量的试验为了消除土壤肥力不均匀

11、对小麦产量的影响，要必须考虑试验时三种品种A、B、C在田间的分布。很显然第（1）种排列方式是不合理的，而第(2)种设计是合理的。因此，在试验时，通过试验因素在时间和空间上的不同排列方式设计成试验方案以消除干扰因素的影响就是区组设计要解决的问题。对于区组内的一些不可控制或不能知道的差异，就只能通过随机化措施予以控制。这样，区组设计可以局部控制干扰，使得各个组合处理在相对均匀的试验条件下 进行试验，以提高试验精度，如上例中（2）的因素安排方式。2 重复试验2.1 重复试验定义重复试验就是指同一个试验单元的若干次重复。试验单元是一种组合处理由始至终的完整试验过程。在一项多因素试验中，有几个处理组合就

12、有几个试验单元，在正交试验设计过程中，有多少个试验号就有多少试验单元。2.2 重复试验目的重复试验的目的是估计试验误差，提高试验的精度。通常试验误差大的应多做一些重复试验，试验误差小的可以少做重复试验。重复试验至少应两次，一般为4-6次。为什么通过重复试验能够估计试验误差和提高试验精度？我们通过“概率论和数理统计”理论可以知道，如果试验指标（试验结果）在某真正值附近摆动时，（由于试验误差的存在），则经过N次测定后，试验指标的平均值X就在真值附近摆动，并且X比N次测定中任一次单独测量的结果更接近于真值。测量结果（试验指标）(重复6次)试验结果平均值 的方差为 虽然增加重复试验次数可以提高试验结果

13、的精度，但是过多的增加重复试验的次数并不是必要的。因为重复试验次数过多会增加试验费用和耗费人力物力。因此设计一个试验计划时，确定重复试验次数应以保证检测出试验所要求的因素作用所引起的真实差异大小。2.3 重复试验安排如何进行重复试验是安排试验计划时的关键，应根据试验的具体情况和试验条件区别对待，灵活掌握。试验时，可以先将全部试验组合处理全部做完一次后，再重新安排试验处理的又一次全部试验以完成一次重复。也可以在每一组试验处理的试验之后，立即安排多次重复。也可以在出现因素最优组合处理后仅将最优组合处理进行重复试验。必须指出，任何试验根据他的设计要求都有一定的适应范围，多做重复试验以提高试验指标的精

14、确度才能使试验分析所得到的结果具有较高的可信度。3随机化措施3.1 随机化随机化措施主要是指对区组空间位置、区组实施的时间顺序、各个组合处理的试验序号和因素水平的排列次序的随机安排。随机化措施是在区组设计和重复试验中对未能控制与为被发现的随机干扰做进一步控制的措施。通常可以把随机化措施作为一种控制差异的保险手段。实际上，随机化措施是通过试验组合处理在排列上的机会均等，以消除某些组合处理可能占有的“优势”或“劣势”，以尽量保证不同试验处理组合所得到的试验条件均匀一致，正确估计试验误差，也保证试验指标（数据）的独立性和随机性，进而满足统计分析对数据的基本要求。3.2 随机化方法（1）完全随机化它是

15、不以试验者的主观意识而完全由机会决定。如抓阄、掷骰子、查随机数表。具体例子可参看第三节单向干扰控制。（2）部分随机化在完全随机化基础上，进行某些人为调整。具体例子可参看第三节单向干扰控制。总结试验设计的三个基本原则，以区组设计为核心，重复试验和随机化措施多贯穿于区组设计之中。三个原则相辅相成，互相补充而融为一体，从而控制干扰对试验指标的影响，保证试验条件一致和试验结果的高可信度，使试验设计所得到的结果科学、可靠。第三节 单向干扰控制单向干扰就是在试验过程中，有一个因素干扰试验指标，在试验设计时，应该控制这个干扰。控制单向干扰的方法较多，主要介绍用正交表安排的完全区组设计和不完全区组设计。1 完

16、全区组设计1.1 完全区组设计定义将正交表所列的全部组合处理都安排在同一个区组内进行试验的方法称为完全区组设计。它每安排一个区组，就相当于全面重复一次试验。例如用正交表安排A、B、C三个因素的试验时，将正交表所列的三因素二水平的正交组合处理（共4组）A1B1C1、A1B2C2、A2B1C2、A2B2C1全部放在同一区组内，则称为完全区组设计。例2-2用东方红-40型拖拉机与IL-30悬挂犁组成机组进行最大耕深试验。试验时所选影响耕深因素和水平如下表所示的试验方案：因素试验号A悬挂点高度（h）B犁铧状况C立柱高度（H）最大耕深yi1(1) 575(1) 甲（锐）（1） 10752(1) 575（

17、2）乙（钝）（2） 11453(2) 605(1) 甲（锐）（2） 11454(2) 605（2）乙（钝）（1） 1075本试验采用同一台拖拉机和同一台犁，同一个驾驶员、同一组测试人员和同一测试仪器（以保证试验条件的一致性）。但由于试验是在野外进行，试验田各处情况一定会存在差异。所以耕深除了与试验因素有关，还受到土壤条件的影响。为了使试验结果仅与试验因素有关，以便找出因素水平的最优组合，应该控制土壤条件这一干扰因素。对试验地进行实地考察发现，试验地土壤条件的变化如图所示。123412341342321413422431区组区组松软坚硬因为本例只有4组试验组合处理，试验点数目小，可以采用完全区组

18、设计，即是在一个试验区组内，安排全部的4组组合处理，为提高试验的精度，试验进行一次重复，这样就需要将试验地分成两个区组，每个区组内安排4各组合处理。为了使同一区组内的试验条件基本保持一致，也就是使同一区组内土壤条件的变化尽量小，试验地的分区应按上图分成区和区。1.2 完全区组设计中处理组合的安排区组划分好之后，关键是4组试验处理如何在区组内安排，才能有效的控制土壤条件对试验指标的影响？我们分别看一下三种不同的情况:（1）完全按照试验方案中的试验号安排试验顺序，不进行任何随机化处理这样，试验号1的组合处理始终处于土壤相对较松软的条件下，而试验号4始终处于较硬的土壤条件下，使得土壤条件对各号试验优

19、劣不均，影响试验结果可靠性。区组1234区组1234区组1234另外，由于完全按照试验号安排试验顺序，则在完成每一号试验之后，都要更换犁铧，与调节悬挂点高度和立柱高度相比，更换犁铧要费很多时间。因此这样安排试验会使试验的时间加长，不利于试验。（2）完全随机排列通过查随机表或者其他方法来安排4组组合处理在区组内分布的前后顺序。这样就在一定程度上消除了土壤条件对各号试验指标的影响。但是如果完全按现在的顺序安排试验，则仍然要频繁的更换犁铧，对试验的快速进行仍然不利。区组1234区组2341区组3412（2）部分随机排列在完全随机排列的基础上，考虑到减少犁铧更换的次数及清楚土壤条件对各号试验的影响，有

20、意识地对试验号和试验顺序进行调整。这样，更换犁铧的次数得到了减少，又满足了排除土壤干扰的要求。区组1324区组2413区组3142完全区组设计进行试验结果分析时，只需将重复试验的指标值都列上，然后求出每个试验号（每种处理）的指标平均值，并按照平均值进行极差分析，进而确定因素的主次顺序和优水平。1.3 完全区组设计注意事项必须指出，完全区组设计时试验号的数目不能太大，一般以4-8为最多。但是在很多实际试验时，试验号的数目要超过4-8。这时，就无法进行完全区组设计了。为了克服完全区组设计的这一局限性，就要进行下面所介绍的不完全区组设计。2 不完全区组设计2.1 不完全区组设计的定义不完全区组设计就

21、是在试验的每一个区组内，安排正交表所列的部分组合处理。不完全区组设计就是把区组当作一个因素，在正交表中占有一列，该列同一水平对应的试验号为一个区组，区组内只安排该水平所对应的试验号，这样的设计即为不完全区组设计。它在完成区组中所有的试验号时，才算完成一次全面试验。例如，用安排四因素四水平试验时，在要求控制单向干扰前提下，如果用完全区组设计，16号试验都集中在一个区组内，显然试验的时空范围过大。用不完全区组设计，把16个试验组合处理分别放在几个区组内，使得每一区组内的试验号数减少，如取四个区组，则每个区组内放置4个试验，就能完成16号试验。2.2 不完全区组设计的安排在利用正交表安排不完全区组设

22、计时，可选正交表的任何一列作为区组列，以控制单向干扰。对于混合型正交表，通常选用多水平列作为区组列。划分的区组数等于区组列的水平数。而每一个区组内的组合处理数等于正交表的试验号除以区组列的水平数。例如用L8(27)正交表的任一列作为区组列，则试验组合处理分成两个区组，每组4个组合处理。若用正交表的6水平列作为区组列，分成6个区组，每组含3个组合处理。 例2-3 用拖拉机和犁组成机组进行耕深试验。选择3个因素：（1）悬挂点高度，（2）犁铧类型，（3）悬挂点高度+立柱高度H+h，每个因素选择3个水平安排试验。选用L9(34)进行试验的正交设计。将表中的第4列作为区组列，以控制土壤条件不均匀造成的对

23、耕深影响。试验方案及结果分析如表所示。这样，就把9个试验分别放在3个区组当中去做。第一个区组中有试验1、5、9。第二个区组中有试验2、6、7。第三个区组中有试验3、4、8。在试验过程中应该按什么样的顺序去做最合理，分析如下。两种试验顺序比较（1）区组1区组2区组3区组1区组2区组31，5，92，6，73，4，81，5，92，6，73，4，8（2）区组1区组3区组2区组2区组3区组15，1，93，4，82，6，77，6，28，4，39，1，5松软坚硬方案（1）：未经随机化处理，不合适。试验1总在最松软的地方，而试验8总在最坚硬的地方。方案（2）：在方案（1）基础上进行了调整，使试验条件均匀一致。

24、使区组间相邻的两个试验不用更换犁铧。最大耕深试验方案及结果分析 因素试验号（1）hA（2）犁铧B（3）H+hC（4）区组实测值矫正值123456789（1） 645（1） 645（1） 645（2） 605（2） 605（2） 605（3） 575（3） 575（3） 575（1）（2）（3）（1）（2）（3）（1）（2）（3）（1）（2）（3）（2）（3）（1）（3）（1）（2）（1）（2）（3）（3）（1）（2）（2）（3）（1）21.322.523.917.324.423.621.219.523.720.122.025.619.023.223.120.721.222.567.767.7=

25、20.1+22.0+25.6，而不是66.7=21.3+22.5+23.959.864.4（69.4）65.865.366.463.5（67.3）65.864.471.269.5（60.7）65.822.5719.9321.47（23.13）21.9321.7722.1321.17（22.43）21.9321.4723.7323.17（20.23）21.93Rj1.13.82.0（2.9）0因素主次B、C、A优水平A1B3C32.3 不完全区组设计的数据矫正在试验结果分析中，不能用实际测得的试验数据进行分析，因为各试验是在不均匀的土壤条件下进行的。需要对试验指标进行矫正，从原始数据中剔除“区组

26、因素”的影响后再分析。矫正方法如下。（1）求试验指标的总和及其平均值为试验条件均匀一致，即各区组间无差异（中等松软）的情况下，各试验因素都取平均水平时的试验指标值。是比较因素效应、交互效应和区组效应的统一标准。（2）根据原始指标值yi计算区组列的Ki和ki，填入表中，并加括号例如，区组列的1水平计算如下：K1=21.3+24.4+23.7=69.4；k1=K1/3=69.4/3=23.13同理，可计算其它区组的相关数据，见实验方案表。（3）计算“区组效应”ri 注意：（4）计算试验指标的矫正值将原始指标值yi减去所在区组的区组效应ri，得到指标的矫正值。如表所示。（5）极差分析以矫正后的指标值

27、计算各因素A、B、C的Ki、ki和Ri值，并进行分析，确定最优处理组合。第四节 两向干扰控制所谓两向干扰，是指在一项试验中同时存在两种必须控制的干扰。例如，在试验的时间、空间、人员、仪器和设备等产生的干扰中，同时有两个需要控制的干扰就是两向干扰。在试验的空间中，两个方向的较大差异也是两向干扰问题。如试验地块两个方向土质不均，由两种材质不均的板料加工的试件等。实际上，一项试验中可能同时有多种干扰存在。那些影响甚微的干扰常常被忽略，不予控制，而那些影响可能较大的干扰，就必须控制。通常利用正交表和拉丁方控制两向干扰。1 正交表区组设计利用正交表控制两向干扰时，试验号的多少一般不受限制。控制两向干扰需

28、占正交表的两列，通常都称为干扰列或区组列。两方向都是不完全区组设计，两方向区组数不一定相等。若利用等水平正交表设计，两向区组数都等于水平数，每区组内组合处理数都等于正交表试验号除以水平数；但若利用混合型正交表进行设计时，如选用正交表L8(424)的四水平列和任一个二水平列作为区组列，则两向区组数及两向区组内组合处理数都不相等，此例个方向为4个区组，每个区组内2个组合处理，而另一个方向则为2个区组，每个区组内4个组合处理。进行两向干扰控制的区组设计时，最好列出两向干扰控制表。例2-5 在非路面条件下进行某越野汽车的通过性试验，重点考察轮胎的结构参数和工作参数，试验因素及其水平如表2-7所示。交互

29、作用均忽略。试验指标为滑转率。表2-7 汽车通过性试验因素水平表 本例是室外试验，为了避免环境、气候条件的变化可能对试验产寸的影响，拟用2台同型号车，2组试验人员进行同时试验，以缩短试验时间。考察试验场地发现，各处坚实度有差异。显然，试验场地的不同坚实度会形成试验干扰。此外，尽管两台试验车为同一型号，测试仪器相同，人员技术水平差异不大，但这两台车(包括车上仪器和试验操作人员)仍可能造成试验条件的较大差异而形成试验干扰。因此，应对这两种干扰进行控制。为了分析方便，分别以G1、G2表示它们。 设计试验方案时，选用正交表既要考虑把干扰当作因素，又要考虑到重点控制的干扰要适当多分区组。设计表头时，通常

30、先安排因素后安排干扰。安排干扰时，如果可能，应尽量使水平更换困难的因素减少水平更换次数。例2-5选用L8(27)正交表安排试验，先将试验安排在1、2、3、4列，干扰可随意安排在5、6、7三列中的任意两列上。考虑到因素A和D更换水平较困难，应减少其更换次数，显然G1应排在第5列而不应排在第6列或第7列，最后将G2排在第6列。试验方案如表2-8所示。 试验方案编制好后，还应列出两向干扰控制表。将正交表中两干扰列各水平的不同组合所指尔的试验号分组，并分别放到G1、和G2的二元表中相应的位置上，就形成了两向干扰控制表，如表2-9。此表是控制两向干扰时进行试验的具体依据，直观形象、便于实施和控制，也便于

31、对试验指标进行两向矫正。试验时必须严格按此表实施。表2-9中的箭头表示各号试验的顺序，如G1中的I区组内第一辆车的试验顺序是-。这样，在、号试验之间和、号试验之间就不用更换A、D因素的水平，Gl排在第5列的好处就在这里。但应注意：、号试验和、号试验必须分别在试验场地的区组I和区组内实施。若要重复试验一次，就要再实施表2-9一次。但第二次实施该表时，试验顺序不应与第一次相同，可随机调换行列。 显然，控制两向下扰的区组设计是与试验设计的3个基本原则的具体实施融为一体的。 试验结果分析时，应先在两向干扰控制表上对试验指标值进行两向矫正，即首先消除两向干扰的影响，如表2-9所示。表中括号内数字为实测试

32、验指标值。具体做法是，先计算总平均值与两向干扰各区组的对应试验指标和K1i、K2i及其平均值k1i、k2i。例如，G1第I区组对应的试验指标之和K1I为该区组内所有试验指标之和，即 将的计算结果填入控制表相应的位置上。可以看出试验车辆与试验场地对试验指标都形成了干扰，试验车辆造成的干扰更大些。 最后，再将矫正值填入结果分析表中的栏内，并作为试验指标进行结果分析，如表2-8所示。分析结果表明，两种干扰对试验指标的影响较大，甚至大于因素B、D的作用，说明两向干扰的控制是完全必要的。2 拉丁方区组设计2.1拉丁方概述用拉丁字母排列的具有一定性质的方阵称为拉丁方，见图2-3中的(b)、(c)。拉丁方的

33、排列现在不限于拉丁字母，而多用阿拉伯数字，如图2-3(a)。拉丁方的阶数即为拉丁方的行数和列数。具有两行或两列的拉丁方称为2阶拉丁方，并记作22，图2-3(a)、(b)即为二阶拉丁方。具有三行和三列的拉丁方称为三阶拉丁方，记作33，如图2-3(c)。一般地，在由K个拉丁字母或K个不同符号排成的K行K列的方阵中，若每行的K个字母不同，每列的K个字母也不同，即每个字母在每行每列出现次，并只出现一次、则称这个方阵为K阶拉丁方或KK拉丁方，记作KK。 标准拉丁方是第1行第1列都按拉丁字母的顺序排列的拉丁方，如图2-3(c)所示，否则即为非标准拉丁方。 拉丁方具有正交性，且行列皆有，比正交表更严格；拉丁

34、方的行或列调换不改变其性质。拉丁方的上述两条性质是用之进行两向干扰控制的依据。具体应用时，只要有了标准拉丁方，就完全可以根据试验的实际情况和要求，随机地选一个所需阶数的标准拉丁方，再对标准拉丁方随机地调换它的行和列，然后安排试验即可。 若K阶拉丁方中的拉丁字母被当作一个拉丁因素，不同拉丁字母即为其不同水平，拉丁方的行与列分别当作行因素和列因素，则每个K阶拉丁方都可以安排三因素试验，每个因素皆为K个水平，共进行K2次试验。如二阶拉丁方可安排二水平的三因素试验，试验点数为4次。事实上二阶拉丁方可化为L4(23)正交表。 希腊-拉丁方即为由一个K阶的拉丁字母表示的拉丁方与另一个K阶希腊字母表示的拉丁方正交重叠构成的K阶拉丁方。例如两个三阶拉丁方正交重叠成一个33希腊-拉丁方，如图2-4所示。 在希腊-拉丁方中，任拉丁字母与每个希腊字母相遇一次，也只相遇一次，故希腊-拉丁方是一个正交