坐标平面上的直线知识点归纳

1、精心整理学习必备坐标平面上的直线知识点归纳、直线的倾斜角和斜率:(1 )直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把 x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为那么a就叫做直线的倾斜角。注意：规定当直线和 x轴平行或重合时，其倾斜角为 0，所以直线的倾斜角 a的范围是 0 a 180o ；(2)直线的斜率：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，k = ta na斜率是用来表示倾斜角不等于90的直线对于x轴的倾斜程度的。每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率(直线垂直于时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关

2、问题时，应考虑到斜率的存 在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。斜率计算公式:设经过A(xi，yi)和B(X2,y2)两点的直线的斜率为k，Vi 一 y2则当为kx2时，k =tana = ；当x x2时，口 =90 ；斜率不存在; Xi - X2二、直线方程的几种形式:(1)点斜式：过已知点(xo, yo)，且斜率为k的直线方程：y yo =k(x Xo)；注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为X = Xo ； y_ = k 表示：y -y。= k(x -X0)直线 上除夫(x。，y。)的图形 。X-X0 (2)斜截式：若已知直线在 y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程：y

3、 =kx + b ；注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。(3)两点式：若已知直线经过 (xyj和(x2,y2)两点，且(x x2,y y2)，则直线的方程：上也=上乂 ；y2 y1 X2X1注意：不能表示与 x轴和y轴垂直的直线;当两点式方程写成如下形式(X2 -XjXy-yj -(y2 -yjXx-xJ =0时,方程可以适应在于任何一条直线。(4)截距式：若已知直线在x轴，y轴上的截距分别是 a，b( aHO,bHO)则直线方程:注意： 不能表示与 x车由垂直的直线， 也不能表示与 y车由垂直的直线， 特另g是不能表 示过原点的直线，要谨慎使用。X =

4、 x0 + at(5)参数式：0(t为参数)其中方向向量为(a,b),(y = y 0 + btJab ）；Vab2 Vab2三十卄岛；I tl - t2 I点P,P2对应的参数为ti,t2，则IP1P2戶L-Ja2 +b2x = X0 中 t cos Ctly = yo +tsin Ct(t为参数)其中方向向量为 (cosa,sinet)， t的几何意义为I PFO I ；斜率为tana ；倾斜角为a(oa c巧。(6) 一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：Ax + By + C = 0 ; ( A,B不同时为零)；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。注意：直线方程的特殊形式，都可

5、以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数A, B, C是否为0才能确定。指出此时直线的方向向量：（B,A），（-B,A），（”-,、）（单位向量）直线的法向量：（A, B）;（与直线垂直的向量）三、两直线的位置关系:位置关系h : y = k1x +6 丨2 ： y = k2x +b21, : A1x + B, y + 0=012 : A2x + B2 y + C2 = 0平行k k2，且 b, H b2ABlG=丰九B2C2重合ki = k?，且 b, = b?ABlGAB2C2相交k, H k2A,仝 Bi 丰A2B2垂直k,k = -1A, A2 + B, B2

6、 = 0设两直线的方程分别为：12 : ； =2：誌或l2： A2：；旣二2：00 ；当 k k2或2 H A2Bi时它们相交，交点坐标为方程组匸忍卫或优：住卩二0。解;注意：对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；口：（ABJ-k（A，B2）对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；女0（A1,B1） g, B2） =0 若两直线的斜率都不存在，则两直线平行；若一条直线的斜率不存在，另 直线的斜率为0_，则两直线垂直。对于AA2 + B1B2 =0来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此,此公式使用起来更方便. 斜率相等时，两直线平行 （重合）：但两直线平行（重合）时，斜率不一

7、定相等, 因为斜率有可能不存在。四、两直线的交角（1）li到12的角:注意:把直线li依逆时针方向旋转到与12重合时所转的角；它是有向角，其范围是0 0 c兀；屛到 12的角与12到h的角是不一样的：旋转的方向是逆时针方向: 绕“定点”是指两直线的交点。（2）直线li与12的夹角：是指由li与I2相交所成的四个角的最小角 （或不大于直角的角），TT它的取值范围是o-:2(3 )设两直线方程分别为：d y =k1x+b1或h ： Ax+B1y+C1 =0l2：y=k2X +b2 l2 : A2 B2y+ C2 = 0为h到|2的角，-忌或ta亠誥瓏若0为11和12的夹角，贝U tan日=k2 -

8、ki1 +k2ki或tan日=A B2 A? B1A1A2 中 B1 B2当 1+ k1k0或 A4+ B1B2=O时，0 =90 : 注意：上述与 k有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直：当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。直线11到12的角八11和12的夹角： 7）或五、点到直线的距离公式:设点P(x0, y。)和直线丨：Ax + By +C = 0 ,点P到I的距离为：d = 1 Ax。+ By0 +C 1两平行线 11 : Ax+B1y+C1 =0 , 12 ： A2X + B2y + C2 =0的距离为:六、直线系:(1)设直线 h : Ax + Ry+

9、G =0, I2 ： A2X + B2 y + C 0，经过 ij?的交点的直线方程为 Ax+Biy+Ci+A(Ax+B2y+C2)= 0 (除去 I2);如：y =kx+1= y -1-kx=0，即也就是过 y-1 =0与x=0的交点(0,1)除去x=0的直线方程。注意：推广到过曲线fi(x,y) =0与f2(x,y)=0的交点的方程为：f1 (x Zf (x2 0 ；(2)与 I : Ax +By +C =0平行的直线为 Ax + By +C = 0 ；(3)与丨：Ax +By + C =0垂直的直线为 Bx - Ay + C = 0 ；七、对称问题:(1)中心对称:点关于点的对称:该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点 A(a,b)关于C(c, d)的对称点(2c-a,2d -b)直线关于点的对称:I、在已知直线上取两点，禾U用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标, 由两点式求出直线方程；n、求出一个对称点，在利用I1/I2由点斜式得出直线方程;禾U用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线|1:2x+3y-6 = 0关于点P (1,-1)对称的直线12的方程。(2 )轴对称:点关于直线对称:I、点与对称点的中点在已知直线上， 点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。n、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的