同步讲解圆锥曲线知识点总结

1、圆锥曲线知识点小结圆锥曲线在高考中的地位:圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以圆锥 曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想其设问形式方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力, 新颖、有趣、综合性很强。(1) .重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。(2) .重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。(3) .重视解析几何与立体几何的有机结合。C：3 + y2=B两点，线高考再现：2011年(文22)在平面直角坐标系xCy中，已知椭圆1.如图所示，斜率为k (k0)且不过原点的直线I

2、交椭圆C于A、 段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G交直线X = -3于点0(-3 , m).(1) 求m2 + k2的最小值;(2) 若I OG2=IOD -lOE ,求证：直线I过定点; 试问点B G能否关于X轴对称？若能，求出此时 ABG的外接圆方程; 若不能，请说明理由.32X (理22)已知动直线l与椭圆C: 3 + 2 = 1相交于P (X1, y1 )，Q(X2,也y2)两个不同点，且 OPQ勺面积压opq= 2，其中o为坐标原点.2 2 2 2(1)证明：勿+无和1 +兀均为定值;(2)设线段PQ的中点为M求I 0M -IPQ的最大值;(3)椭圆C上是否存在三点D, E,

3、G,使得 &ODE= S odg= S oegT ? 若存在，判断 DEG的形状；若不存在，请说明理由.(2009年山东卷)设m R,在平面直角坐标系中，已知向量 a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1), a 丄b，动点M(x,y)的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；(2)已知m=1/4,证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨 迹E恒有两个交点A,B,且OALOB(O为坐标原点),并求出该圆的方程；(3) 已知m=1/4,设直线I与圆C:x2+y2=R2(1R|耳$1)常数2a=A为，轨迹是线段 常数2a酉对，轨迹不存在;常数2a=0,轨迹是F1

4、 F2的中垂线。抛物线平面内与一个定点 F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，定直线I叫做抛物线的准线.(注:F不在I上)当F在I上时是过F点且垂直于I的一条直线。 定义中要重视 括号”内的限制条件定点Fi（,0）,F2（3,0），在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中，是椭圆的是（）A . |P Fi| +1PF2I =4 B . |P Fi| +1PF2I =6c. PFi + PF2 =102 2D |PFi| +IPF2I =12(2)方程 J(x-6)2 + y2 -J(x +6)2+y2 =8表示的曲线是二、圆锥曲线的标准方程2b-12 2 2椭圆：焦

5、点在x轴上时：务+上=1焦点在y轴上时： 芯a ba注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上。(1)2 2 2 2双曲线：焦点在x轴上时： 笃_与=1焦点在y轴上时： 笃_笃=1 a ba b注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置。2 2丄+丄=13+k 2-k椭圆,m取值范围。(3)已知方程2 2=1表示焦点在y轴上的椭圆，贝y m的取值范围是m T 2 -m(4)抛物线y2= mx(m丰0)的焦准距p为三、椭圆与双曲线的性质分析，焦点坐标是，准线方程是(2)X2已知方程2y-=1表示双曲线，求分类椭圆双曲线定义平面内与两个F1, F2的距离之和等 于常数（大于|FiF2）的点的轨迹平面

6、内与两个F1，F2的距离之差的绝对值 等于常数（小于|FiF2）的点的轨迹图形y x, / A,X标准方程2 22 +=1(a b 0) a b2 2孑b=“o，b0）a、b、c关系22.2Ic =a -bC2 =a2 +b2a、b、c的意义a是长半轴长，b是短半轴长，c是半焦距a是实长半轴长，b是虚短半轴长，C是半焦距范围-a x a,-b y bxay忘 R分类椭圆双曲线对称性关于X轴和y轴对称， 也关于原点对称关于X轴和y轴对称， 也关于原点对称顶点Ai(-a,0)A2(a,0)Bi(0,-b)B2(0,b)4(-a,0)，A2(a,0)离心率c e =ace =a焦点坐标Fi(-c,0

7、)，F2(c,0)Fi(-c,0)，F2(c,0)渐近线无y =Xa抛物线几何性质:(2)(3)(4)2 2 椭圆若椭圆丄 =1的离心率e=，则m的值是_5 m5双曲线的渐近线方程是3x2y=0，则该双曲线的离心率等于若该抛物线上的点 M到焦点的距离是4，则点M的坐标为_2 2设双曲线 笃_2=1 (a0,b0)中，离心率e ,2,则两条渐近线夹角0的a2 b2取值范围是设aH0,a亡R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为(6)双曲线的离心率等于 逅，且与椭圆 兰+工=1有公共焦点，则该双曲线的方程294(7)设中心在坐标原点 0，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e = J2的双曲线C过点P(4

8、,-J1C)，则C的方程为(8)已知抛物线方程为y2=8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于(9)抛物线y2 =2x上的两点A、B到焦点的距离和是 5,则线段AB的中点到y轴的距离为2 2四、点P(x0,y0)和椭圆笃+当=1( aAbAO )的关系：a b2 2_y2 .2a bP点在椭圆上。2 2 乞+_y0 2 T? a b0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验也013、直线恒过定点问题:(1) A、B是抛物线y2= 2px ( p 0) 上的两点，且 OA丄OB (O为坐标原点) 求证：直线 AB经过一个定点；

9、(2) 抛物线y2= 2px(p 0)上有两个动点 A、B及一定点M ( p,护p) , F为焦点；若|AF|、 |MF|、|BF|成等差数列，求证：线段 AB的垂直平分线过定点。4、焦点三角形问题:(1) 短轴长为75，离心率e = 2的椭圆的两焦点为 Fi、3F2，过Fi作直线交椭圆于A、B两点，贝y aabf2的周长为(2)设P是等轴双曲线X2 y2 =a2 (a 0)右支上一点,Fi、F2是左右焦点，若PF2 F1F2 =0，|PFi|=6，则该双曲线的方程为16(3) 双曲线的虚轴长为4,离心率e=X6 , Fi、F2是它的左右焦点，若过 Fi的直2线与双曲线的左支交于 A、B两点，

10、且I AB|是IAF2I 与 IBF等差中项，则|aB =(4) 已知双曲线的离心率为2 , Fi、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且NFi PF2 =60 ,=123 .求该双曲线的标准方程。5、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质若抛物线的方程为y2= 2px (p0),过抛物线的焦点F (2 , 0)的直线交抛物线与A (xi, yi)、B2(1)yiy2=- p ;(X2, y2)两点，则2xp_XiX2= 4；(2) | AB| = xi + x2+p；通径=2Pi i 2(3) + =-； 丿 |AF| |BF| p，(4)过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为(5)以弦AB为

11、直径的圆与准线相切。设A, B是抛物线y2 = 2px上的两点，A、B/,O为原点,F抛物线的焦点，则/ A/FB/= 90;则OA丄OB的充要条件是直线 AB恒过定点(2p , 0)证明：(I)当直线过焦点且垂直于x轴时,PQ2A (2 , p)、B (2 , - p),因此 yiy2=- p成立； 当直线过焦点且不与 X轴垂直时，显然直线的斜率 kM 0,直线AB的方程为:y = k (X P );由此的X = k十P ；把X = k十P代入y2 = 2px消去X得:ky 2py kp = 0, y1y2= P A (x1, yj、B (x2, y2)两点都在抛物线 y2= 2px (p0

12、) 上,- y12= 2pX1, y22= 2pX2;两式相乘得(y1y2)2= 2px1 - 2px2- P = 4p X1X2；2从而X1X2= p4过A、B两点作准线x=-2的垂线，垂足分别为 A，、B/,则 |AB| = |AF| + |BF| = |AA/|+ |BB/| = xi + 2 +x2+ p = xi + X2+P1 1 1 1 A( x1, yd、B (X2, yJ；兩+ 丽=yX1十2 X2十2xi + X2+ P= 2X1X2 + 2 (xi + x2)+ 才Xi+ X2+ p2 (xi + x2)+ pX1 + X2十 Pp(xi + X2 + P)过A、B两点分

13、别作准线的垂线，垂足分别为A，、B，,由于点A、B是抛物线上的点，F是抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知,|BF| = |BB/|/ B/BF = 1800- 2/ B/FB，/ AAF = 180 2 / A/FA由 AA，/ BB，/ B/BF + / A/AF = 180即: 1800 2 / B/FB + 1800 2/ A/FA = 180/ B/FB + / A/FA = 900(5) N为线段AB的中点，过A、B、N分别作准线的垂线， 垂足分别为A，、B，、N，,|AF| = |AA/|,/ N为线段AB的中点，则 贋心|= |AA十|BB |=|AF| + |BF| = JAB

14、!=2= 2以AB为直径的圆与准线相切。(6)设A , B是抛物线y2= 2px上的两点，0为原点， 则OA丄OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p , 0)六.你了解下列结论吗？共渐近线的双曲线系： (1 )渐近线方程为：yAx 即$=0 2m 2 m n 垄- = A ( A H 0 )的双曲线方程可设为：2 2A0时表示焦点在X轴上的双曲线; 几1)变式：（1）、一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+ y2 _6x-91 =0 内切,顶点A是动点，使当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P的坐标x,y来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中, 称相关点法

15、、转移法.整理即得到动点P的轨迹方程，称之代入法，也例4:点A位于双曲线2 X 2 a2_x_b2= 1(a 0,b0) 上,Fi,F2是它的两个焦点，求也AF1F2的重心G的轨迹方程分析：要求重心的轨迹方程, 求解注意限制条件必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行解：设 MFiF2的重心G的坐标为（X, y），则点A的坐标为（3x,3y）求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线.(2 、已知右ABC的底边BC长为12 ,且底边固定，1sin B -si nC=-si nA，求点 A 的轨迹2分析：首先建立坐标系，由于点A的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其

16、化为边的关系，注意有关限制条件解：以底边BC为x轴，底边BC的中点为原点建立 xoy坐标系，这时1B（-6,0）,C（6,0），由 sinB sinCnA得b-c=1a=6,即 I AC 1 1 AB 1=6 所以，点 A 的轨迹是以 B(6,0),C(6,0)为焦点,因为点A位于双曲线2 2右十/（“心0）上，从而有(3x)2(3y)2a2_ b22X= 1(0)，即丄-自22-=1(0)(3)2x2所以， MF1F2的重心G的轨迹方程为 a 2（3）2-4=1(y H0)b 2(3)变式：如图，从双曲线C : x2 -y2 =1上一点Q引直线l :x + y = 2的垂线，垂足为N ,求线

17、段QN的中点P的轨迹方程.解：设 P(x, y),Q (xyj ,则 N(2x-xi,2y-yi)寫 N 在直线 l 上,/. 2x-Xj +2y-yj =2.又 PN 丄丨得=1,即 x - y + yj - x1 = 0 .X - Xi联解得Xiyi3x + y - 2=3X2 又点Q在双曲线C上、（T）2-（丁 宀1，化简整理得：2x2 -2y2 -2x+2y 一1 = 0，此即动点P的轨迹方程.5、参数法参数法是指先引入一个中间变量 然后再从所求式子中消去参数，得到（参数），使所求动点的横、纵坐标x,y间建立起联系, x, y间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.例5过抛物线y2 =2

18、px（ p aO）的顶点O作两条互相垂直的弦 OA、OB，求弦AB的中点M的轨迹方程.1解：设M（X, y），直线OA的斜率为k（k工0），则直线OB的斜率为一.直线OA的 k方程为y = kx，y =kx由2 2 解得y =2pxA(2r,2p)，同理可得 B(2 pk2,2 pk). k k由中点坐标公式,=占十Pk2 k=E - pkk，消去k，得y2=p（X-2 P），此即点M的轨迹方程.6、交轨法或者先引入参数来建立这些动曲线的求两曲线的交点轨迹时， 可由方程直接消去参数,A联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法2 2X例6如右图，垂直于 X轴的直线交双曲线 -aM、N两点，A

19、i,A2为双曲线的左、右顶点，求直线AN的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状解：设 P(x,y)及 M(Xi，yi),N(Xi，yj，又 A,a,0), A2(a,0)，可得直线AjM的方程为y=也(x+a)；直线A2 N的方程为y= (x-a).为 +aXj +aX得y22 2 2=于冷(x2_a2).又寫笃-上2Xj aa b2 b 22= 1,. -yi = (a -xi )，代入得a2 b 22y =-一(x a )，化简得a2 x 2 a2+与=1,此即点bP的轨迹方程.当a = b时，点P的轨迹是以原点为圆心、a为半径的圆;P的轨迹是椭圆.练习:(1)与y轴相切且和半圆x2+y2=4(0 WxW2)内切的动圆圆心的轨迹方程(8)若点P(Xi，yi)在圆X2 +y2 =1上运动，则点Q(xiyi,Xi + yj的轨迹方程是(9)过抛物线x2=4y的焦