二次根式的概念与性质

1、=|(3 |= * 二次根式的概念与性质帀 编稿：庄永春 审稿：邵剑英 责编：张杨 一、目标认知陋 1. 学习目标：危 理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论: 0) S 3，戸j S叭并利用它们进行计算和化简. 2. 重点：耘 诟工0二0；（掐r =$0王）, F二冇二0）及其运用. 3. 难点：更 利用 、, 1 - - 解决具体问题. 二、知识要点梳理被开方数为非负数. 知识点二：二次根式的性质廐 9 a (a 0) 3. a (a 0)的值是非负数，其性质 可以正用亦可逆用，正 用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实

2、 数范围内进行因式分解 知识点三：代数式飼 形如5, a, a+b, ab, , x：这些式子，用基本的运算符号(基本运算包 括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子 为代数式(algebraic expression). 三、规律方法指导. 1. 如何判断一个式子是否是二次根式？ (1) 必须含有二次根号，即根指数为2； (2) 被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义. 2. 如何确定二次根式在实数范围内有意义？ 要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含 .当二次根式 字母的取值范围，可

3、根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围 作为分母时要注意分母不能为零 经典例题透析洌 类型一：二次根式的概念耘 R1 01、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式: 丄_ 1 J :、十;、.、(X 0)、！/、：、丨.、(x 0, y 0) 思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“】”；第二，被开方数是正数或 解：二次根式有：J：、(x 0)、小、：、J (x 0, y 0); 丄I 不是二次根式的有： 2、当x是多少时，/；1在实数范围内有意义？ 磕 才能有意义. 思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1 0, ?、 1 丄 解：

4、由 3x-1 0，得：x 丄 当x；时，在实数范围内有意义. 总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数. 举一反三 【变式1】x是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义? 1 ; (2) 解: (1)由 0,解得：x取任意实数 当x取任意实数时，二次根式 1在实数范围内都有意义 (2)由 x-1 0，且 x-1 工 0，解得：x 1 当X1时，二次根式1在实数范围内都有意义 丄 【变式2】当x是多少时，二丄+在实数范围内有意义？ 思路点拨：要使- 1在实数范围内有意义， 必须同时满足中的2x+3 0和-l中的x+1丰0. 2jc + 30 解：依题意，得M+u 3 由

5、得：x - 由得：XH -1 3丄 当x -二且x丰-1时1在实数范围内有意义. 类型二：二次根式的性质 3、计算：”:” i 思路点拨：我们可以直接利用 解： (a 0)的结论解题. N_ 住冏 -的=45-75 = -30 举一反三 【变式1】计算: 思路点拨： 因为x 0,所以x+1 0;(2)a 2 0; 2 2 2 2 2 2 (3) a +2a+1=(a+1) 0;(4)4x -12x+9=(2x) -2 2x 3+3=(2x-3) 0. = a (a 2 2 2 2 (4) T 4x -12x+9=(2x) -2 2x 3+3 =(2x-3) 又 (2x-3) 2 0 2 2 /

6、 4x -12x+9 0，二=4x -12x+9. 仇化简： (1) J- ; (2) L 一 ;(3) J :; (4) J . 思路点拨： 因为(1)9=3 2,(-4)2=42,(3)25=52,(-3)2=32,所以都可运用丁7 去化简. 解：(1) -匕=；广=3;(2)(=4; Z=5;(4八Ji C5、填空：当a 0时，戸=;当av 0时， 因为亠 ，所以aw 0; 因为当a a 0时，要使g * ,即使a a所以a不存在；当 要使，即使-a a,即卩a v 0；综上，a v 0. 类型三：二次根式性质的应用怎 6当X=-4时，求二次根式-的值.,i 思路点拨：二次根式也是一种代

7、数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同 解：将x=-4代入二次根式，得 1 7、已知y=_二+5,求的值.宓 z _ 2 解：由 _ 一 可得工二1 二，* （2） .!， I 卜I 叮,： J口 +1 = 0, Jb 1 = 0 ；. + 1 = 0, A - 1= 0 a - 7 b - 1 十沪叫I严+1沁=2 8、在实数范围内分解因式：囱 23 x -5 ; (2)x -2x ; 解：(1)原式一 乂)(屈. (2)原式 _一 ； - 学习成果测评竜 基础达标宓 一、选择题 1. 下列式子中，不是二次根式的是() A. B丿 C. 2. 已知一个正方形的面积是 A. 5B.十

8、5，那么它的边长是() C.D.以上皆不对 3. (福建省福州市)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为() 1 L 價 I I 12? + A. x 0 的值是（） A. 2 B. 2 C. 4-; D .以上都不对 5. a0 时， r、丫 ；、 ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是 4. A. B. 厂- 十 C. 6.( A. 辽宁省大连市）如图，数轴上点 帀B.右 N表示的数可能是（） C. 二、填空题 1. 若肛=4，贝y x =. 2. 若有意义，则左的取值范围是 5宀= 7.若+锲=0 ,则幡 ；若JQ一知-3d- 1 ,则 乙的解答为：原式 =a+T =a+(a-1

9、)=2a-1=17 . 两种解答中， 的解答是错误的，错误的原因是 . 4. 若心：时，试化简II厂；| 厂1 1 . 5在实数范围内分解下列因式 - ； (2) J . 答案与解析玄 基础达标宓 、1.D 2.B3.D4.C 5.A6.B 、1.16 2. - 3.-0.02 4.tt-3.14 5.2-x 6. 1 7.: 8 2住挤见 3 9.二；(2)6 ; (3)-6 10.4 1. 解：(1)由 a+1 0 ，得 a -1 字母a的取值范围是大于或等于-1的实数。 丄 （2）1 二 0,得 1-2a 0,即卩 a0 1. 解：依题意得：L兀走。 3 .当x-二且x丰0时，+ x2在实数范围内有意义. 2. 解：-J，人-，且+-有意义 y/3 x = 0F i/r- 3 = 0, x = 3 3.解：T|疋-习二0,丽万乏0且|兀_5|丰何巨工0 上-5|二 +4 = 0 .r-5 = 0? 护斗4三0 :.= 5,y- 4 解.丁 J応 +* 二 0,訥- y 0且 不 + J4 -p 三 C1 .-占+3 二 0, J4_y 二口 :./ + 3 Op 4 y = 0 Jr = -3, = 4 ；.兀 + _y = 1 综合探究隐 1. 一 ：2.-4xy