(完整版)平面向量、三角形“四心”与三角形面积的关系及其证明

1、1、若0为ABC内一点，则mOAnOBrOC 0S oab : S oac : S obc r: n : m2、若0为ABC的重心，则S OABS OACS OBC1SABC3、知识要点3、若0为ABC的垂心，则OBCS OAB ： S OAC ： Stan C : tan B : tan A,故 tanC OCtanB OB tanA OA4、若O为ABC的内心，贝U S OAB : S OAC : S OBCc :b : a ,故 c OC b OB a OA 05、若O为ABC的外心,S OAB : S OAC : S OBCsin AOB : sin AOC : sin BOC sin

2、 2C : sin 2 B : sin 2 A故 sin 2C OCsin 2B OB sin 2A OA、要点证明1、若 O为 ABC 内一点，贝U mOA nOB rOC 0S oab : S oac : S obc r: n : m证明：先证充分性，即已知mOA nOB rOC0，求证SOAB ： S OAC如图所示，分别在射线 OA，OB上去点A1， B，使得OA1 mOA，OBi nOB，并以OAi,OBi为邻边作平行四边形 OAQBi，连接OD，故 OD OA OB1 mOA nOB rOC，因此 OD rOC。：S OBCr: n: mSmrSAQB1S，设 SOA1 DB12S

3、，则 SOA1DSODB1SOA1 B1Soab OA OB sin AOB 丄0A_$in AOB ，同理 Sobc , Soac22 m nmnnr所以 S OAB ： S OAC : S OBC再证必要性，即已知则S oab : S oac : S obc r ： n ： m求证mOA nOB如图所示分别在射线 OA，OB上去点A，B1，使得OA1 mOA，OD1r OC。设 SOAi DBi2S,则 SOAiDSODBiSOAiBiSA|DBiS o由充分性的证明易知Soab 心SSobcSOBiDi,SoacSoa Diomnmnnrmr结 合SOAB :SOAC :sOBCr :

4、n : m知SOBiDiSOAiDiS,所以丄OB ODi sinBQDi 丄OA ODi sinAODi故 OBi sin BQDi OAi sin AODi2 2且 SOAi DiBi2S SOAiDBi，故 SA| DiBiSAiDBi , 因此D到A3的距离与Di到A Bi的距离相等，故DD/ ABi 。又因为Sob1d1Soa1d1SSob1d，所以OD与ODi重合。故OD ODirOC 因此，mOA nOB rOC 0o12、若O为ABC的重心，则S OAB S OAC S OBC 3 S ABC1证明：如图 ABC , O为重心，故OD 丄OC o3分别过O, C作AB的垂线，h

5、i, h2，则垃1 ,h2 OC 3所以Soab3 SABC。冋理可证SOAC1S3 OABC ,SOBC1S3 DaBC o3、若 o 为 ABC 的垂心，则 S OAB : S OAC : S OBCta nC:ta n B : ta nA,故 tanC OC tanB OB tan A OA 0证明：如图 ABC , O为垂心，贝U11SoabOA BE , SoacOA CE22因此匕 SoabBE BE AE tan CSOAC CE AE CE tan B同理可证 Soac tan B。所以 S oab ： S oac : S obcSobc tan Atan C : ta n B

6、 : ta nA。由定理 1 知tanC OC tanB OB tan A OA 0。4、右 O 为 ABC 的内心，贝V S oab : S oac : S obc c: b : a ,故 c OC b OB a OA 0证明：如图，内切圆与 AB, BC, AC的切点分别为 D,E, F，贝U111SOabAB OD , SOBCBC OE , SOACAC OF，故222CS oab : S oac : S obc AB : AC : BC c: b: a。5、若O为ABC的外心,S OAB：S OAC：S OBCsin AOB : sin AOC : sin BOC故 sin 2C OC sin 2B OB sin 2A OA 0证明:OABS OACOBC-OA OB sin AOB : - OA OC sin AOC : - OB2 2 2sin 2C : sin 2 B : sin 2 A、典例分析例题1： ABC所在平面上一点P满足，PA PC mAB （m 0，且为常数），若 PAB 的面积为6，贝U ABC的面积为。分析：此问题中PA PC mAB（m 0，且为常数）仅仅表示PA PC与AB共线且方向相同，与m的值无关，以 PA, PC为邻边作平行四边形 PADC，则AB/PD，再用平面几何