全国高中数学联赛模拟试题010001

1、全国高中数学联赛模拟试题(一)第一试选择题：(每小题6分，共36分)1、方程(A)6x (5a2 + b2) = 5c2满足c 2(B)(C)xas,排列的个数是(A) 8(B) 10(C)14(D) 16值范围是a3 as 的填空题：(每小题9分，共54分)11、x表示不大于 x的最大整数，则方程 一X x2 + x = 19x + 99的实数解 x2是.2、 设 a1 = 1, an+1 = 2an +则通项公式 an =.3、 数799被2550除所得的余数是 .54、 在厶 ABC中，/ A=, sin B=，贝U cosC=.3135、 设k、是实数，使得关于 x的方程x2(2 k

2、+ 1)x + k2 1= 0的两个根为 sin 和cos ，贝y 的取值范围是.2n6、数 524(n N)的个位数字是三、(20 分)已知x、y、z都是非负实数，且 x+ y + z = 1.求证：x(1 2x)(1 3x)+ y(1 2y)(1 3y) + z(1 2z)(13z) 0，并确定等号成立的条件.四、(20分)(1) 求出所有的实数 a,使得关于x的方程x2 + (a+ 2002)x+ a= 0的两根皆为整数.3 2 2(2) 试求出所有的实数 a,使得关于x的方程x + ( a + 2a+ 2)x 2a 2a= 0有三 个整数根.五、 (20分)试求正数r的最大值，使得点集

3、 T=( x, y)| x、y R,且x2+ (y 7)2 0之中.第二试、(50 分)设 a、b、c R,ac, a c, z 是复数，且 z (a c)z b= 0.a2 ba c zacb求证:1的充分必要条件是(a c)2+ 4bw0.、(50 分)如图，在 ABC中，/ ABC和/ACB均是锐角，D是BC边上的内点, 且AD平分/ BAC过点D分别向两条直线 AB AC作垂线DP DQ 其垂足是P、Q两条直线 CP与BQ相交与点K求证：(1) AK! BC2S(2) AKAP AQABC，其中SA ABC表示 ABC勺面积.BC、（50 分）给定一个正整数n,设n个实数ai,a2,a

4、n满足下列n个方程:ai确定和式Saii i 2I 1的值（写成关于n的最简式子）18115871、或 一3838n-122、7 x 2 n 2n 3;3、 343;4、5一 31226参考答案第一试、选择题:题号123456答案CCDABD、填空题：11.2;6、1 （n为偶数）；7 （n为奇数）.5、|= 2n + 或 2n , n Z2z 1或111三、证略，等号成立的条件是x yX y 2 或 z 2或y z2 .3z 0y0z 0四、（1） a的可能取值有0,-1336,1936,1960, 2664,-4000,2040;(2) a 的可能取值有3, 11, 1,9.第二试、证略（提示：直接解出z后利用反证法证明必要性）a c i a c2 4b i2，通过变形即得充分性成立，然、证略（提示：用同一法，作出BC边上的高AR利用塞瓦定理证明 AR BQ CP三线共点,2S