2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《圆的方程》

1、2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练圆的方程【题型一】：圆的标准方程【类型二】：圆的一般方程【题型三】：点与圆的位置关系【题型四】：与圆有关的轨迹问题【题型一】：圆的标准方程【例1】.已知圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0，且这个圆经过点A(6，1)，求该圆的 方程【思路点拨】已知圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0，因此可设圆的标准方程，利用待 定系数法解决问题.解析：设圆心为ia,a ， r =| a |I 3丿2 f a千 2(6-a ) + J -一 i =a2 I 3丿 a = 3 或 a =111圆心为(3，1)(111，37)圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9

2、 或(x-111)2+(y-37)2=1112总结升华：圆心或半径的几何意义明显，则可设标准方程【变式训练】：【变式1】若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该 圆的标准方程是()222 2A. (x-2)(y -1) -1B.(x-2) (y 1) -12 2 2 2C. (x 2)(y -1) =1D. (x -3) (y T) =1【解析】：依题意，设圆心坐标为(a,1)，其中a 0，则有14a 一 3| =1，由此解得a = 2 ,5因此所求圆的方程是(x 一2)2 (y-1)2 =1，选A.【类型二】：圆的一般方程【例2】求过三点A(1，12)，B(

3、7，10)，C(-9，2)的圆的方程，并求出圆的圆心与半径，作出图形【思路点拨】因为圆过三个定点，故可以设圆的一般方程来求圆的方程【解】：设所求的圆的方程为x2 y2 Dx Ey 0，1+144 + D +12E +F =0,依题意有丿49+100+7D+10E+F =0,1+49D +2E + F =0.解得 D=-2，E=-4，F=-95.于是所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.于是，圆的圆心D的坐标为(1, 2)，半径为10，图形如图所示【总结升华】：求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法来求解 .利用圆经过不在同一 直线

4、上的三点的条件，由待定系数法求出圆的一般式方程，并由此讨论圆的几何性质，这是 解题的捷径.对于由一般式给出的圆的方程，研究其几何性质(圆心与半径等)时，常可用配方法或公式法加以求解.如由公式可得r = 1 - (-2)2 (-4)2 (-4)2 -4(-95) =10.【变式训练】：【变式1】圆与y轴相切，圆心P在直线x_3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2.7 , 求此圆的方程。【答案】：设圆方程为：(xa)2 (yb)2 = r2且圆心(a,b)在直线x-3y = 0上，二a =3b圆与 y 轴相切，二 r =|a| = 3| b|故圆方程为(x-3b)2 (y-b)2 =9b2，又因

5、为直线y=x截圆得弦长为2、弓，则有(l3b】bl)2桃奶2二?2，解得匕=1V2故所求圆方程为：(x -3)2 (y-1)2 =9 或(x 3)2 (y 1)2 =9。【变式2】求经过点M (1,2)、N(3,4)且在x轴上截得的弦长为6的圆C的方程。【答案】：方法一：设圆心(a,b)，半径长r，由垂径定理可以得到圆C与x轴两交点为P(a-3,0)、Q(a 3,0),由 M(1,2)、N(3,4)得 kMN “ 且 MN 的中点坐标(2,3)，则MN的垂直平分线方程为y-3 = -(x-2)，PQ的垂直平分线方程为x=a。x = a解方程组：丿得圆心C(a,5-a).)一3 = -(x 2)

6、3由 |CP |=|CM |得.32(5 a)2 =、(a 一1)2(3_a) ：，解出 a,- -6,a2=4.当 a -6 时，圆心 G(-6,11) ,rj =130,圆 C 的方程为：(x 6)2 ( y -11)2 = 130当 a4 时，圆心 C2(4,1)J =10，圆 C 的方程为(x-4)2 (y-1)2 =10故所求圆的方程为：(x 6)2 (y11)2=130 或(x4)2 (y1)2=10.方法二：设所求圆为x2 y2 Dx Ey F =0.令y = 0得x2 Dx F = 0 ,在x轴上截得弦长为：| xx2 |(为 x2)2-41X2D2-4F 6.将M(1,2)、

7、N(3,4)代入圆方程可得方程组：D+2E+F+5=00=-8D=12*3D +4E +F +25 =0，解出 Ej =-2 或 $-22D24F-36=0IR =7=27所求圆方程为 x y -8x-2y，7=0 或 x y 12x-22y，27=0.【变式3】根据下列条件分别写出圆的方程：(1) 圆过三个点(2, 2)，(5，3)，(6, 0)；(2) 圆过三个点 0(0,0), M (1,1), N (4,2).【思路点拨】：已知圆过三个点，且圆心、半径不明确，故可用一般方程来求解D - _8【解析】：(1)设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F =0，解得：* E =-2丁 =12所

8、求圆方程为：x2 y2 -8x -2y，12 = 0 ;(2)设所求的圆的方程为：x2 y2 Dx Ey F = 00(0,0), M (1,1), N (4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组,F =0 即 VT0;|CQ| = J(5十(36$ =3阿所以，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内.【题型四】：与圆有关的轨迹问题【例4】.已知点Q(10,0)，点P是圆x2 y2 =16上的动点，求线段PQ中点M的轨迹方程.【思路点拨】本题关键是找出点M与点P之间的联系(实际是坐标间的关系)【解析】:设P(X1, yj，fx12=

9、2x 10M（X，y），则. =2y，以 y =2y又因为点Pg, yj在圆上，所以xj yj =16即(2x -10)2 (2 y)2 =16，整理得(x -5)2 y2 =4所以线段PQ中点M的轨迹方程为(x-5)2 y2 =4.-【例5】已知圆O: x2 y4，点A 30，以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为丨.(1)求曲线-的方程;7直线AB交圆0于C, D两点，当B为CD中点时，求直线AB的方程【解析】(1)设AB的中点为M，切点为N,连接0M , MN ,则OM| + MN =2，取A关于y轴的对称点A (-73,0 )，连接AB二 ab 十 AB| =2(|OM I +|MN| )=4点B的轨迹是以A, A为焦点，长轴长为4的椭圆.2其中a=2,C=、3，b=1则曲线：的方程为yU(2)：B为 CD 的中点，O