点到平面的距离的几种求法-高中数学-高考-立体几何

1、点到平面的距离的几种求法是近几年高考的一个热(必修本)中的概念、求点到平面的距离是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题， 点.本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合立体几何 习题，概括出求点到平面的距离的几种基本方法.例：已知ABCD是边长为 4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离.一、直接通过该点求点到平面的距离EFG的距离，延长FE交CB的延长线于M ,连BNL平面 ABCD作BPL EM 交 EM于P,易证则BQL平面EFG 于是BQ是点B到平面EFG1 直接作出所求之距离，求其长. 解法1如图1为了作出点B到平

2、面结GM作BN丄BC 交 GM于 N,则有BN/ CG平面BPNL平面 EFG作BQL PN垂足为 Q,的距离.易知 BNk J , BP=，PZ=如+阳二至3 ，由 BQ- PN= PB- BN 得 BQ27n2 不直接作出所求之距离, (1)利用二面角的平面角. 课本P. 4 2第4题，P.间接求之.解法2 .如图3，过E作EP丄EF,交FE的延长线于P,易知BP =总，这就是点E到二面角C - EF - G的棱EF的距离.连结AC交EF于H, 连结GH,易证ZGHC就是二面角C - EF - G的平面角.IGC=2,AC=4 庞，AH=庞,4 6第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个

3、点， 它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系” 如图2，二面角M-CD - N的大小为 a , ACM, ABLCD, AB = a,点A到平面N的距离AO=d,则Wd=asin a.中的a也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过AB的二面角的平面角.H=3 忑，GH= 7扛,sinZGHC=2P ；，于是由得所求之距离d = BP-s2i n/GHC=忑-“阮=11 .解略.(2)禾U用斜线和平面所成的角.如图4,OP为平面 a的一条斜线，AOP,OA=1,OP与a所成的角为0 , A到平面a的距离为d,则由斜线和平面所成的角的定义可知，有d=lsin B .经过OP与

4、a垂直的平面与 a相交，交线与OP所成的锐角就是中的0，这里并不强求要作出点A在 a上的射影E,连结OE得 0 .解法3.如图5，设M为FE与CE的延长线的交点，作BRGM,R为垂足.又GMXEB, 易得平面BER丄平面EFG,ER为它们的交线， 所以ZREB就是EB与2平面EFG所成的角 0 .由MRBsMCG，可得BR=如，在RtAREB中，2yffjZB=90,BR 7W,EB=2，所以 sin 0 =BR / ER= 11，于是由得所图6(3)利用三棱锥的体积公式.解法4.如图6,设点B到平面EFG的距离为d, 则三棱锥B - EFG的体积( 1 / 3 ) S EFG另一方面又可得这

5、个三棱锥的体积( 1 / 3 ) S FEB CG，可求得S FEB = ( 1 / 4 ) S DAB = 2,S EFG =，所以有1 / 3，d=1 / 3，2，2,31得 d= 11.、不经过该点间接确定点到平面的距离1.利用直线到平面的距离确定解法5.如图7,易证ED/平面EFG,所以BD上任意一点到平面EFG的距离就是点E到平面EFG的距离.由对称思想可知， 取BD中点O,求点O到平面EFG的距离较简单.AC交EF于H,交BD于O.易证平面GHC丄平面EFG，作OK丄HG,K为垂足，OK=为所求之距离.图7图82.利用平行平面间的距离确定如图8,把平面EFG补成一个正四棱柱的截面所在的平面，可使题设中的点、线、 面之间的位置关系更加明朗.面GMT是正四棱柱ABCD- Ai B i GD 1经过F、E、G的截面所在的平面.MG交BB1于N ,TG交DD 1于Q,作BP/MG，交CG于P,连结DP,则有平面GTM /平面PDB.它们之间的距离就是所求之距离.于是可以把点B平移到平面PDB上任何一个位置，哪里方便就在哪里求.这两个平行平面的距离d又同三棱柱GQN-PDB的体积有关，所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离据此可得解法6.解法6.三棱柱GQN - PDB的体积V=S pdb d，另一方面又有V=S cdb B4 折8i/