5[1].6正余弦定理的综合应用.

1、5.6正弦定理.余弦定理的综合应用基础知识自主学习要点梳理1. 解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元索中要已知三个(除三角外)才能求解，常见类 型及其解法如表所示.已知条件应用定理一般解法一边和两角(如 ，C)正弦定理由.4 +B+C=180。， 求角由正弦定理 求出b与c在有解 时只有一解.两边和夹角(如a, b, C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边G由正弦 定理求出小边所对的角；再由A +0+4180。求出另一角.在 有解时只有一解三边b, c)余弦定理由余弦定理求出角A、再利 用A + B+C=180。，求出角C 在有解时只有一解两边和其中一 边的对角(如 a, b, A)正弦

2、定理 余弦定理由正弦定理求出角由A+B + C=180,求出角G再利用 正弦定理或余弦定理求c可有 两解，一解或无解2. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、髙度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问丿等.3. 实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线 的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线 在水平视线下方叫俯角(如图).(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30, 北偏西45。，西偏北60。等； 方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点 的方位角为么(如图).(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.

3、基础自测1. 江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船， 船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45。和60,而且两条船与炮台底部连线成30。角，则两条船相距= 300I。石m解析如图，OM = AOtan 45 = 30,ON = AOtan 30 =亨X30 = l(h/3, 由余弦定理得,MN = A/ 900 + 300 - 2X 30X lOxf2. 在某次测量中，在4处测得同一半平面方 向的点的仰角是60, C点的俯角是70, 则 ZBAC= 130.解析由已知 ZB4 = 60。，ZG4D = 70, ZBAC=60 + 70 = 130.水平线3. 在200 m高的山

4、顶上，测得山下一塔的塔 顶与塔底的俯角分别是30。、60。，则塔高m.4（X）为解析如图所示，设塔髙为力 由题意及图可知：f / 200（200 7tan 60 =怕口 60二解得：h二彎。（m）4. 如图所示，为了测量某障碍物两侧A、间 的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是（A ）人 偸A. a9 a, bB. a9 /?, ac a, b9 7 D. a, P, b解析 选项B中由正弦定理可求b,再由余弦 c 定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定 选项D同B类似，故选A.5.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相 等，灯塔A在观察站北偏东40,灯塔B在观察站南偏东60,则灯

5、塔A在灯塔B的（B ）A.北偏东10。B.北偏西10AC.南偏东10。 D.南偏西10。解析灯塔A、B的相对位置如匡所示,由已知得= 80,ZCAB= ZCBA = 50,则 a = 60 - 50 = 10,即北偏西 10.题型分类深度剖析【型一测量距离问题例1如图所示，为了测量河对岸4, 两点间的距离，在这一岸定一基线CD,现已测出 CD = a 和 ZACD = 60 , ZBCD = 30 , ZBDC=105, ZADC=60,试求 4B 的长.思维启迪在3CD中，A求出BC,在厶ABC中，求出 A3.解在心仞中，已知CD = ZACD = 60,ZADC-60,所以 AC-a. 在

6、4仞中，由正弦定理可得冷3 + 12 “sin 105 sin 450-在ZABC中，已经求得AC和BC,又因为 ZACB = 30,所以利用余弦定理可以求得A、 B 两点之间的距离为 AB = IAC2 + BC2 - 2AC BC-COS 30 = a.探究提高这类实际应用题，实质就是解三角 形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理， 在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意 图，然后将问题转化为三角形问题去求解. 注意 基线的选取耍恰当准确；选取的三角 形及正、余弦定理要恰当.变式训练1如图，为了计算渭河岸边两景点AR与C的距离，由于地形的限制， 需要在岸上选取A和D两个测量点. 现测得

7、AD丄CD,AD=100 m,AB=140 m,ZBD4=60。，NBCD=135。，求两景点B与C之间的距离（假设A, B,C, D在同一平面内，测量结果保留整数;参考数据：/2= 1.414, 3= 1.732, !5 =2.236).解在ABD中，设BDx m,则 BA2 - BUr 十 AD2 一 2BDADgZBDA, 即 1402 - x2 + 1002 一 2X100XxXcos 60, 整理得 x2 - 10()x - 9 600 = 0,解得 Xi = 160, x2 = - 60(舍去)，故 BD = 160 m. 在CD中，由正弦定理得：BCBDsinZCDB sinZB

8、C帀又 AD丄CD, /. ZCDB = 30,:BC = sjn 135 s*n 3 = 802113 (m).即两景点与C之间的距离约为113 m.题型二测量高度问丿例2某人在塔的正东沿着南偏西60。的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30。，求塔高.思维启迪 依题意画图，某人在C处，A为塔高，他沿CD前进，CD = 40米,此时ZZ）Z?F = 45O,从C到沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tanZAEB =ABBEyAB为定值，BE最小时，仰角最大.要求出 塔高43,必须先求BE,而要求BE,需 先求BD（或BC）.解如图所示

9、，某人在C处，AB为塔高， 他沿CD前进,CD = 40,此时ADBF = 45, 过点作E丄CD于E,则ZAEB = 30, 在中，CD = 40, ZBCD = 30,ZDBC= 135,由正弦定理，得sinZDBCBDsinZBCD:.BD = C礬=2（h/2.ZBDE = 180 - 135 - 30 = 15.在 RtAED 中，BE = DBsin 15 = 2（h/2X芬:点=10（5 - 1）.在 RtAABE 中，ZAEB = 30,= BEtan 30 = （3 一 3）（米）.故所求的塔高为詈（3-丽米.探究提髙 在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意

10、图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解.注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识.变式训练2如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两7个测点C与Q,现测得乙BCD=a, ZBDC/=卩,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高4B解在BCD 中，ZCBD =兀一由正弦定理得BC_ sin刀 DC_CD sin ZCBD所以BC =CDnZBDCsinZCBDs-sin psin(a + p)在 RtAABC 中,AB = BClanAACBstan Osin 卩sin( + P)题型三正、余弦定理在平面几何中的综合应用例3如图所示，在梯形ABCD中

11、, AD/BC, AB=59 AC=9, ZBCA =30, ZADB=45, 求。的反 思维启迪 由于AB = 5, Z4DB = 45,因此要求3D,可在ABD中，由正弦定理求解，关键是确定ABAD的正弦值.在ABC 中，43 = 5, AC =9, Z4CB = 30, 因此可用正弦定理求出sinZABC,再依据ZABC与ABAD互补确定sinZBAD即可.解 在厶ABC 中，AB = 5, AC = 9, ZBCA = 30. 由正弦定理得sinZBC4 = sinZABC，. 八 AC-sinZBCA 9sin 309sin Z4BCAB5=帀: ADBC、:. ZBAD = 180

12、 - ZABC,一 9于是 sinXBAD - sinZABC -历.9同理，在中，AB = 5, sinXBAD =N佃-45。，由正弦定理：血驾DA = sinAD 解得BD =竽故BD的长为字.探究提高要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分 割成若干个三角形.在分割时，要注意有利于应用正、余 弦定理.变式训练3如图，在AABC中，已知ZZ?=45, D 是 BC 边上的一点,AD=109 AC=14, DC=6,求AB的长.A解在厶ADC 中，AD= 10, AC= 14, DC =6,由余弦定理得cos A ADC =AD2 + DC2 -AC22ADDC ZADC= 120,100

13、+ 36 - 196 j_2X10X6 P ZADB = 60。在 ABD 中，AD = 10, ZB = 45。，ZADB = 60。,由正弦定理得詁BiADsin歹:.AB =ADnZADBsin B1 Osin 60 lin 45 =10X罟-=2B答题模板6.运用正弦、余弦定理解决实际应用问 试题：（12分）如图，4、B、C、。都在同一 个与水平面垂直的平面内，B、。为两岛上 的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得 B点和。点的仰角分别为75。、30,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60, AC=0.1 km试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D 的距离（计算结果

14、精确到0.01 km,血1414, &2449）审题视角（1）分清已知条件和未知条件（待求）.（2）将问 题集中到一个三角形中.（3）利用正、余弦定理求解.规范解答解 在ACD 中，ZDAC= 30, ZADC = 60 - ZDAC = 30,所以 CD = AC = 0.1.又ZBCD= 180-60-60 = 60,故 C是C4D 底边的中垂线，所以BD-BA.在ABC中,AB _ ACsinZBCA = sinZABC匕匕ACsin 60 所以A，韦而-同理,BD =“20.33(1).14分6分10 分故B、Q的距离约为0.33 km.12 分答题模板解斜三角形应用题的一般步骤为：第

15、一步：分析：理解题意，分清已知与未知，画出示 意图；第二步：建模：根据已知条件与求解目标，把已知量 与 求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解 斜三角形的数学模型；第三步：求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出 三角形，求得数学模型的解；第四步：检验：检验上述所求的解是否符合实际意义, 从而得出实际问题的解.批阅笔记(1)由实际出发，构建数学模型是解应用 题的基本思路.如果涉及三角形问题，我们可以把 它抽象为解三角形问题，进行解答，之后再还原成 实际问题，即利用上述模板答题.(2)本题的易错点是，不能将已知和待求量转化到同一个三角形中，无法运用正、余弦定理求解.思想方法感悟提高方法与技巧1. 合理应用仰角、俯角、方位角、方