高考数学难点突破指数、对数函数

1、高考数学难点突破指数函数、对数函数问题指数函数、 对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.难点磁场( )设 f(x)=log 21x1+f(x).,F(x)=1x2x(1)试判断函数 f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明； 1 1n(2)若 f(x)的反函数为 f (x),证明：对任意的自然数n(n3), 都有 f (n); 1 1n1(3)若 F(x)的反函数F (x),证明：方程 F(x)=0 有惟一解 .案例探究例 1已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于 A、 B 两点，分别过点A

2、、B 作 y 轴的平行线与函数y=log 2x 的图象交于C、D 两点 .(1)证明：点C、 D 和原点 O 在同一条直线上；(2)当 BC 平行于 x 轴时，求点A 的坐标 .命题意图： 本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、 对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属级题目 .知识依托： (1) 证明三点共线的方法： kOC=kOD .(2)第 (2) 问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1) ，即可求得 A 点坐标 .错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.技巧与方法： 本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标 .(1)证明

3、：设点A、B 的横坐标分别为x1 、x2,由题意知： x11,x21,则 A、B 纵坐标分别为log 8x1,log 8x2.因为 A、 B在过点 O 的直线上，所以log 8 x1log8 x2,点 C、D 坐标分别为x1x2(x1,log2x1 ),(x2,log2 x2),由于 log2x1 = log 8 x1 = 3log8 x1,log 2 x2log 8 x23log 8x2,所以 OC 的斜log8 2log 8 2率： k1= log 2 x13log 8 x1 ,x2x1OD 的斜率： k2 = log 2 x23log 8 x2 ，由此可知： k1=k2,即 O、 C、

4、D 在同一条直线上 .x2x2(2)解：由 BC 平行于 x 轴知： log2 x1=log 8x21即： log 2x1= log 2x2,代入 x2 log8x1=x1log8 x23得： x13 log8x1=3x1log8 x1,由于 x11 知 log8x1 0, x13=3x1.又 x11, x1=3 ,则点 A 的坐标为( 3 ， log8 3 ).例 2在 xOy 平面上有一点列P1(a1 ,b1 ),P2(a2,b2), ,Pn(an,bn) ,对每个自然数n 点 Pn位于函数 y=2000(a)x(0 a1)的图象上， 且点 Pn,点 (n,0)与点 (n+1,0) 构成一

5、个以 Pn 为顶点的10等腰三角形 .(1)求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式；(2)若对于每个自然数n,以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围；(3)设 Cn=lg(bn)( n N* ),若 a 取 (2) 中确定的范围内的最小整数，问数列 Cn 前多少项的和最大？试说明理由 .命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属级题目 .知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识.错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口.技巧与方法：

6、 本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题 .解： (1)由题意知： an=n+1an12, bn=2000()2 .10(2)函数 y=2000( a )x(0 abn+1bn+2.则以 bn,bn+1,bn+210为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1bn,即 (a)2+(a) 10, 解得 a5( 5 1).5(5 1) a10.(3) 5( 5 1) a10, a=77n1)2 .数列 bn 是一个递减的正数数列，对每个自然数n 2,Bn=bnBn 1.于 bn=2000(10是当 bn 1 时， BnBn 1,当 bn1

7、时， Bn Bn 1,因此数列 Bn 的最大项的项数n 满足不等式 bn1 且 b7n12 1 得： n 20.8. n=20.n+11 时，函数y=log ax 和 y=(1 a) x 的图象只可能是()二、填空题3.()已知函数f(x)=2x( x0).则 f- 1log 2 ( x)( 2x 0)(x1)=_.4.( )如图，开始时，桶1 中有 a L 水， t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y= ntnt,假设过5 分钟时，桶ae,那么桶 2 中水就是 y2=a ae1 和桶 2 的水相等，则再过 _分钟桶1 中的水只有a.8三、解答题5.( )设函数 f(x)=log a(x 3a)

8、(a0 且 a1), 当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时，点 Q(x 2a, y)是函数 y=g(x) 图象上的点 .(1)写出函数 y=g(x)的解析式；(2)若当 x a+2,a+3时，恒有 |f(x) g(x)| 1,试确定 a 的取值范围 .6.( )已知函数f(x)=log a x(a0且 a 1),(x (0,+ ), 若 x1,x2 (0,+ ),判断 12f(x1)+f(x2)与 f(x1 x2 ) 的大小，并加以证明 .27.( )已知函数222)+log a2且 ax,y 满足 x 1,y1.log a x+log a y=log a(ax(ay )(a01

9、),求 log a(xy)的取值范围 .8.( )设不等式2(log 1 x)2+9(log 1 x)+9 0的解集为M ，求当x M时函数22f(x)=(log 2x )(log 2x )的最大、最小值 .28参考答案难点磁场解： (1)由 1x 0, 且 2 x 0 得 F(x)的定义域为 ( 1， 1)，设 1 x1 x2 1,则1xF(x2) F(x1)=(211x)+( log 21x2log 2 1x1 )x221x21x11(2x2 x1x)log 2(1x1 )(1x2 ) ,x)( 2(1x )(1x2)121 x2 x10,2x1 0,2 x20,上式第 2 项中对数的真数

10、大于1.因此 F(x2) F( x1)0,F( x2)F(x1), F(x)在 ( 1， 1）上是增函数 .(2)证明：由 y=f(x)= log 21x得：y1x2 y11x2 =1, x2 y,x1 1(x)=2 x1 f(x)的值域为 R， f- 1 f2 x,(x)的定义域为 R .1-1(n)n2n1n1211n2n1.当 n3 时， fn 12n1n 12n12n 1用数学归纳法易证2n2n+1(n 3),证略 .1 111是 F1 1还有一个解(3)证明：F(0)=,F()=0, x=2( x)=0 的一个根 .假设 F(x)=022x0(x0 1 ),则 F-1(x0)=0,于

11、是 F(0)= x0(x0 1 ).这是不可能的，故 F -1(x)=0 有惟一解 .22歼灭难点训练一、 1.解析：由题意： g(x)+h(x)=lg(10 x+1)又 g( x)+h( x)=lg(10 x+1). 即 g( x)+h(x)=lg(10 x+1)由得： g(x)= x ,h(x)=lg(10 x+1) x .22答案： C2.解析：当 a1 时，函数 y=log ax 的图象只能在A 和 C 中选，又 a1 时， y=(1 a)x 为减函数 .答案： B二、 3.解析：容易求得f-1(x)=log 2 x( x1)2x( x,从而：1) 1log 2 ( x1), ( x2

12、)f (x 1)=1 ,( x2).2xlog 2 (x1),( x2)答案：2x 1 ,( x2) nt nt14.解析： 由题意， 5 分钟后， y1=ae,y2 =a ae,y1=y2.n=ln2.设再过 t 分钟桶 1 中的5水只有a n(5+ t)a,则 y1=ae=,解得 t=10.88答案： 10三、 5.解： (1)设点 Q 的坐标为 (x ,y ),则 x=x 2a,y= y.即 x=x+2a,y= y.点 P(x,y)在函数 y=log a (x 3a)的图象上， y =log a(x +2a3a),即 y =log a12,xag(x)=log a1.x a(2)由题意得

13、 x 3a=( a+2) 3a= 2a+20;11=0, 又 a0 且 a 1,0 axa (a3) a1, |f(x) g(x)|=|loga(x 3a) log a1|=|loga(x2 4ax+3a2)| |f(x) g(x)| 1, 1 loga(x2xa222在 a+2,a+3 上为减函数， 4ax+3a ) 1, 0 a 1, a+22a.f(x)= x 4ax+3 a(x)=log a(x2 4ax+3a2)在 a+2,a+3上为减函数，从而 (x)max =( a+2)=log a(4 4a), 0 a1(x) mi n= (a+3)=log a(9 6a),于是所求问题转化为

14、求不等式组log a (96a)1的解 .log a (44a)1由 loga(9 6a) 1 解得 0 a 957 ,由 log a(4 4a)1 解得 0a 4 ,125所求 a 的取值范围是0 a 957.126.解： f(x1)+ f(x2)=log ax1+log ax2=log ax1x2, x1,x2 (0,+ ),x1x2 ( x1x2 )2(当且仅当 x1=x2 时取“ =”号 )，2当 a1 时，有 logax1x2 loga( x1x2)2,2 1log ax1x2 loga ( x1x2)， 1(log ax1+log ax2) loga x1x2 ,2222即1 f(

15、x1)+f(x2) f(x1x2)( 当且仅当 x1=x2 时取“ =”号 )22当 0a 1 时，有 log ax1x2 loga( x12x2 )2, 1(log ax1+log a x2) loga x1 x2,即1 f( x1)+f(x2) f( x1x2 )( 当且仅当 x1=x2 时取“ =”2222号） .7.解：由已知等式得：2222log a x+log a y=(1+2log ax)+(1+2log a y),即 (log ax1) +(log ay 1) =4,令 u=log ax,v=log a y,k=log axy,则(u1) 2+(v 1)2=4( uv 0),k=u+v.在直角坐标系uOv 内，圆弧 (u 1) 2+(v 1)2=4(uv 0)与平行直线系 v= u+k 有公共点，分两类讨论 .(1)当 u 0,v 0 时，即 a1 时，结合判别式法与代点法得1+3 k 2(1+2 );(2)当 u 0,v 0,即 0 a 1 时，同理得到 2(12 ) k 13 .x 综上，当 a1 时，logaxy的最大值为2+22 ，最小值为1+3 ；当 0 a 1 时， log axy 的最大值为13 ，最小值为222.8.解： 2( log 1 x)2+9( log 1x)+9 022 (2 log