第五章二次曲线的一般理论

1、第五章 二次曲线的一般理论 5.1二次曲线与直线的相关位置1. 求直线x-y-1=0与二次曲线2x2-xy-y2 -x-2y-仁0的交点.解：将y=x-1代入曲线方程,得2 22x -xx-1 -x-1-x-2 x-1 ：;-1 =0,即0=0故直线在二次曲线上2. 试决定k的值,使得(1) 直线x 一 y 5 =0与二次曲线x2 -3x y k =0交于两不同实点；x - 1 亠 kt 直线 -与二次曲线x2 3y2 - 4xy - y二0交于一点；、y =k +t 直线x_ky_1=0与二次曲线y2-2xy-(k-1)y-1 =0交于两个相互重合的实点；x -1 亠 t 已知直线与二次曲线

2、2x2 4xy ky2 - x - 2y =0有两个共轭虚点，求ky =1-1的值解：(1).将y=x+5代入二次曲线方程，得x2 -2x k 502 -2-4 k 50-4k -16 0k ： Y时，直线与二次曲线有两个不同的实交点.1 -2 0(2) .二次曲线的矩阵为-23 -1/ 20 -1/ 2 0且 V = X，丫 = 如.,(Xo,y。)=(1,k )k,1 二 k? _4k 3=0,则k, =1,k2 =3,11) 当k, =1 时,F, xy X F? Xo，yo 丫一1 勺=0,132) 当k? =3时F xo,yo XF? xo,y 丫 二 -150,.k=1,3时,原直

3、线与二次曲线交于一个实点1 -1 0(3) .二次曲线的矩阵为-11(1-k)/20(1k)/2-1且VX,YGk,1：, x,y 二 1,0 ,1 2 2令A=0,即寸(k+1) -(1 _2k1 产0,即k2_6k+5 = 0,解之，得k( = 1, k2 = 5,当 k =1时，X,丫二 k,1 =1 -2k = 0,2)当 k=5时,X,丫二 k,1 =1-2k = 0,二当k=1,5时，直线与二次曲线有二重合实交点2 2 -1/ 2(4) .二次曲线的系数矩阵为2 k -1且X:Y =1:(-1)-1/ 2 -1 0取(x,y) =(1,1),令L ：0,即7 (1 k)(-1)2-

4、(k-2)(3 k) ：0 2解得 k 49，且此时叮(1,-1) =2 4(-1) k =k-2 丄=0，2424.k 49时，直线与二次曲线有两个共轭虚交点。24 5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线1. 求下列二次曲线的渐进方向，并指出曲线是属于何种类型的.1 x2 2xy y2 3x y = 0;2 3x2 4xy 2y2 -6x-2y 5=0;3 2xy -4x -2y 3=0.1 1解:(1)； (X,Y )=X2+2XY+Y2 =0时，X: Y = -1:1，同时 I= 0,1 1曲线有一个实渐进方向，是抛物型的2 ； X,Y =3X2 4XY 2Y2 =0时,X :丫二 -2

5、 八2i : 3或 -2 - , 2i :3, 口32且 12 = 2 a 0,2 22曲线有两个共轭的虚渐进方向，是椭圆型的01 X;Y=0:1 或 1:0,且 12=10,1 0曲线有两个渐进方向，是双曲型的2. 判断下列二次曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线2 21 x -2xy 2y _4x-6y 3=0;222 x _4xy 4y 2x _2y -1 二 0;223 9x -6xy y -6x 2y =0.解：(1)=1式0，故为中心曲线;21 -21(2 )； A=241：J-1_1一-24=0,且a11a12a12_ a13a22a23曲线为无心曲线；9_3_3 I(3)；A二

6、-311，且有並=坐=坐一3, -310 a12a22a23曲线为线心曲线.3. 求下列二次曲线的中心.1 5x2 -2xy 3y2 -2x 3y _6 =0;2 22 2x 5xy 2y -6x -3y 5 =0;2 23 9x -30xy 25y 8x -15y =0;2 24 4x -4xy y 4x -2y = 0.313y =28285xy1 = 03 解得-x 3y02沖心为（28,28）2x 2当3 = 3 讦即a =9,b = 9时，二次曲线没有中心; 2（3）当a=b=9时，二次曲线有一条中心直线。 5、试证明如果二次曲线 aiix2 2ai2xy a22y2 2a13x 2

7、a23y a3 0，有渐近线，则它的两渐近线方程是 2 2： J（x -怡，y -y） =aii（x -X。）2ai2（x -）（y - y） a22（y - y） =0式中（xy。）为二次曲线的中心。证：设渐进方向为X:Y,在渐进线上任取一点（X,y）,则x x =y y0yy 一3 =02 由 2解得 x 1,y =2,x 2y - = 02 2中心为-1,2 ；ai2ai2a22ai3 _ 4a23152曲线没有中心.ai2a223|3a234.曲线为线心曲线,中心直线方程为2x-y+i=0.当a,b满足什么条件时，二次曲线2 2x 6xy ay 3x by - 4 = 0（i）有唯一中

8、心；（2）没有中心;（3）有一条中心直线。i33/2i33ab/2，丨2 =3a3/2b/2-4解：因为A =b为任意实数时,二 a - 9，曲线有唯一中心;(I)由 a. X2Y2+2aJ。I 2 (y 丿2+ 2a12x Xox x y - yo化简，得渐进线方程为：ax-x)2 2q2(x-x0)(y-y0) a22(y - y0)2 =0a22 =0，即 a11 a?2 = 06. 求下列二次曲线的渐进线。2 21 6x -xy - y3x y -1 = 0;2 22 x -3xy 2y x _3y 4 =0;2 23 x 2xy y 2x 2y -4 = 0.解：(1)由-13门6x

9、 y022 解得中心为1 1 cx - y02 2故渐进线方程为6 x 1I 5丿0即2x - y 1 = 0与3x y = 0.(2)由3 1x y 022解得中心为(-5,- 3 ),3 3x 2y 0.22故得渐进线方程为(x+5 -3(x +5 X y +3 )+2( y +3, 即x2y T 二 0与xy 2=0.（3）原方程变形为（x y）2 2（x y） - 4 = 0，即为两条平行直线。其渐进线方程为中心直线：x+y+1=0.7. 试证二次曲线成为线心曲线的充要条件是12 “3=0成为无心曲线的充要条件是 12 =0,10.证：（1）若二次曲线为线心曲线，则=,此时有丨2 =丨

10、3 =0, a12a22a23反之，若I2 J3 =0，则亚二坐,有 a“ =，曰2,玄伐= a22, 13ai2a22ai2a23 ai3a22ai a23 = 0,从而有ai3a23_ ai2 或 ai3a22a23丸a2扎a?2a13a12a22a23a13a23a33，都有a113)2ai3ai2 a22a23即曲线为线心曲线。（2）若曲线为无心曲线，则二坐=坐,从而I2 J =0否则由（1）知曲线为线心曲线,反之，若I2 =0,13=0,则必有=-，即曲线为无心曲线。ai2a22a238、求以点（0, 1）为中心，且通过点（2, 3）, （4, 2）与（-1 , -3 ）的二次曲 线

11、方程。解：设所求的二次曲线方程为ax2 bxy cy2 dx e f = 0 ,因为（0, 1 ）是其中心，点（2, 3）,（4, 2）,（-1 , -3 ）在曲线上，它们关于（0 , 1） 的对称点（-2, -1 ）,（ -4 , 0）,（ 1 , 5）也在曲线上，从而4a 6b 9c 2d 3e f =0, 4a 2b c - 2d -e f = 0, 16a 8b 4c 4d 2e f = 0,=0, a 5b 25c d 5e f = 0,a = c = e = 0.,16a-4b f =0, a-3ab 9cd3e f由上六式解得b =1, d - -1, f - -4,所求方程为x

12、y-x-4=0. 5.3二次曲线的切线1. 求以下曲线在所给点或经过所给点的切线方程.（1）曲线3x2 4xy 5y2-7x-8y-3 =0在点 21 ;（2）曲线x2xy y2 x 4y0,经过点-2 , -1; 曲线 2x2 - xy-y2 - x-2yT 二 0,经过点 0,2 .-9解（1）t F 2,1 =0,即点 2,1 在二次曲线上，且F 2,1 =-,F2 2,1 =5,9 所求切线方程为 ？x-2，5y-1 =0,即 9x，10y-28 = 0.（2）*F（-2,-1）=4,即点（2,-1 不在二次曲线上,且 F（-2,-1） = -2,F2 -2,-1 =0,2所求切线方程

13、为x 2 y y 1=，即yT=与xy-3 = .3；F ,2 =-9,且Fi 0,2 = -,F2 ,2 =-3,所求切线方程为一|x 3y-2-即 x =0.2. 求以下曲线的切线方程，并求出且点的坐标.(1) 曲线x2 4xy 3y2 -5x-6y 3=0的切线平行于直线x 40。2丄丄 2。(2) 曲线x xy y =3的切线平行于x轴.解：(1)设切点为(x,y)，则切线为:(x-x)Fi(x,y) (y-y)F2(x,yo) = O,这切线与直线x 4y=0平行，从而F1(x0,y0):F2(x0,y0) =1:4，5即-4(X0 2y0) (2x0 3y。)= 0 ,所以 2x。

14、 5y。- 7 = 0 ( 1)又因为(x ,y。)在二次曲线上，故有x024約03y。2-5x0-6y。3 = 0 ( 2)由(1) (2)得x)=1或一4。所以曲线的方程是x 4y-8 = 0或x 4y-5=0。 ly0 = 1ly0 = 3(2) 设切点为(X0,y。)，因为切线的方向数X:Y为1:0或0:1,工.1x0 + % =0当X : Y=1:0时，由方程组2 y0解得切点为X。Xey。y。= 3,1, - 2 或-1,2，平行于ox轴的切线方程为y=2与y=-2.3. 求下列二次曲线的奇异点。1 3x2 -2y2 6x 4y 1 =0;2 2xy y2 -2x -1 二 0;2

15、 23 x -2xy y -2x 2y 1=0.-02=0f x=-1解得,且 F -1,1i；=0,y=1奇异点为(-1，1)2由y 一 i = 0解得x + y = 0.奇异点为(-i,i).iX = i,且 F(i,i)=0,y =i3由x-yrO得x y_i二0,且此直线在二次曲线上， 广x+y+i =0故x-y-i=O上的所有点都是二次曲线的奇异点.4. 试求经过原点且切直线 4x+3y+2=0于点(i,-2 ),切直线x-y-i=O于点(0,-1 )的二次曲线方程.解：二次曲线过原点2 2可设其方程为 4iX +2d2xy + a22y +263X+ 2&23y = 0,以其上一点X0，y0为切点的切线方程为：aiiXoai2yoa)3ai2xo822 yoa23y ai3Xoa23yo- 0故以(i,-2)为切点的切线方程为aii 2ai2an x Q2 -2a22 a23 y ai3 2a23 =0以点(0,- i)为切点的切线方程为-耳2ax 厂a22 a23 y-a23 =0,aii 一 2ai2 ai3ai2 _2a22 a23ai - a23一-一 7此两直线方程分别与4x+3y+2=0和X-y-i=0同解，从而有4 3_ai2ai3 _ _a22 a23 _ _a23i-i-i解得 a23 =i,a22 =2,aii 二-i2,ai2 二 a 二