2020年高中数学二轮复习专题能力训练16直线与圆(理数)(全国通用)

1、专题能力训练16直线与圆一、能力突破训练1. 已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程 为()3 22 253 2225a.(?2)+y2=7 B.(?+ 4)+y2=163 2 2 253、22 25c.(?4)+y2=w D.(?J +y2=答案:c解析:因为圆心在x轴的正半轴上，排除B;代入点A(0,1),排除A,D.故选C.2. 若直线x-2y-3= 0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点，则AECF的面积为()33 v53A.B. 2v5C.D；254答案:B解析:由题意，圆心为C(2,-3),半径为r=3,

2、则厶ECF的高h=d= |2+2 x3-3|=需，底边长为V1+ (-2)21=2?=2v95=4,所以 Saecf=1 X4Xv5=2v5,故选 B.3. (2018全国理6)已知直线x+y+ 2= 0分别与x轴、y轴交于A,B两点，点P在圆(x-2)2+y2=2上，则AABP面积的取值范围是()A.2,6B.4,8C. v2,3v2D.2 v2,3 v2答案:A点P到直线AB的距离为d. 易知 d-r d d+r, 即烷 d 3v2.又 AB=2v2, Szabp=2 |AB| d=込d,2 = 2.6. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在平面轨迹一书中，曾研究

3、了 众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹 为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆在平面直角坐标系中，已知点A(- 2,0),B(2,0),则满足|PA|=2|PB|的点P的轨迹的圆心为 ，面积为.10答案:徉,0)64 n9解析:设 P(x,y),：|PA|=2|PB|, V(? 2)2 + ? = 2V(?2)2 + ?即(x+2)2+y2=4(x-2)2+4y2,化简可得(?？)+2=专1064 n故圆心坐标为(孑,0),面积为.7. 已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点F关于直线y=x对称，直线4x-3y-2= 0与圆C 相交于A,B两点,

4、且|AB|=6,则圆C的方程为.答案:x2+(y-1)2=10解析 抛物线y2=4x的焦点F(1,0)关于直线y=x的对称点C(0,1)是圆心,C到直线4x-3y- 2=0 的距离 d=HX0| = 1.圆截直线4x-3y-2=0的弦长为6,圆的半径 r= V32 + 32 = V10.圆方程为 x2+ (y-1)2=10.8. 已知P是抛物线y2=4x上的动点，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为点M,N是圆(x-2)2+(y-5)2=1上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是.答案:v26-1解析抛物线=4x的焦点为F(1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1的圆心为C(2,5)根据抛物线的

5、定 义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P,C,F三点共线时,点P到点C的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为|FC|= V(2-1)2 + (5-0)2 =故|PM|+|PN| 的最小值是 |FC|-1 = v26-1.9. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为圆心的圆与直线x-v3y=4相切.(1) 求圆O的方程；(2) 若圆0上有两点M,N关于直线x+2y=0对称，且|MN|= 2V3,求直线MN的方程；(3) 设圆O与x轴相交于A,B两点,若圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB成等比数列，求? ?的取值范围.解:依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x-

6、V3y=4的距离，即r=盲+3=2.所以圆O的方程为x2+y2=4.由题意，可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=?z_2由垂径定理，得+(v3)2=22,即m=需.5所以直线MN的方程为2x-y+需=0或2x-y-需=0.设点P(x,y),由题意得点A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得 V(?f 2)2 + ? M?2)2 + ?=x2+y2,即 x2-y2=2.因为?(-2-x,-y) (2-x,-y) = 2(y2-1),且点p在圆o内所以?；?= 2,由此得0w y21.所以 瞬?？?取值范围为卜2,0). _10. 已

7、知圆O:x2+y2=4,点A(V3,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为r .3(1)求曲线r的方程；直线AB交圆0于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.解:设 AB 的中点为 M,切点为 N,连接 OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|= 2,|AB|=|0N|-1(|OM|-|MN| )=2-|0M|+ RAB|,即卩|AB|+2|0M|= 4.|AA|.所以点B的轨迹是以A,A为焦点，长轴长为4的椭圆.其中,a=2c=二3,b=1,故曲线r的2方程为?+y2= 1.因为B为CD的中点所以OB丄CD,则？?设？ B(xo,yo),则 X0(xo-霭)+?=

8、0.又手 + ?= 1,解得 x=|=,y0= 再 则 koB= 土 j,kAB=? v2,则直线 AB 的方程为 y= v2(x-&3).即 v2x-y-v6= 0 或 v2x+y- v6= 0.11. 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线I与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围； (2)若?礙？?12,其中O为坐标原点,求|MN|.解:(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点所以|2?3+1 |V1+?2解得?vkv于.所以k的取值范围为(t，竺).设 M(xi,yi),N(X2,y?).将 y=kx+ 1 代入方程(x-2)2+

9、 (y-3)2= 1, 整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.4(1+?)7所以 x1+x2=?,x1x2=.924? 1+?)= (1+k )x1X2+k(x1+x2)+仁 1+?2 +8.由题设可得4?存+8= 12解得k=1,所以I的方程为y=x+ 1.故圆心C在I上，所以|MN|=2.二、思维提升训练12. 在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若?=?,则廿卩的最大值为()A.3B.2v2C.需D.2答案:A=工?|?2X1書=5解析:建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,1),B(0,0),D(2,1).设 P(x,y),由 |

10、BC| |CD|=|BD|即圆的方程是(x-2)2+y2=4.5易知？=(x,y-1),?(0,-1),?2,0). 由?小?=2?得? ：?所以巳，启1-y,所以 2+(JF fx-y+1.1 1设 z=X-y+1,即尹丫+ 1-z=0.因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=4上,51所以圆心C到直线2x-y+1-z=0的距离d r,即罕 0)将8BC分割为面积相等的两部分，则 b的取值范围是(A.(0,1)C.(1 -為1 1D.亍，2)答案:B 解析:由题意可得MBC的面积为S=2 AB OC=1,Q*? ?由于直线y=ax+b(a0)与x轴的交点为M(-$?,0),由-?0,则 b

11、-.?若点M在点A的左侧，则-?a,设直线y=ax+b和AC的交点为P,则由?= ?= ? 1，- ?求得点P的坐标为(鬲,不),1-? 1-? 2?+? ? 2此时,NP=右-不)+ (?-；1-?-)/ -2(1-? 2 2?1) 2/4(1+?2)(1-?2(?+1)2(?1)2211-?V1+2?|(?+1)(?1)| 此时，点C(0,1)到直线y=ax+b的距离为第謬=占需 由题意可得ACPN的面积等于1, 即 1 2|1-? vJ+t? 単,=12 |(?+1)(?1)| V1+?22化简，得 2(1-b)2=|a2-1|.由于此时0a1-v22,综合以上可得,b=3符合题意，且b

12、 1-2-,即b的取值范围是(1 - ,2).14. 已知坐标原点为O,过点P(2,6)作直线2mx-(4m+n)y+2n=0(m,n不同时为零)的垂线，垂足为M,则|OM|的取值范围是.答案:5-v5,5+ v5解析:根据题意，直线 2mx-(4m+n)y+2n=0,即 m(2x-4y)-n(y-2)=0,2?-4?= 0?= 4则有?T=0解得?=；则直线恒过定点(4,2).设点Q(4,2),又MP与直线垂直，且M为垂足,则点M的轨迹是以PQ为直径的圆，其方程为(x-3)2+(y-4)2=5.所以5-V5 |OM| 5+需,即|OM|的取值范围是5-g5,5+ V5.15. 已知直线l:m

13、x+y+3m-V3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点，过A,B分别作I的垂线与x轴交于C,D两点若|AB|=2V3,则|CD|=.2?)由 |3?- g由v?7+13,解得m=_F答案:4 解析:因为|AB|=2V3,且圆的半径R=23,将其代入直线l的方程，得y=-3所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m3=O的距离为x+2g3,即直线I的倾斜角为30由平面几何知识知在梯形ABDC中，|CD|=I?cos30 =4.16. 如图，在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上 一点 A(2,4).设圆N与x轴相切，与圆M外切,且圆心N在直线x=

14、6上,求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线I与圆M相交于B,C两点且BC=OA,求直线I的方程；设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得? ?= ?求实数t的取值范围. 解:圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上，可设N(6,y). 因为圆N与x轴相切，与圆M外切, 所以0y7,于是圆N的半径为y0, 从而 7-y0= 5+y0,解得 y= 1.因此，圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.4-0(2)因为直线I / OA,所以直线I的斜率为齐=2.2-0设直线I的方程为y=2x+m,即2x-y+m=

15、 0,则圆心M到直线I的距离d=|2X6-7+?|?+5 |因为 BC=OA= + 42=2需,十22?2而 MC2=d2+(歹)所以25=宀5+ 5,解得m=5或m=-15.故直线I的方程为2x-y+5=0或2x-y-15= 0. 设 P(X1,y1),Q(X2,y2).因为 A(2,4),T(t,0),? ?= ?=? + 2-?，=?+ 4.因为点Q在圆M上，所以(x2-6)2+(y2-7)2=25. 将代入，得(x1-t-4)2+ (y1-3)2= 25.于是点P(xi,yi)既在圆M上，又在圆x-(t+4)2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2= 25 与圆x-(t+4)2+(y-3)2= 25 有公共点,所以 5-5 V(?/+ 4)-62 + (3-7)2 5+5,解