2019年浙江省中考数学分类汇编专题：二次函数

1、2019年浙江省中考数学分类汇编专题：二次函数一、单选题21二次函数 y（ x-1）+3图象的顶点坐标是（）A. (1,3)B.(1 , -3)C.(-1, 3)D.(-1 , -3)【答案】A【考点】二次函数y=a (x-h) A2+k 的性质【解析】【解答】解: y= (x-1) 2+3,二次函数图像顶点坐标为：（1, 3）.故答案为：A.【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标2. 已知二次函数 - - ： - ，关于该函数在i纟w3勺取值范围内，下列说法正确的是（）A. 有最大值-1，有最小值-2B. 有最大值0,有最小值-1C. 有最大值7,有最小值-1D. 有最大值7,有最小值-

2、2【答案】 D【考点】二次函数的最值【解析】【解答】T由 - -I .知当x=2，最小值为-2，又I x=-1与x=3关于x=2对称故最大值为-.3） -3-2 _故答案为：D。【分析】先配方，对称轴x=2,在给定定义域范围内，故最小值可求。图像张口向上，故离图像最远的点为最大值。3. 小飞研究二次函数 门 w卩 川亠1（ 为常数）性质时如下结论：这个函数图象的顶点始终在直线 I - -上；存在一个 的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；点与点在函数图象上，若，羽卜紀刘基.则;当时， 随 的增大而增大，则的取值范围为其中错误结论的序号是（）A. B.C.D.【答案】C【考点

3、】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数y=a （x-h） A2+k的性质，二次函数的实际应用-几何问题【解析】【解答】解：抛物线y=- （x-m） 2-m+1顶点坐标为：（m, -m+1）/ y=-x+1当 x=m 时，y=-m+1抛物线的顶点坐标始终在直线y=-x+1上，故正确；设抛物线的顶点坐标 C (m, -m+1)，与x轴的两交点坐标为 B、A 过点C作CD丄x轴，C、 oDB1当厶ACB是等腰直角三角形时，则 AD=DB=CD=-m+1,OD=m点B的横坐标为：m+ (-m+1) =1点 B (1,0) - (1-m)-m+1=0解之：mi=i (舍去)，m2=0当m=0时，抛物线

4、的顶点与 x轴的两交点构成等腰直角三角形，故正确； A (xi , yi), B (X2, y2), Xi+x2 2mt a=-1，对称轴为直线 x=m当x m时，y随x的增大而减小， 时，故错误；当-1 v XV 2时，y随x的增大而增大，对称轴为直线 x=m m2,故正确；故答案为：C【分析】利用抛物线的解析式， 可得到顶点坐标，再将顶点坐标代入 y=-x+1进行验证，就可对作出判断； 过点C作CD丄x轴，利用等腰直角三角形的性质，可知 AD=DB=CD=-m+1, OD=m，从而求出点B的坐标, 再将点B的坐标代入抛物线的解析式， 就可求出符合题意的 m的值，可对作出判断；利用二次函数的

5、性 质，可对作出判断；综上所述，可得出说法错误的结论。4. D在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+5)( x-3)经变换后得到抛物线 y= ( x+3)( x-5)，则这个变换可以是()A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位 C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位【答案】B【考点】二次函数图象的几何变换【解析】【解答】解： y= ( x+5)( x-3) = (x+1) 2-16顶点坐标为(-1, -16)y= (x+3)( x-5) = (x-1) 2-16顶点坐标为(1,-16)将抛物线y= (x+5)( x-3)向右平移2个单位就可得到抛物线y= (x+3)( x-5)故答案为：B5

6、.已知a, b是非零实数, 的大致图象不可能是(【分析】先将两函数解析式转化为顶点式，就可得到顶点坐标，再根据二次函数图像平移的规律：上加下 减，左加右减，就可得出两图像平移结果。2y1= ax + bx 与一次函数 y2= ax + b，在同一平面直角坐标系中，二次函数【考点】【解析】二次函数图象与系数的关系，一次函数图象、性质与系数的关系【解答】解：A.一次函数y2=ax+b图像过一、二、三象限) a 0,b0,又二次函数 yi=ax2+bx图像开口向上, a 0,二次函数对称轴x=- 卓 v 0 , b 0,令 y2=ax+b=0,解得：x=-二|a| |b| , -1 v - v 0,

7、 a故可能在同一直角坐标系中，A不符合题意;B. .一次函数y2=ax+b图像过一、三、四象限， a 0,bv 0,又二次函数 yi =ax2+bx图像开口向上， a 0,二次函数对称轴x=- * 0, bv 0,令 y2=ax+b=0, 解得：x=-苹|a| |b| , 0V-v 1,故可能在同一直角坐标系中，B不符合题意;C. .一次函数y2=ax+b图像过二、三、四象限av O,bv 0,2又二次函数 =ax+bx图像开口向下,av 0,二次函数对称轴 x=-磊 v 0 ,.bv 0,令 y2=ax+b=0, 解得：x=- ba- |a| |b| ,.-1 v - v 0,a故可能在同一

8、直角坐标系中，c不符合题意;D. .一次函数y2=ax+b图像过一、二、四象限av 0,b0,2又二次函数 yi =ax +bx图像开口向下， av 0,二次函数对称轴x=- b 0,令 y2=ax+b=0,解得:x=-|a| |b| , 0v -v 1,a故不可能在同一直角坐标系中，D符合题意;故答案为：D.【分析】根据一次函数图像与系数的关系：k0, b 0时，图像经过一、二、三象限；k0, bv 0时，图像经过一、三、四象限；kv 0, bv 0时，图像经过二、三、四象限；k0, b0时，图像经过一、二、四象限；二次函数图像开口向上则a 0,若对称轴在y轴左边，则b0，若对称轴在y轴右边

9、，则b v 0；二次函数图像开口向下则 av 0,若对称轴在y轴左边，则bv 0,若对称轴在y轴右边，则b0;再结合 已知条件a、b大小逐一分析即可得出答案.6. 在平面直角坐标系中，已知ab设函数y= (x+a)( x+b)的图象与x轴有M个交点，函数y= (ax+1)(bx+1 )的图象与x轴有N个交点，则()A. M=N-1 或 M=N+1 B. M=N-1 或 M=N+2 C. M=N 或 M=N+1 D. M=N 或 M=N-1【答案】C【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题【解析】【解答】解： y= (x+a)( x+b),函数图像与x轴交点坐标为：(-a, 0) ,( -b, 0

10、),又y= (ax+1)( bx+1),(-,0),函数图像与X轴交点坐标为：（-,0）,ab M=N，或 M=N+1.故答案为：C.【分析】根据函数解析式分别得出图像与x轴的交点坐标，根据题意 ab分等于0和不等于0的情况即可得出两个交点个数之间的关系式，从而得出答案二、作图题7. 某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为 200元时，每天入住的房间数为 60间，经市场调查表明，该 宾馆每间标准房的价格在 170240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数 y （间）与每 间标准房的价格x （元）的数据如下表：x （元）19020021022(y（间）656055507060

11、5040 丄丄丄亠丄上 X （ JE ）ho IM）210230 25ff（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象。（2） 求y关于x的函数表达式、并写出自变量x的取值范围.（3）设客房的日营业额为 w （元）。若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时。客房的日 营业额最大？最大为多少元？【答案】（1 ）解：如图所示。间70G0500 170190210(2)解：设 y=kx+b(k 丰0,7160把(200, 60)和(220, 50)代入,(200fr + & = 60 220*6 = 50?/ y= px+160 (170W xw 240(3)解：w=xy=x(=x+

12、160)=/+160乂.对称轴为直线 x= =160, a= 0，在170x0, n0，求m , n【答案】1 2(1)解：令 y=0,则-瓷 x+2x+6=0,x1 =-2, X2=6, A (-2, 0), B (6, 0)由函数图象得，当 y0时，-2wxW6（2）解：由题意得 B2 （6-n, m）, B3 （-n, m）,-2+6函数图象的对称轴为直线x=2.点B2， B3在二次函数图象上且纵坐标相同，/ n=1,27m=- = X (-1)+2x (-1) +6=-; m , n的值分别为三,1【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用，坐标与图形变化-平移，二次函数y=a （x-h

13、） A2+k的性质【解析】【分析】（1）图像与x轴的交点，即y=0,求二次方程-、.十二、十亍*根即可求解。根据 加权平均数的定义来求；注意A在B的左侧，。即图像在x轴上方（含交点）x的范围。（2）根据坐标平移特点知，左右平移横坐标变化，纵坐标不变，上下移动，纵坐标变化，横坐标不变，又因为B2和B3在图像上，且纵坐标相同，故两点对称，可根据对称轴列关系式，求出n的值，再把B3坐标代入函数关系式，即可求出m.9. 某农作物的生长率与温度 （）有如下关系：如图，当10 25寸可近似用函数刻画；当25 37时可近似用函数;-.I ： 一 一 一刻画.（1）求的值.（2） 按照经验，该作物提前上市的天

14、数（天）与生长率 满足函数关系，部分数据如下:生长率P0.20.250.-0.35提前上市的天数用（天）051015求：求 关于的函数表达式； 请用含的代数式表示 天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度.在大棚恒温20C时每天的成本为100元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元.因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20Wt 2时的成本为200元/天，但若加温到25v t 25, h=29(2)解：由表格可知 m是p的一次函数，.m=100p-20当 10W t W 2时,p= 二， m=100(二)-20=2t-401 2

15、当 25W t W 3时,p=(t-29) +04lo(J1252m=10(t-29) +0.4-20= 三(t-29) +20loUo设利润为 y 元，则当 20W t W 2时,y=600m+100X 30- (30-m ) x 200=800m-3000=1600t-35000.当20W t w 2时,y随着t的增大而增大，当t=25时，最大值y=5000.当 25v t W 37寸，y=600m+100X 30- (30-m) x 400=1000m-9000=-625 (t-29) 2+11000.a=-625v 0,当 t=29 时，最大值 y=11000./ 11000 5000

16、,当加温到29 C时，利润最大。【考点】二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=a （x-h） A2+k的性质，二次函数的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）观察图像可知抛物线经过点（25, 0.3），将此点坐标代入抛物线的解析式，就可 求出结果。（2）根据表格中 m与p的对应值可知 m是p的一次函数，利用待定系数法求出此函数解析 式；分段讨论：当10W t W 2时，当25W t W 3时，根据m=100p-20，将p与t的函数解析式分别代入，就 可得到m与t的函数解析式。设利润为y元，根据题意列出 20Wt w 2525V t w 37寸利润y与t的函数关系式，分别根据

17、一元一次函数 的性质、二次函数的性质求出利润最大值及其对应的t值，两者比较，即可求出答案。10. 某农作物的生长率与温度 （）有如下关系：如图1,当10w W 25寸可近似用函数刻画；当25W W 37寸可近似用函数-儲（5 +刻画.（1）求的值.（2） 按照经验，该作物提前上市的天数（天）与生长率 满足函数关系:生长率P0.20.250.30.35提前上市的天数 用（天）051015 请运用已学的知识，求关于的函数表达式； 请用含的代数式表示（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度在（2）的条件下，原计划大棚恒温20 C时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前

18、一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元因 此给大棚继续加温，加温后每天成本（元）与大棚温度 （）之间的关系如图2 问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）.【答案】（1）解：把（25, 0.3）的坐标代入p=（t-h） 2+0.4得h=29或h=2116U/ h25, h=29(2)解：由表格可知 m是p的一次函数，.m=100p-20当 10W t 2时,p=春亠 寸, m=100(鲁 寸)-20=2t-401 2当 25W t 3时,p=(t-29)2+0.4.(t-29)2+20loU .m=10(t-29) 2+0.4-20=loU(3

19、)解：(I)当 20W t w 2时,w=20t-200.由(20, 200),( 25, 300)，得增加利润为 600m+200X 30-w (30-m)-40t 2-600t-4000.当t=25时，增加利润的最大值为600元.(H)当 25W t w 3时,w=300.增加利润为600m+200 X30-w(30-m)900 X ( ) X (t-2+15000=增加利润的最大值为15000元.11252(t-29)2+15000当 t=29 时，综上所述，当【考点】二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数 实际应用-销售问题t=29时，提前上市20天，增加利润的最大值为1

20、5000 元.y=a （x-h） A2+k的性质，二次函数的【解析】【分析】（1）观察图像可知抛物线经过点（25, 0.3），将此点坐标代入抛物线的解析式，就可 求出结果。（2 ）根据表格中m与p的对应值可知 m是p的一次函数，利用待定系数法求出此函数解析式；分段讨论：当10w t w 2时，当25w t w 3时，根据m=100p-20，将p与t的函数解析式分别代入，就可得到m与t的函数解析式。（3）（ I）观察函数图像，利用待定系数法求出当20W t 2时,w与t的函数解析式，再求出增加的利润与m的函数解析式，利用二次函数的性质，就可求出增加利润的最大值及t的值；（H）当25W t 0 ,

21、 16 -8c 0 c的取值范围是cv 2(2)解：mv n.理由如下： 抛物线的对称轴为直线x= 1,又T a = 20，当xl时，y随x的增大而增大./ 2v 3,. mv n.【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数y=axA2+bx+c的性质2【解析】【分析】(1)由二次函数与X轴有两个不同的交点即厶=b -4ac 0，解之即可求得答案.(2)由二次函数解析式可得其对称轴x=1，当x 1时，y随x的增大而增大，由1 v 2 v 3得m v n.212. 如图，已知二次函数 y=x+ax+3的图象经过点 P(-2, 3).(1) 求a的值和图象的顶点坐标。(2) 点Q ( m ,

22、 n)在该二次函数图象上. 当m=2时，求n的值； 若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出 n的取值范围.【答案】(1)解：把 P (-2, 3)代入 y=/+ax+3,得 3= (-2) 2-2a+3,解得a=2. y=/+2x+3=(x+1) 2+2,顶点坐标为(-1 , 2)(2)解：把x=2代入y=x +2x+3,求得y=11 ,.当 m=2 时，n=11.2 11【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=axA2+bx+c的性质【解析】【分析】(1)将点P的坐标代入抛物线 - - - -即可算出a的值，从而求出抛物线的解析式，再将抛物线的解析式配成顶点式，即可求出其顶点坐

23、标；(2) 将点Q的横坐标x=2代入(1)所求的抛物线的解析式即可算出对应的函数值，该值就是n的值；(3) 由于该函数顶点坐标是(-1,2)，且函数开口向上，点 Q的横坐标横坐标是 2的时候，对应的函数 值是11,故点Q到到y轴的距离小于2的时候，对应的函数值 n的取值范围是2 90 要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大。BD(1) 若所截矩形材料的一条边是BC或AE,求矩形材料的面积。(2) 能否数出比(1)中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说 明理由【答案】 (1 )解:如图1, S=ABBC=6X 5=30

24、.如图2,过点C作CH丄FG于点H,则四边形BCHG为矩形， CHF为等腰直角三角形， HG=BC=5, BG=CH, FH=CH, BG=CH=FH=FG-HG=AE-HG=6-5=1 , AG=AB-BG=6-1=5,- S2=AEAG=6X 5=30.(2)解:能。D如图3，在CD上取点F,过点F作FM丄AB于点M.FN丄AE于点N,过点C作CGFM于点G,则四边形 AMFN, BCGM为矩形， CGF为等腰直角三角形， MG=BC=5, BM=CG, FG=CG.设 A.M=x，贝V BM=6-x, FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x2 S=AM FM=x(11-x)=

25、-(x-5.5) +30.25.当x=5.5时，S的最大值为 30.25.【考点】矩形的判定与性质，二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】(1)由题意添加辅助线，过点 F作CF丄AE于点F,利用矩形的面积公式求出矩形 ABCF 的面积，再过点 E作EF丄AEZ DC于点F,过点F作FG丄AB于点G,过点C作CH丄FG于点H,易证 CFH 是等腰直角三角形，再利用矩形的性质，分别求出AE、AG的长，然后求出矩形 AEFG的面积。(2)添加辅助线，在 CD上取一点F,过点F作FM丄AB于点M , FN丄AE于点N,过点C作CG丄FM于 点G,利用矩形的判定和性质及等腰直角三角形的判定和性质，

26、可得到MG=BC, BM=CG, FG=CG设AM=x ,用含x的代数式表示出BM、FM，再利用矩形的面积公式，根据矩形AMFN的面积与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，就可求解。214. 已知函数y=x+bx+c( b, c为常数)的图象经过点(-2, 4)(1) 求b, c满足的关系式(2) 设该函数图象的顶点坐标是( m, n),当b的值变化时，求n关于m的函数解析式(3) 若该函数的图象不经过第三象限，当-5sxW1时，函数的最大值与最小值之差为16,求b的值【答案】(1)解：将点(-2, 4)代入 y=x2+bx+c,得 4= (-2) 2-2b+c,.

27、c=2b b, c满足的关系式是 c=2b(2)解：把 c=2b 代入 y=x2+bx+c，得 y=x+bx+2b,t顶点坐标是(m, n). n=m2+bm+2b 且 m=二， 即 b=-2m2 2-n=m +(-2m)m+2(-2m)=-m -4m n关于m的函数解析式为n=-m2-4m（3） y=x2+bx+2b= （x+ ） 2-+2b,对称轴X=-咚,当bwo时，cwq函数不经过第三象限，则c=0;此时y=x?,当-5w x w时，函数最小值是 0,最大值是25, 最大值与最小值之差为25；（舍去）当b 0时，c 0,函数不经过第三象限，则wq 0w bw,8当-5W xw时，函数有

28、最小值-+2b,4当-5w定v -2时，函数有最大值 1+3b,当-2 v - wi时，函数有最大值 25-3b ;函数的最大值与最小值之差为16,当最大值 仁3b时，1+3b+二-2b=16,4 b=6 或 b=-10,/ 4w b0时，c0,函数不经过第三象限，则 wq 得ow bw,8求-5wxwi -5wg v -2、 -2 v -舟w 1三种情况下的函数最大值，再当最大值1=3b或25-3b时，求出b的值。15. 设二次函数 y= （x-X1）（ x-X2）（ X1 , X2 是实数）。y=-，若甲求得的结果都正确，你(1)甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；乙求得当x=认

29、为乙求得的结果正确吗？说明理由(2) 写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值(用含X1 , x2的代数式表示)(3) 已知二次函数的图象经过(0, 口)和(1, n)两点(m.n是实数)当0xkx21时，求证：0mn1.【答案】(1)解：乙求得的结果不正确，理由如下：根据题意，知图象经过点(0, 0),( 1, 0),所以 y=x (x-1),当x=百时，y=x (百-1) =-2224 2所以乙求得的结果不正确。M ,(2)解：函数图象的对称轴为 x= 当x= & 时，函数有最小值M=(-=-(3)证明：因为所以m=X1x2=-(X1-y= (X-X1)(X-X2),22n= (1-X

30、1)( 1-X2)，所以 mn= X1X2 (X1-X1 )( X2-X2 )2 亠卜(砂)+121+盲，0-(因为0Xix21，并结合函数 y=x (1-x)所以 0- (xi-1-41-4+2|71-21所以0mnc-因为xi2, 所以0m*【考点】二次函数的最值，二次函数【解析】【分析】(从而可得y=x( x-i)可得函数对称轴x=y=axA2+bx+c 的性质1 )乙求得结果不对，理由如下：根据题意得二次函数图像过(，再将x= p代入，求得y=-亍乂 p ,由此可得乙求得结果不对 (2)由题中解析式一-，代入 函数解析式求得最小值M. (3)根据题意得 m=x1x2 , n= (1-X1)0, 0),( 1, 0),(1-X2)，从而可得E ) 2+ 0 - ( x2 -)mn的代数式，配方得m冋-(x1-)