函数的和差积商的导数1

1、函数的和差积商的导数（1） 目的要求 1. 了解函数的和差积的推导. 2. 掌握两个函数的和、差、积的求导法则. 3. 能正确运用两个函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简 单函数的导数. 教学过程 一、导入新课 1复习 求下列导数：（xn）,（x3）, （x2）. 2. 提出问题：求函数y=x3 +x2的导数. （1）利用导数定义求f（x） =X3 x2的导数. 3232 /f(x+Ax)f(x)(x+也x) +(x+Ax) (x +x ) (x)二 lim= lim ix氐 x 2 2 3x ：x ( ：x) 2x + 3x23x ( x)2( ：x)3 2x ：x ( x)2

2、 Ax ：x) =3x22x. (2)探究：(x3)=3x2, (x2)=2x, (x3 x2)=3x2 2x. 结论:(x3 x2) =(x3) (x2). 3. 猜想:u(x) v(x) =? u(x)-v(x) =?. 、新授 1. 对上面猜想的证明： u(x) -v(x) =u(x)二v(x). 证明:令 y = f (x)二 u(x) _ v(x).：y 二u(x：x) _ v(x ：x) -u(x) 一 v(x) =u(x ： -x)-u(x)二v(x ： =x)-v(x) = ：u 二、v. yuu xxx 啊，二 hxm0 号-：二叽号-叭 W 即u(x)- v(x) = u(

3、x) v(x). 2. 法则1两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）, （U 二 V）= u 二 V . 3. 范例： 求y二x3 sin x的导数. 求y = x4 x? _x 3的导数. 4. 法则2:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数 加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： III （UV）= U V + UV . 指导学生尝试法则2的证明： 令 y = f（X）二 u（x） V（x）._y = u（x 亠：、X）V（X 亠：、x）u（x）v（x） = u(x lx) v(x lx)u(x) V(X lx) u(x) V(X lxu(x)v(x

4、). y u(x ：x)u(x)“vA(x：x)v(x) =V(x：x) u(x) lim -X-XJ0-X 因为V(x)在点X处可导所以它在点X处连续，于是当厶X. 0时,V(X rx) V(x).从而 lim 卫=lim u(x u(x)*.，x) u(x) lim V(x V(x) i.xAxx 0X空刃X =u (x)v(x) u(x)v (x).即:y = (uv) = u v uv 说明： II I 1. (uv)式 u V . 2. 若 C为常数，则(Cu)二Cu Cu0 CuCu.即常数与函数的积的导数 等于常数乘以函数的导数. (Cu) =Cu. 、例题 例 1 求 y = 2x3 -3x2 5x -4 的导数. 例 2 求 y = (2x2，3)(3x-2)的导数. 解法 1: y =(2x2 3)(3x-2) (2x2 3)(3x-2) =4x(3x-2) (2x2 3) 3 2 =18x 8x 9. 解法 2- y = (2x3 3)(3x_2) =6x3 _4x 2 9x-6 2 y =18x -8x 9. 注:在可能的情况下，求导时应尽量少用甚至不用乘积的求导法则 1 1 例3求y = x(x2 一 )的导数. x x -1)的导数. x x 例5求y = x -sin cos的导数. 2 2