向量代数与空间解析几何.

1、高等数学复习题解 十、向量代数与空间解析几何 1设 a=3, 一1,一2二1,2, 一1,求(易 3b 和 a b. 解：(-2；)3匸(3 1 (-1) 2 ( 2) (_1) = _18 2. a =2i -3jk , b = i - j3k , c = i2 j，求(a b) (b e) 解:(a-b)(bc)=(3i 4j，4灼(2,3j3lk) -44 -3 3 -4 -3 3 4 j+l3 2 32 -4 -3 f-k 3.求过点(3,0, -1),且与平面3x -7y - 5z -12 =0平行的平面方程。 解：因为所求平面与平面3x -7y - 5z _12=0平行，所以其法向

2、量 n =3： 7： 5k 由点法式得 所求的平 面方程为3(x-3) -7(y -0) 5(z 1) =0即 3x -7y 亠5z -4=0 y RP2 =-i 6j +7k、且 RP3 =罷=4i 2j +6k 所求平面的法向量 n二化 k 7 6 1 -4 -22i34：26k 由点法式得所求的平面方程为-22( 0) 34( 4) 26( z 50 即-11x 17y 13z -3 =0 6求平行于平面 x 2y _z_3 =0,且过点P(2, -5,3)的平面方程。 解：因为所求平面与平面 x 2y _z _3 =0平行， 所以其法向量n 2j-k，由点法式得所求的平面方程为 (x_

3、2)2(y5)_(z_3)=0 即 x 2y_z 11=0 x 一3z 一1 7求过点(4, -1,3)，且与直线y平行的直线方程。 25 x _ 3z _ 1 解：因为所求直线与直线y平行，其方向向量为 25 S =2, j 5k x -4 y 1 z -3 2 1 5 由点向式得所求的直线方程为 8 .求过两点 z-1 9求过点(2,3, -8)且与直线 I 解：PP2 面方程。 R(3, 2,1)和 F2(1,0,2)的直线方程。 S = -42j k即为所求直线的方向向量S -4t 2j k 由点向式得所求的直线方程为 匕3.2 z1 2 -4 二八6邛一2垂直的平 3-8 -6 匸2

4、垂直， 23-8 I 直线的方向向量s =23j -8k即为所求平面的法向量n =23j -8k 解：所求的平面直线 由点法式得所求平面方程为 2( x - 2)3( y -3) -8( z 8) =0即2x 3y 8z -77 =0 10设两点M, .2,1),M2(3,0,2),计算向量Mg?的模，方向余弦和方向角。 -k所以 mM 的模=.(-1)2 ( 2 )212 =2， M1M2的方向余弦cos： -，cos 2 2 所以MtM2的方向角为： 11 说出下列方程所代表的图形名称： x2 z 1椭圆柱面 49 2 2 V 2 xZ =1单叶双曲面 4 2 2 2 xVZ (5)222

5、 1双叶双曲面 abc 2 2 2 x y z (2)1椭球面 499 2 2 xy (6)z 抛物面 42 x v z =1 直线 |x - y - z - -6 22 xz (9)1双曲柱面 43 (8) x -2y 8z = 7 平面 22 (10) z = x y 圆锥面 12.求直线 x -2 与平面2x y z 6 = 0的交点. x =t 2 -3 z -4 ,_则y =t 3代入平面方程2x y 0求得t = 1 所以求直线与平面的交点为 (3,4,6)。 13.求两直线 1-41 解：两直线的方向向量分别为4j k, 所以两直线的夹角满足 12二4=(=2)=1=(二1)=2

6、 所求夹角为 .1 164 4 12 本章补充题: 、选择题： 1设 # = 1, _ 1 k, 8 = 2, 4, 2，当 a与 b 垂直，则 k =（） A 1 B -1C. 2 D. -2 2设菱=1, 1, 0?, b 1, 0, - 1?则 a与 b 的夹角为（） TlHJI A. B. C. D. 6432 3 .设 b = i j k 及 c = 2i j k 垂直，则 b C =（） A . -j -k b. j-kC. j k d .- j k 4 . 同时与a =1,- 1,0?及 b, 0, -2/ 垂直的单位向量是（） 丄c丄cd c丄c丄M 2 2 1 124 2 A

7、 . i 2j 2k B . 2i 2j k C ijkd . -1j k 333 33 3 5.平面x -2y z 0与平面（）垂直 A. -x 2y-z-5=0 b. 2x-y 3z 3=0c. . x-y-3z 5 = 0 d. 3x-5y z1=0 x 1 v 2 z +1 6. 直线L : D二以二与平面（）平行 -12-2 A. 4x yz-10=0 b. x2y 3z 5=0 c. 2x3y z 6 = 0 d . x y5z 3 = 0 7. 直线L:=1_1与平面x 2y -z 3 =0位置关系是（） 3 -11 A .垂直.B.直线在平面内C.平行D .相交 8过点P（1,

8、 2, 3）且与向量a：2 , 2,2?及b =1, 2,4?同时垂直的直线为（） x 1y 2 z 3 A . 4 62 x 1y 2z 3 C . -462 x1y2z3 B . 46-2 x1y2z3 D . 4-62 9 .在空间直角坐标系中方程 2 2 2 x （y -1） z =9 表示（） A.球面 B.圆锥面 C.圆柱面 10 .在空间直角坐标系中方程 A . 一个圆 B .圆柱面 D.抛物面 2 2 一 x y 4z表示（） C.圆锥面 D .旋转抛物面 11.在空间直角坐标系中方程 y =x 1表示（） A .抛物线B .圆柱面C .圆锥面D .抛物柱面 2 22 Z 12

9、在空间直角坐标系中方程 x y1表示() 4 A .球面B .圆柱面C.圆锥面 D.椭球面 二、填空题： 1. 设g =3卩+5土+7克的终点为B(1,_2,_3)则龙起点A的坐标为()。 2. 设：，：， 是向量a的三个方向角，_则 sin2 _： sin2 ： - sin2 =。 3设；-：6, 3, -2?，已知 a 与 b 平行，且 L =14，则 b =。 4已知 A(2,1, 2)，B( 0,2, 1)，C(2,3, 0)，则心ABC 的面积为。 5已知向量a与b的夹角为一，且旨|=2， b =1，则ab与a+b的夹角为。 3 6.设平面二过点(2,0,-1)且与平面4x-5y2z

10、二0平行，则平面二方程为 。 7设平面二过点(1, -1, 2)且与直线 0=红1二三垂直，则平面二方程为 。 32-1 8已知直线L过点(2 , -1, 2)且与平面3x 2y 2z -5 =0垂直，则直线L的方程为 9.点 M (1, 2 ,1)到平面二:3x -4y 5z *4=0 的距离为。 2 10坐标面yOz上的曲线z =：4y绕z轴旋转而得的旋转曲面的方程为 。 三、解答题： x 1 v 2 z +4 1 .求直线与平面x - 3y 2z - 5 = 0的交点和夹角 2-3-1 2已知 A( 2, -1, 2)，B(0,2,1)，C(2,3,0)，求也 ABC 所在有平面方程。

11、x 2y Z 7 = 0 3.把直线的方程改写为点向式、参数式。 -2x +y +z_1 =0 x_2yz-5xy 亠2z-3 4已知平面二过点M(-1, -2,3)且与直线:二和直线L2 : D都平行, 34612-8 求平面二方程。 5已知直线L过点P(0,1, 2)且与平面x 2y-5=0和y-3z，4=0都平行，求直线 L的方程。 6已知点M (k,1, 2)到平面二：2x _2y z 0的距离为1,求k 7.已知直线X 2y -z -7 -0与平面3x ky 5z 0垂直，求k _2x +y +z _1 =0 8指岀下方程表示的图形: x2 y2 =9 x2 y2 _4z2 =0 2

12、 2 2 x2 2 2 94 x 2 x y-z = 0 y2 z2 _2x 4y 4z =0 补充题参考答案或提示: 一、选择题 1. A 2. C 3. B 4. C 5. C 6. A 7. B 8. D 9. A 10. D 11. D 12. D 二、填空题 1. ( -2,-7, -10) 2. 2 3. 二12, 6, -4/ 4. 汉 B& =”2,3, 1 x2,1, 1 5. (a -b)( a b) a_ba ab a 2 2abI2訂 2$ b 3 .21 6. 7. 8. 4x 5y 2z -6 = 0 3x 2y -z 1 =0 x-2 _ y 1 _z -2 32

13、 9. 3X1 _4X2+51+2|72 5 .32( -4)252 10. z =4( 三、解答题： X -1 y - 2 z 亠4 1.令t代入平面方程x-3y2z-5=0得t = 2 所以交点为（5,-4,-6） 2-3-1 因为：直线的方向向量 ；-2, -3, -1:平面的法向量1, -3,2 /, 所以夹角 满足sin = cos s,n 5 .5 即夹角 =arcsin - 14 2.平面的法向量 仁aB bC =-2,3, -1杯.2,1, -1 / H i J k 3-1 4 -2 3-1 1-1 i - 2 1-1 -2 2 3 仁-2,-4j- 所以ABC所在有平面方程为

14、 -2( x _2) _4( y 1) _8( z_2) = 0 即 x 2y 4z_8 = 0。 3.直线的方向向量?= 1 2 -1 =3i j 5k , -2 1 1 得x/ y =3 4. 所以点向式为 x -1y -3 -，参数式为 5 x = 3t 1 y = t 3 ( t为参数) z =5t 平面的法向量n=si s = =-44丫 30 j 2k 在直线取一点令z = 0则x 2y -3i j 5k，n = 3i kj 5k，而 S / n，所以 k = 1。 8.圆柱面 球面 椭球面圆锥面旋转抛物面单叶双曲面 =0 2x y -1 =0 8 所以平面的方程为 /4(x 1)30(y2)2(z_3)=0，即 22x _15y - z -5 =0。 5. 直线的方向向量 二-6i 3j 直线的方程为 x y -1 z -2 -3 -63 6. 、