2.2常见曲线的参数方程

1、2.2常见曲线得参数方程第一节圆锥曲线得参数方程 一椭圆得参数方程1、中心在坐标原点，焦点在轴上，标准方程就就是得椭圆得参数方程为为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在轴上，标准方程就就是得椭圆得参数方程为为参数）2、椭圆参数方程得推导如图,以原点为圆心，为半径分別作两个同心圆，设A为大圆上得任一点，连接，与小圆交于 点B,过点分别作轴，轴得垂线，两垂线交于点。设以为始边,为终边得角为，点得坐标就就是。那么点得横坐标为,点得纵坐标为。由于点都在 角得终边上,由三角函数得定义有3当半径绕点旋转一周时,就得到了点得轨迹，它得参数方程就就是为参数）这就就是中心在原点，焦点在轴上得椭圆得参数方程。3、椭

2、圆得参数方程中参数得意义圆得参数方程为参数）中得参数就就是动点得旋转角，但在椭圆得参数方程为参数）中得参 数不就就是动点得旋转角，它就就是动点所对应得圆得半径（或）得旋转角，称为点得离心角, 不就就是得旋转角，通常规定4、椭圆参数方程与普通方程得互化可以借助同角三角函数得平方关系将普通方程与参数方程互化。 由椭圆得参数方程为参数,，易得,可以利用平方关系将参数方程中得参数化去得到普通方 程 在椭圆得普通方程中，令，从而将普通方程化为参数方程为参数，注:椭圆中参数得取值范用：由普通方程可知椭圆得范用就就是:，结合三角函数得有界性可 知参数对于不同得参数，椭圆得参数方程也有不同得呈现形式。二、双曲

3、线得参数方程1、以坐标原点为中心，焦点在轴上，标准方程为得双曲线得参数方程为为参数） 同样，中心在坐标原点，焦点在轴上,标准方程就就是得双曲线得参数方程为为参数）2、双曲线参数方程得推导如图，以原点为圆心,为半径分別作同心圆，设为圆上任一点,作直线，过点作圆得切线与轴交于 点，过圆与轴得交点作圆得切线与直线交于点。过点分别作轴，轴得平行线交于点。设为始边,为始边得角为，点,那么点因为点A在圆上，由圆得参数方程得点A得坐标为。所以“因为，所以，从而，解得，记则。因为点在角得终边上，由三角函数得泄义有，即所以点M得轨迹得参数方程为为参数）这就就是中心在原点O,焦点在轴上得双曲线得参数方程。3、双曲

4、线得参数方程中参数得意义参数就就是点M所对应得圆得半径O A得旋转角,成为点M得离心角，而不就就是OM得旋转 角通常规定，且4、双曲线得参数方程中参数得意义因为，即，可以利用此关系将普通方程与参数方程互化由双曲线得参数方程为参数），易得，可以利用平方关系将参数方程中得参数化去,得到普通方程在双曲线得普通方程中，令，从而将普通方程化为参数方程为参数）三、抛物线得参数方程1、以坐标原点为顶点,开口向右得抛物线得参数方程为为参数）同样，顶点在坐标原点，开口向上得抛物线得参数方程就就是为参数）2、抛物线参数方程得推导:如图设抛物线得普通方程为，其中表示焦点到准线得距离。设为抛物线上除顶点外得任意一点，

5、以 射线为终边得角为。当在内变化时，点在抛物线上运动，并且对于得每一个值,在抛物线上都 有唯一得点M与之对应,故可取为参数来探求抛物线得参数方程。由于点在得终边上，根拯三角函数得左义可得，即，代入抛物线普通方程可得为参数） 这就就就是抛物线（不包括顶点）得参数方程。如果令，则有为参数）当时，由参数方程表示得点正好就就杲抛物线得顶点，因此当时，参数方程就表示整条抛物线。3、抛物线参数方程中参数得意义就就是表示抛物线上除顶点外得任意一点与原点连线得斜 率得倒数。四、例题：例1、已知椭圆得参数方程为为参数），点在椭圆上，对应得参数，点为原点，则直线得斜率为 解:当时，故点得坐标为,所以直线得斜率为。

6、例2、已知椭圆得参数方程为为参数,），则该椭圆得焦距为、解:由参数方程得将两式平方相加得椭圆得标准方程为所以焦距为例3、0就就是坐标原点,P就就是椭圆为参数）上离心角为所对应得点，那么直线0P得倾斜 角得正切值就就是解;把=代入椭圆参数方程为参数），可得P点坐标为，所以直线0P得倾斜角得正切值就就是例4、已知曲线为参数），为参数）化得方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；解:,，为圆心就就是，半径就就是1得圆，为中心就就是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长就就是&短半轴长就就是3得椭圆。例5、设为抛物线上得动点，泄点，点为线段得中点，求点得轨迹方程。解:设点，令，则，得抛物线得参数方程为，则

7、动点，左点，由中点坐标公式知点得坐标满足方程组 即为参数）这就就就是点得轨迹得参数方程。消去参数化为普通方程就就是，它就就是以轴为对称轴，顶点为得抛物线。例6、在椭圆上求一点，使点到直线得距离最小，并求出最小距离。解:因为椭圆得参数方程为为参数）,所以可设点得坐标为由点到直线得距离公式，得到点到直线得距离为：其中满足于由三角函数得性质知，当时，取最小值。此时”因此，当点位于时，点与直线得距离取最小值。例7、已知抛物线.0为坐标原点，就就是抛物线上两点且，若直线得倾斜角分别为，求抛物线方 程。解:设，由抛物线参数方程可知，即故，同理知，因为所以，得抛物线方程为例8、已知两曲线得参数方程分别为与，

8、它们得交点坐标为解:，表示椭圆表示抛物线，联立得解得又因为，所以它们得交点坐标为例9、如图所示，图2 12设为双曲线上任意一点,过点作双曲线两渐近线得平行线,分别与两渐近线交于A.B两点,试求平行四边形得而积。解:双曲线得渐进线方程为，不妨设为双曲线右支上一点，其坐标为，则直线得方程为将代入，解得点A得横坐标为同理可得，点得横坐标为，设相交于点，求点得轨迹方程。M.A.B得坐标分别为例10、如图所示，就 顶点得两动点，且，并与 解：根据条件，设点 ，则，贝此所以平行四边形得而积为因为，所以以，即 线，即：,因为,所以，即，所因为，且三点共所以化简得将代入，得到，即轨迹方程。随堂练习1、一颗人造

9、地球卫星得运行轨道就就是一个椭圆，长轴长为155 6 5km,短轴长为1544 3km,取椭圆中心为坐标原点，求卫星轨道得参数方程。解：所以参数方程为2、已知椭圆上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点得连线分别与轴交于两点,0为椭圆 得中心，求证:为定值解:设，直线方程：，令，则所以直线方程:，令，则所以所以即为定值。3、求证:等轴双曲线上任意一点到两渐近线得距离之积就就是常数。证明：设就就是等轴双曲线，就就是双曲线上任意一点，它到两渐近线得距离分别就就是 所以就就是常数。4、经过抛物线得顶点0任作两条互相垂直得线段，以直线得斜率为参数，求线段得中点M得 轨迹得参数方程。解：设方程：，则方程

10、：由，求得，同理可得所以中点M得参数方程为为参数）5、设曲线为参数）与轴交点为。点在曲线上，则所在直线得斜率之积为（）A、B、C、D、解:曲线得普通方程为，与轴得交点坐标为，又设曲线上任意一点，则得斜率得积为选A6、过点且与曲线为参数）有相同焦点得椭圆得方程就就是（）A、 B、 C、 D、解:曲线为参数）得普通方程为，把点代入选项可知应选A.再验证一下焦点就就是否为7、中心在原点，准线方程为，离心率为得椭圆方程就就是（）A、 B、 C、 D、解：由解得，选C8、椭圆为参数）得两个焦点坐标就就是（）A、 B、 C、 D、解:由椭圆为参数），可知，且焦点在轴上，焦点坐标为，选氏9、点到曲线（其中，

11、参数）上得点得最短距离就就是（）A、0B、1C、D、2解:方程表示抛物线得参数方程，其中，设点就就是抛物线上任意一点，则点到点得距离所以最短距离为1 ，选10、双曲线为参数）得两条准线方程分别就就是、解:双曲线得普通方程为.所以双曲线得焦点在轴上，且中心在原点，对称轴为轴，轴，所以两条 准线方程为，且，所以准线方程为。11、椭圆中斜率为1得平行弦得中点轨迹方程就就是解:设斜率为1得平行弦得方程为，代入椭圆方程可得。，所以方程得两根满足，则中点满足消 去得到（椭圆内部分），即为斜率为1得平行弦得中点轨迹方程。第二节直线得参数方程、知识点；1、经过点，倾斜角为得直线得普通方程就就是如图所示在直线上

12、任取一点，则设就就是直线得单位方向向量（单位长度与坐标轴得单位长度相同），则因为,所以存在实数，使，即于就就是，即因此，经过点，倾斜角为得直线得参数方程为为参数）2、因为，由，得到，因此，直线上得动点到左点得距离，等于为参数）中参数得绝对值。3、当时,，所以，直线得单位方向向量得方向总就就是向上。此时，若，则得方向向上;若，则得 方向向下;若，则点与点重合。4、直线得一般参数方程转化为标准得参数方程已知直线得参数方程为为参数），由宜线得参数方程得标准形式为参数）可知，参数得系 数分别就就是貝倾斜角得余弦值与正弦值，二者得平方与为1,故可将原式转化为为参数） 再令，由直线倾斜角得范用让在范囤内取

13、值，并且把瞧成标准方程中得参数，即得标准形式得 参数方程式为为参数）5、直线参数方程得应用设过点，倾斜角为得直线得参数方程就就是为参数） 若就就是上得两点，它们所对应得参数分别为，则（1）两点得坐标分别就就是，（3）线段得中点P所对应得参数为，则，中点P到定点得距离（4）若为线段得中点，则（5）曲线上有两点A.B关于直线对称，可设A B中点为，则直线AB得参数方程为，英中，再利 用解之。二、例题例1、直线为参数）上与点距离等于得点得坐标就就是解:根据距离公式可得，解得，代入可得或例2、直线过点，倾斜角为,且与直线交于则得长为-解：直线得方程为代入，解得=例3、已知直线得斜率，经过点，点在直线上

14、，以得数量为参数,则直线得参数方程为 解:由参数得几何意义可知，直线得参数方程可以写成标准形式为参数）其中为直线得倾斜 角。因为直线得斜率为，所以直线得倾斜角，所以所以直线得参数方程为为参数）例4、设曲线得参数方程为为参数）,直线得方程为，则曲线C到直线得距离为得点得个数为（）A、1B、2C、3D、4解：由曲线C得参数方程得对应得圆得圆心坐标为，半径，那么C到直线得距离，那么直线与曲 线C相交,结合图像可知C上到距离为得点有2个。例5、设极点与原点重合，极轴与轴正半轴重合。已知曲线得极坐标方程就就是，曲线得参数 方程为为参数），则两曲线公共点得个数为解：将两曲线方程化为直角坐标方程，得,，两直

15、线平行或重合，所以公共点得个数为0或无数。 填：0或无数例6、已知直线与圆为参数），试判断它们得公共点得个数解：圆得方程可化为，其圆心为,半径为2,圆心到直线得距离为，所以直线与圆相交，交点个数 为2、例7、设直线过点，倾斜角为（1）求得参数方程；（2）设直线，与得交点为，求解:由题意得为参数），即为参数）（2）点在上，只要求出点对应得参数，则就就就是点到点得距离，把得参数方程代入中，得，所以，即，为正值,根据参数得几何意义，知例8、直线为参数）与圆为参数）交于A.B两点，求得长解:若求得长度，显然要根据直线得参数方程得参数得几何意义，把圆得方程由参数方程化为 普通方程。由圆得参数方程知圆得普

16、通方程为所以将直线方程代入圆得方程，得即,所以由知AB = V22 + l |r,-r2| =J -却2 =丘例9、已知点就就是圆上任意一点，欲使不等式恒成立，求得取值范I羽解：圆得参数方程为，则有，得最大值为，由于恒成立，即例10、在圆上求两点，使它们到直线得距离分别最短与最长。解:将圆得方程化为参数方程为参数），则圆上点得坐标为，它到所给直线得距离为，其中。故 当,即时，最长，这时，点A得坐标为：当，即时,最短，这时，点B得坐标为例11、已知直线与抛物线交于A.B两点,求线段A B得长与点到A.B两点得距离之积解:因为直线过泄点，且得倾斜角为,所以它们得参数方程就就是为参数）即为参数）把它

17、代入抛物线得方程，得，解得由参数得几何意义得 ，例12、经过点作直线，交椭圆于A.B两点。如果点M恰好为线段A B得中点，求直线得方程 解：设过点得直线得参数方程为为参数）代入椭圆方程，整理得由得几何意义知,因为点M在椭圆内.这个方程必有两个实根，所以,因为点M为线段AB 得中点，所以即，于就就是宜线得斜率为，因此，直线得方程就就是,即三、练习题1、直线与圆为参数)得位巻关系就就是()A、相切B、相离C、直线过圆心D、相交但直线不过圆心解:因为，所以直线与圆相交，选D2、经过点且倾斜角为得直线,以左点到动点P得位移为参数得参数方程就就是()A、 B、C、 D、解:根据直线参数方程得左义,易得，

18、即选D3、参数方程为参数)所表示得曲线就就是()A、一条射线B、两条射线C、一条直线D、两条直线解:因为，即或，故就就是两条射线。B4、曲线为参数)上得点到两坐标轴得距离之与得最大值就就是()A、B、C、 1D、解:由题意得，下面只解得情况,其她情况类似，当时”故距离得最大值就就是，选D5、曲线方程为参数)上得点与泄点距离得最小值就就是解：最小距离6、对任意实数，若直线与圆恒有公共点，则得取值范囤就就是解:由题意得点恒在圆内，由，则7、设直线经过点、倾斜角为(1) 求直线得参数方程；(2) 求直线与直线得交点到点得距离：(3) 求直线与圆得两个交点到点得距离得与与积解：(1)直线得参数方程为为参数)(2)将直线得参数方程中得代入，得,所以，直线与直线得交点到点得距离为(3) 将直线得参数方程中得代入，得设该方程得两根为，则，可知均为负值，所以，所以两个交点到点得距离得与为，积为1 0、8、已知经过点，斜率为得直线与抛物线相交于A.B两点,设线段A