一次不定方程的解法

1、精心整理 一次不定方程的解 我们现在就这个问题，先给出一个定理 定理如是互质的正整数是整数，且方，cby ax 有一组整数解则此 方程的一切整数解可以表示为 yx,oo其中3, 1, 2,t 0,证因为是方程 的整数解，当然满足y,xooc ax byoo因此 . cby at) ax ba(x bt) (y oooo 这表明，也是方程的解.at y x xbtyoo设 是方程的任一整数解，则有y,xcaxby得 )y( )x(ax by oo 精心整理. 精心整理 t是整数.将，其中代入，即得由于，所以，即 atyy y at yya yl) ,(abooo因此可以表示成，的形式，所以， y

2、 y atx x x x btyy x x btatbty,xooooo 表示方程的一切整数解，命题得证. 有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解. 例1求的整数解.715y 11x将方程变形得1解是这个方程的的倍数.由 观察是整数，所应是 因211组整数解，所以方程的解先考，通过观 察易得解11114所以 (7711,，从而可取21 x 28,yoo可见，二元一次不定方程在无约束条件 的情况下，通常有无数组整数解，由于 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包 含的全部解是t 一样的.将解中的参数做适当代换，就可化为同一 形式.求方程的非负整数解.2例

3、9O22y 6x得因为，所以方程两边同 除以解 2 (6,22)2 45 3x 11y 由观察知，是方程 1 yx 4,11 1 11y x3 的一组整数解，从而方程的一组整数解为 由定理，可得方程的一切整数解为精心整理. 精心整理 因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有 180 11t 045 3t 0 由于是整数，由得，所以只有两种可 能. 16 t 15,tt16t 15 当；当.所以原方程的非负整数解是 3 4,yy 0 t16,xt 15,x 15,x 415x， y 3y 0 求方的所有正整数解 211 分析这个方程的系数较大， 用观察法去求其特殊解比较困难， 碰到这 种情况们可

4、用逐步缩小系数的方法使系数变小， 最后再用观察法求得 其解 解用方 211的最小系除方程的各项，并移项 211y30 2y x 77y 53 .化简得到是整数，故因为也是整数，于是 uyx,3 7u5y 7 3 7u5y3 2u (整数)，由此得 令 v5 35v 2u u 1u 1 是方程的一组解.将代入得，再将由观察知代入得 2 2y y v 1v 1 x 25x 25 19t t 为整数 ，所以它的一切解为 .于是方程 有一组解 025x y 2y 2 7t 0 由于要求方程的正整数解，所以 解不等式，得只能取.因此得原方程的正整数解为 0,1t 精心整理. 精心整理 x 25x 6 ，

5、 y 2y 9 当方程的系数较大时， 我们还可以用辗转相除 法求其特解，其解法结合例题说明. 求方程的整数解 4 例 25 107y37x 解 为表示，我们把上述辗转相除过程回代， 1031 由此可是方的一组整 数解于 2610322652 x22600 是方的一组整数解 23107 所以原方程的一切 整数解 某国硬币分分两种， 问用这两种硬币支分货款， 有多少种不 例 14 的方 法 解设需枚分，枚分恰好支付分，于是 xy571421425 y 7x所以 由于，所以，并且由上式知因为，所以，从而 1xx 1)5 52(12) (5,20 x x7 142， 所以的非负整数解为 1,6,11,

6、16 xx 1x 6x 11x 16， y 27y 20y 13y 6 所以，共有 4种不同的支付方式 说明 当方程的系数较小时， 而且是求非负整数解或者是实际问题时， 这时候的解的组数往往较少， 可以用整除的性质加上枚举， 也能较容 易地解出方程 多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程 精心整理 精心整理 求方程的整数解 6 例 1000 y 5z9x 24 解设，即，于是于是原方 程可化为 t8y 3t 3x 9x 24y1000 5z3t3x 8y t 3t 5z 1000 用前面的方 法可以求得的解为 x 3t 8 (是整数)u y t 3u的解为 200是整数) 100，得消去 1

7、600都是整数 200100年以前，我国古代数学 家张丘建在他编写的张丘建算经里，曾 1500 大约 提出并解决 了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例.只个钱 买小鸡每个钱三只.用母鸡每只三个钱，今有公鸡每只五个钱，7例 100100鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？只，由题意列方程 组解设公鸡、母鸡、小鸡各买z,x,y化简得300 z 15x 9y 得 200y 14x 8得，解即1 100 x7 4y 4x7 y的一个特解为于是 1004x7 y精心整理. 精心整理 由定理知的所有整数解为100 x 4y7由题意知，所以 100 y,z0 x,4 25 t 28 7 解得 24 28 t14_ 77 4 二 28t 25 _ 7 还应满足由于是整数，故只能取，而且 zy,x,26,27,28