中国教育学会中学数学教学专业委员会数学周报杯2010年全国初中数学竞赛试题

1、中国教育学会中学数学教学专业委员会 数学周报杯” 2010年全国初中数学竞赛试题 题号 -一一 二二二 -三 总分 15 610 11 12 13 14 得分 评卷人 复查人 答题时注意: 1 用圆珠笔或钢笔作答； 2 解答书写时不要超过装订线； 3草稿纸不上交. 一、选择题(共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为 A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代 号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分) 1. 若a =20, b=10,则必的值为(). b cb +c 1121110 (A)三(B) 21( C)兰 211121 1 2 (D) 2

2、10 11 2. 若实数a, b满足一a -ab b 2 = 0，则a的取值范围是 2 (A) a4(C) a4(D) 3. 如图，在四边形 ABCD中，/ B= 135 / C= 120, AB=2 后,BC=4-2“ , CD = 4庖, ( ). -2 a2时, (取整符号a 1表示不超过实数a的最大整数，例如2.6卜2 ,0.2丄0)，则x2010 等于(). (A) 1(B) 2(C) 3(D) 4 (第 5题) 5 .如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A (1, 1), B (2, - 1), C (-2,- 1), D (- 1, 1) . y轴上

3、一点P (0, 2)绕点A旋转180得点 P1,点P1绕点B旋转180得点P2,点P2绕点C旋转180 得点P3,点P3绕点D旋转180得点P4,，重复操作依 次得到点Pl, P2,，则点P2010的坐标是(). (D) (0, 2) (A) (2010, 2)( B) (2010, -2 )(C) (2012, -2 ) 二、填空题(共5小题，每小题7分，共35分) 6. 已知 a= -.5 1,则 2a3 + 7a2- 2a- 12 的值等于 7. 辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速 行驶.在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间.过 了 10

4、分钟，小轿车追上了货车；又过了 5分钟，小轿车追上了客车；再过t分 钟，货车追上了客车，则t=. 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是 O (0, 0), A (0, 6), B (4, 6), C (4, 4), D (6 , 4), E (6 , 0).若直线 I 经过点M (2 , 3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线I的 函数表达式是. (第 8 题)(第 9 题) 9. 如图，射线AM , BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作 BE的垂线AC分别交BE, BN于点F , C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D.若 A

5、E CD = CF，贝U 二 AD 10. 对于i=2, 3,，k,正整数n除以i所得的余数为i -1.若n的最小值 n。满足2000 ： n。：: 3000，则正整数k的最小值为 三、解答题(共4题，每题20分，共80分) 2k 11 (A).如图，抛物线y =ax bx (a 0)与双曲线y相交于点A, B.已 x 知点A的坐标为(1, 4)，点B在第三象限内，且 AOB的面积为3 (0为坐标 原点). (1) 求实数a，b，k的值； (2) 过抛物线上点A作直线AC / x轴，交抛物 线于另一点C,求所有满足 EOCsAAOB的点E 的坐标. 11 (B).设实数a，b满足： 2 2 3

6、a -10ab 8b 5a -10b =0， 求u = 9a2 72b 2的最小值. 12 (A).如图， ABC为锐角三角形，P, Q为边BC上的两点， ABP和 ACQ的外接圆圆心分别为 Oi和02.试判断BOi的延长线与CO2的延长线的交 点D是否可能在 ABC的外接圆上，并说明理由 12( B).如图， ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段 PC上的一点，BE和CF分别是 ABD和厶ACD的外接圆直径，连接EF.求证: tan PA“IC - 13 (A).实数a, b使得关于x, y的方程组 xy 一 x2 = 1 , Ixy2 ax2 bx a = 0 有实数解(x

7、, y). (1)求证：y 2; (2)求a2+ b2的最小值. 13 ( B).求满足2p2 p二m2-2m的所有素数p和正整数m. 14 (A).从1, 2,，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数, 使得所取出的数中任意三个数之和都能被 33 整除？ 14 (B).将凸五边形ABCDE的5条边和5条对角线染色，且满足任意有公 共顶点的两条线段不同色,求颜色数目的最小值 . 中国教育学会中学数学教学专业委员会 数学周报杯” 2010年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题 1. D 解：由题设得 a+1 a b b 20 1210 b c_1 C1 丄11 . b10 2.

8、C 解：因为b是实数，所以关于b的一元二次方程 的判别式 2 1 b -aba 2 = 0 2 2 1 =(-a)2 -4 1 (a 2) 0, 2 解得a4. 3. D 解：如图，过点A, D分别作AE, DF垂直于 直线BC,垂足分别为E, F. 由已知可得 BE=AE=、6 , CF = 2 2 , DF = 2 .6 , 于是 EF= 4+6 . 过点A作AG丄DF，垂足为G.在RtAADG中，根据勾股定理得 AD 二.（4 、一6）2 （、：6）2（2. 24）2 = 2 2.6. 4. B 解：由 Xi =1 和 x =Xk 1 41 4丿 Xi =1 ,*2=2 ,X3 =3 ,

9、X4 =4 , X5 =1 ,X6=2 ,x7=3 ,x8 =4 , 因为 2010=4X502+2,所以 x2010 =2. 5. B 解：由已知可以得到，点R , P2的坐标分别为（2, 0）, （2, _2）. 记 P2G2,，其中 a2, b2 - -2 . 根据对称关系，依次可以求得： F3(-4-a2, 2 b2),P4(2a2,4b2),F5(-a2 , - 2b2),P6(4a2 ,b2) 令P6（a6, b2），同样可以求得，点P0的坐标为（4*6,b2）,即R（ 4 2p,b2）, 由于2010=4 502+2，所以点P2010的坐标为（2010, -2 ）. 、填空题 6

10、. 0 解：由已知得（a+ 1）2= 5,所以a2 + 2a= 4,于是 2a3 + 7a2 2a 12 =2a3 + 4a2 + 3a2 2a12 =3a2 + 6a 12= 0. 7. 15 解：设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、 客车的速度分别为a, b, c （千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得 15 a -c =2S , x b -c 二 S. 由，得30（ b -c） S,所以，x=30. 故 t =30-10-5=15 (分). c111 8. y x+ 33 解：如图，延长BC交x轴于点F;连接OB,AF;连接CE, DF，且相交于点N

11、. 由已知得点M （2, 3）是OB, AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心, 所以直线I把矩形ABFO分成面积相等的两部分.又因为点（5,2）是矩形CDEF （第8题） 的中心，所以， 过点N （5, 2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分. 于是，直线MN即为所求的直线I . 设直线I的函数表达式为y = kx b，则 2k+b =3, 5k b 二 2, 解得 kJ, 3 b. 3 故所求直线1的函数表达式为“十罟. 9. 解: 见题图，设 FC 二 m, AF 二 n .因为 RtAAFBsRtAABC, 所以 A B2 = A F A.C 又因为FC= DC= AB,所以 m

12、2 = n(n m),即 （卫;2_ 1 0 m m 解得卩二士，或n 口（舍去）. m 2m 2 又Rf AFE s Rt CFB，所以羞=芝讣于 即各4 AD 2 10. 9 解：因为n+1为2,3,川，k的倍数，所以n的最小值g满足 no 12,3,川，k , 其中2 3 III，k表示2,3 H|, k的最小公倍数. 由于 12,3 II, 8 1-840,2,3,1,9 I-2520, 2 3 l|, 10 =2520, 12,3,川，11 =27720, 因此满足2000 :：: n0 : 3000的正整数k的最小值为9 . 解得m 4(t 1) t 4 4 t =m n, 二 m

13、t n, 于是，直线AB与y轴的交点坐标为 1-t =3 , 1 4(t 1) 11 (A).解： k (1)因为点A (1, 4)在双曲线上，所以k=4.故双曲 x 线的函数表达式为 4 y . x 三、解答题 设点B(t, ),tc0, AB所在直线的函数表达式为 t y 二 mx n ,贝U有 整理得 2t23 - 20 解得t = -2，或t = 1 (舍去).所以点B的坐标为(-2 , -2 ). 2 因为点A, B都在抛物线y =ax2，bx (a -0)上，所以 a b = 4, 4a-2b=2, 1 a = 1, 解得 ，(10分) lb =3. (2)如图，因为AC/ x轴，

14、所以C ( -4, 4), 于是CO = 4 2 . 一CO 又BO=2、2，所以而土 设抛物线y =ax2bx (a 0)与x轴负半轴相交于点D,则点D的坐标为 (-3, 0). 因为/ COD = / BOD= 45，所以/ COB=90 . (第 11 (A)题) (i)将厶BOA绕点O顺时针旋转90，得到 BOA,.这时，点B (-2 , 2) 是CO的中点，点A,的坐标为(4, -1). 延长OA,到点Ei，使得OEi = 2OA,，这时点巳(8, 一2)是符合条件的点. (ii)作厶BOA关于x轴的对称图形 BOA2，得到点A2( 1,4 )；延长OA2 到点E2，使得OE2 =

15、2OA2，这时点E2 (2, -8)是符合条件的点. 所以，点E的坐标是(8,-2)，或(2, -8 ). (20 分) 11(B).解：由 2 2 3a -10ab 8b 5a 10b =0 可得 a -2b 3a-4b 5 =0， 所以 a -2b = 0 ,或 3a -4b 5 = 0. (i)当 a -2b =0时， (5 分) 2 2 1 2 u =9a2 +72b+2=36b2 +72b + 2=36(b+1) -34 , 于是b = -1时，u的最小值为-34 ,此时a = -2 , b = -1 (15 分) (ii )当 3a-4b 5 = 0时, 2 2 0时，y x 2;

16、当 x 0 时，yw -2，故 （5 分） (2)将x2二xy -1代入方程，得x(y2 - ay *)=0，所以 y2 ay b 二 0 . 因为方程组有实数解，所以方程 y2 + ay+ b=0在y w - 2，或y2的范围内 至少有一个实根 -a - a -4b 4-a , 或 a2 -4b 4 a , 即 2a b 4 , 或 2a -(b 4). 当 0, 即卩 b -4时，2a b+4 , 由此得 a2 2b 4 , 4 22、5|2542|16、16 a + b一b + 2b+ 4 (b + ) +, 44555 4 8 当b -时，上式等号成立，此时a -. 5 5 若b 4

17、： 0,即b ： -4时，对于满足2a b 4，或2a 156. (15 分) (ii)当 a 4 时，a2 + b2 16. 5 综上可知，a2+ b2的最小值为16. 5 13 ( B).解：由题设得 (20 分) p(2p 1)=(m-4)(m 2), 所以 P (m-4)(m 2), 由于p是素数，故p (m -4)，或p (m 2). (5 分) (1)若 p (m -4)，令 m -4 = kp , k 是正整数，于是 m 2 kp , 3p2 p(2 p 1) = (m -4)(m 2) k2p2 , 故k2 11. 33 w20161, 33 故 dn 60.所以，nW61. 综上所述，n的最大值为61. （ 20分） 14 （B）.解：由于顶点A是