二次含参问题经典

1、不等式恒成立、存在性问题(一元二次不等式) 一、知识、方法回顾 (一)一元二次不等式 1. 定义：含有一个未知数且未知数的最高次数为 的不等式叫一元二次不等式. 2. 解法：一般地，当a 0时 判别式b2 4ac 方程ax2 bx c 0的根 函数 y ax2 bx c 的图象 2 ax bx c 0的解集 2 ax bx c 0的解集 (二)解分式不等式的常见方法: 法一：符号法则 g(x) f(x) g(x) 其它情况类比分析，结论如下: f(x) g(x) 法二：化分式不等式为整式不等式 分式不等式誥0由符号法则可知, f(x)、g(x)同号，从而f (x) g(x) 0，其它情况 类比

2、分析，结论如下：上勺0 f(x) g(x) 0 ; g(x) f(x) g(x) f (x) g(x) 0 . f(x) ； g(x) (三)典型例题 例1、解下列不等式: (1) 2 x2 7x 2 10 ； (2) x2 |x| 6 0 ； (3) 2x ax2 (2a 1)x 20 (a R) ；(4)也坐一-2 (其中 a 0). x 1 2.设 f (x) ax2 (a 1)x 1 (1)解关于x的不等式f(x) 0 ； (2)若对任意的a 1,1，不等式f(x) 0恒成立，求x的取值范围. 三、不等式的恒成立问题 例1.已知不等式x2 2ax 1 0对x 1,2恒成立，其中a 0

3、,求实数a的取值范围 小结：不等式恒成立问题的处理方法 1 ； (4) 1 0 x 1 x 7 x 练习1.关于x的不等式ax2 bx c 0的解集为( ,)(, ),其中 0,则不等 式 cx2 bx a 0解集为 2.若不等式ax2 bx 2 0的解集为(二丄片，则a b的值为 2 3 k2 i 0对一切实数x恒成立，贝y实数k的范围为 3.若不等式x2 2x 4. 设 f (x) ax2 (a 1)x 1 (1)解关于x的不等式f(x) 0 ； (2)若对任意的a 1,1，不等式f(x) 0恒成立，求x的取值范围. 二、含参不等式解法(一元二次不等式) 1. 二次项系数为常数 例1解关于

4、x的不等式：x2 (a 2)x a 0. 2. 二次项系数含参数 例2解关于x的不等式：ax2 (a 1)x 1 0. 例3解关于x的不等式：ax2 ax 1 0. 练习：1.解关于x的不等式 (1) (a2 1)x2 3ax 3 0(2) x2 a - x 1 0 ； a 1、转换求函数的最值: (1)若不等式A f X在区间D上恒成立,则等价于在区间D上A f f X minf f x的 下界大于A； (2)若不等式B f x在区间D上恒成立，则等价于在区间D上B f X max1 f x的 上界小于B。 练习1.已知f x % 2x a对任意x 1, ,f x 0恒成立，试求实数a的取值

5、范围。 x 2、分离参数法 (1)将参数与变量分离，即化为g f x (或g f x )恒成立的形式； (2)求f x在x D上的最大(或最小)值； (3)解不等式gf x max (或g f x min),得 的取值范围。 练习1.已知函数f (x) ax4x x2 ,x (0,4时f (x) 0恒成立，求实数a的取值范围。 2.已知二次函数f(x)ax2 x，若x 0,1时，恒有f(x) 1,求a的取值范围。 3、数形结合法 (1) 若不等式f x g x在区间D上恒成立，则等价于在区间 D上函数y f x和图 象在函数y g x图象上方； (2) 若不等式f x g x在区间D上恒成立，

6、则等价于在区间 D上函数y f x和图 象在函数y g x图象下方。 例3.设f(x) 、. x2 4x , g(x) 4x 1 a,若恒有f(x) g(x)成立，求实数a的取值范 3 围 练习1.当x (0,1)时，不等式x2 logaX恒成立，求a的取值范围. 2 4、变换主元法 例对于满足0 p 4的一切实数，不等式x2 px 4x p 3恒成立，试求x的取值范围。 练习1.对任意a 1,1，不等式x2 (a 4)x 4 2a 0恒成立，求x的取值范围。 2.设函数h(x) a x b，对任意a 丄,2，都有h(x) 10在x 丄,1恒成立，求实数b的 x24 取值范围 练习题 1当x

7、1,2时，不等式x2 mx 4 0恒成立，则m的取值范围 2. 当x (1,2)时，不等式(x-1) 2 1 ), 2 g(x) . ( 1)求函数y f (x)的最小值m(a)； x 1 (2)若对任意X1、X2 0,2 , f(X2)g(xj恒成立，求a的取值范围. 四、不等式的存在性问题 若在区间D上存在实数x使不等式f xk成立，则等价于在区间D上f x max k ； 若在区间D上存在实数x使不等式f xk成立，则等价于在区间D上的f x min k . 例1.若关于x的不等式x2 ax a3的解集不是空集，则实数a的取值范围是. 2.已知函数f x x m，函数g x x f x

8、m2 7m . (1)若m 1,求不等式g x 0的解集； (2)若对任意X1,4 ,均存在x23,使得f为g X2成立，求实数m的取值范 围. 练习1.若存在正数x使2X(x a) 1成立，则a的取值范围是() A. (,) B. ( 2,) C. (0,) D. ( 1,) 2.设a R ,二次函数f(x) ax2 2x 2a.若f (x) 0的解集为A , B x|1 x 3 , AI B ,求实数a的取值范围 五、二次方程根的分布 1 因为二次函数，二次方程，二次不等式之间有着密切的联系，它们之间相互转化, 二次方程的根转化为方程中的系数满足不等式，而二次不等式的问题又可转化为二 次函

9、数问题； 2 一元二次方程根的分布问题，表面上是方程问题，实际上往往是二次函数的图像 性质问题，它应用上的广泛性和灵活性是高考的热点。根据初中所学知识，已知方 程的根可以确定方程中字母系数的值，同理已知方程根的范围也可以确定方程中字 母系数的范围，对于一元二次方程可结合图像，函数与方程根的关系，将问题转化 为解关于字母系数的不等式组的问题。 3方法指南: 设实系数的一元二 0 取值范围 2 .已知方程x2 3.已知二次方程 0 2 -2 Xi 1X2 , 勺取值范 ，且一根大于一根 _7 300的两个实数根春 X 围。 2求a的取值范围_ J/ X2，且满足 x 4.实数k为何值时，方程X2 kx 2 0的两个根一个在（-1,1 ）