2020届高三数学精准培优专练二十几何概型(理科)教师版

1、2020届高三3培优点二十几何概型 、长度类几何概型又 a 0,200a 4，其构成的区域长度为例1：若a是从区间0,20中任取的一个实数，则函数yx2 ax 4无零点的概率是（)A 0.3B 0.2C.0.1D 0.4【答案】B【解析】2方程x ax 40无实解，则2 a160 ,即(a 4)(a4)04 a4,从区间0,20中任取一个实数a构成的区域长度为20，则方程x2 ax 40无实解的概率是 0.2 故选B.20二、面积类几何概型例2: （1 ）图形类几何概型 例题2-1 :如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是（）1A B 4【

2、答案】B【解析】设正方形的边长为由几何概型的概率公式得 P2n n ， -，故答案为B 2a 2a 4(2)线性规划类几何概型小明一家人在下午例2-2 :小明一家订购的晚报会在下午5:30 6:30之间的任何一个时间随机地被送到,6:00 7:00之间的任何一个时间随机地开始晚餐. 你认为晚报在晚餐开始之前被送到和晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大？ 晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？【答案】见解析；-.8【解析】 建立如图所示的坐标系.方I1IIII II IiH6 t利瓏衿图中直线x 6 , x 7 , y 5.5, y 6.5围成一个正方形区域 G ,该试验的所有结果与区域 G内的点

3、(x, y)对应，由题意知，每次结果出现的可能性是相同的，是几何概型. 作射线y x(x 0) 晚报在晚餐前送达即y x,因此图中阴影部分表示事件A: “晚报在晚餐前送达”.而G中空白部分则表示事件 B : “晚报在晚餐开始后送到”.由图知事件 A发生的可能性大. 易求G的面积为1而g的面积为-，由几何概型的概率公式可得P(A)-.8 8(3 )利用积分求面积若向矩形OABC内例2-3:如图，矩形OABC的四个顶点依次为 0(0,0),人(亍,0) , B(,1), C(0,1), 记线段OC、CB以及y sinx(0 x 空的图象围成的区域(图中阴影部分)为 ， 任意投一点M，则点M落在区域

4、 内的概率为()A. n2【答案】【解析】阴影部分的面积是(17t点M落在区域内的概率Asin x)dx(x COSX)|o7t-，故选 n7tn21，矩形的面积是7t三、体积类几何概型例3 :已知P , E , G，F都在球面C上，且P在 EFG所在平面外,PEEF , PE EG ,PE 2GF 2EG 4，EGF 120，在球面C内任取一点，则该点落在三棱锥P EFG内的概率【答案】_632 n【解析】如图，在三角形EGF中，由已知可得EG GF 2,EGF 120，可得 EF 2.3 ,3 ，3设三角形EFG的外接圆的半径为r，由 2r，可得rsin 1201再设 EGF的外心为G1，

5、过G作底面EGF的垂线GQ，且使GQ - PE 2，连接OE ,2则2.2为三棱锥P EFG的外接球的半径,则球的体积为V 43n (2 2)3 宁 n，VP EGF 31 2 2 sin1204 4 32632 n4 3则该点落在三棱锥P EFG内的概率为3 -64 72n3对点增分集训、选择题1已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟.则乘客到达站台立即乘上车的概率是（1A.10【答案】A1C.11【解析】由于地铁列车每10分钟一班，列车在车站停 1分钟,乘客到达站台立即乘上车的概率为P ，故选A .102.下图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我们古代数学家赵爽为证

6、明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作周髀算经中有详细的记载.若图中大正方形ABCD的边长为4，小正方形的边长为2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷n个点，有m个点落在中间的圆内，由此可估计n的所似值为16mA.n8mB .nC. n2mD .n【答案】A【解析】 大正方形的边长为4，总面积为16，小正方形的边长为 2，其内切圆的半径为1,面积为n；则inm，解得n回故选A .nn2 2n的值过3已知椭圆 冷 打 1（a b 0）的面积公式为Snab，某同学通过下面的随机模拟实验估计a b2 2x y椭圆E :1的左右焦点Fi , F2分别作与x轴垂直的直线与椭圆 E交

7、于A , B , C , D四点，随机123在椭圆E内撒m粒豆子，设落入四边形 ABCD内的豆子数为n，则圆周率n的值约为（）A B 卫n3m【答案】A【解析】根据题意得到n 虫，S四mTab2.3mmCD nn4b2cax2将方程121中的a , b , c代入等式中得到n4某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为红灯，则至少需要等待 15秒才出现绿灯的概率为（）753A B C.-108840秒若一名行人来到该路口遇到310【答案】B【解析】红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯,一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，255至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为.

8、故选B 4085分别以正方形 ABCD的四条边为直径画半圆,点，则该点落在阴影区域的概率为（）重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一4 nA.-2【答案】B【解析】设正方形的边长为2，那么图中阴影区域的面积 Si 8 （-4 n 2） 2 n 4,则该点落在阴影区域的概率2n 44n 2T2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（）2321A.-B .C.D .-5535【答案】A6.而正方形的面积S24，所以若向该正方形内随机投一点,【解析】公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，当乘客在上一辆车开走后 3分钟内到达候车时间会超过 2分

9、钟,乘客候车时间不超过 2分钟的概率为P5 3255 .7从区间1,8上任意选取一个实数m ,2则双曲线xy2m1的离心率大于2的概率为2 A.73 B .74C.-75 D .7【答案】D【解析】由题意得a 1, bm , c.1 m ,ce .1 m 2，解得m 3，即3 m 8, P8 35a8 17&如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，已知小正方形的外接圆恰好是大正 方形的内切圆，现在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（【答案】B【解析】设大正方形的边长为1，其内切圆的直径为1，则小正方形的边长为所以大正方形的面积为 1,圆的面积为n，小正方形的面

10、积为442 2S （尹16则阴影部分的面积为 S2 S S,4所以在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率S2nP - 1 149.欧阳修卖炭翁中写道：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见 行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为1.5cm的圆，中间0.5cm的正方形孔，若你随意向钱上滴一滴油，则油（油滴大小忽略不计）正好落入圆孔中的概率为（4 nC.-9【答案】A【解析】由题意得，正方形的面积0.52-，铜钱的面积49n,16则油正好落入圆孔中的概率P149n10.已知P是厶ABC所在平面内一点,uuuPB二、填空题mur urnPC

11、 2PA 0,现将一粒黄豆随机撒在 ABC内，则黄豆落在 PBC内的概率是1【答案】丄2【解析】以PB , PC为邻边作平行四边形uuu uuuPBDC，贝U PB PCUULTPD ,uuu uuu2PA，得 PDuuu2PA ,1所以S+c产ABC，所以将一粒黄豆随机撒在 ABC内，黄豆落在 PBC内的概率为SA PBCSa ABCUUU UUU UUTUUU UULT因为 PB PC 2PA 0 ,所以 PB PC1由此可得，P是厶ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC距离的211 下列关于概率和统计的几种说法: 10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15,

12、17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为 a ,中位数为b，众数为c,则a, b , c的大小关系为c a b ； 样本4,2,1,0, 2的标准差是2 ；S1 在面积为S的 ABC内任选一点P，则随机事件“ PBC的面积小于”的概率为-；33 从写有0,1,2丄,9的十张卡片中，有放回地每次抽一张，连抽两次，则两张卡片上的数字各不相同的9概率是10其中正确说法的序号有【答案】【解析】 对于，由题意原 数据为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，故可得该组数据的平均数a 14.7 ,中位数b 15，众数为c 17,所以c b a，故不正确；对于，

13、由题意得样本的平均数为1,故方差为丄(4 1)2 (2 1)2 (1 1)2 (0 1)2 ( 2 1)2 4 ,5所以标准差为2，故正确；S1对于，如图，作出 ABC的高AO,当 PBC的面积等于一时，OP -OA，要使 PBC的面积小33于S，则点P应位于图中的阴影部分内，由题意可得Sa aef (2)2S -S，故阴影部分的面积 -S ,3399S|s 5所以由几何概型概率公式可得 PBC的面积小于 ”的概率为P 1，故不正确；3S9对于，由题意得所有的基本事件总数为10 10 100个，事件“有放回地每次抽一张，连抽两次，则两张卡片上的数字各不相同”包含的基本事件有10 9 90个，根

14、据古典概型的概率公式得所求概率为综上可得正确.12 .已知直线I过点（1,0） , I与圆C：（X3相交于 A , B两点，则弦长| AB | 2的概率909P -90，故正确.100 10【答案】【解析】显然直线I的斜率存在，设直线方程为代入（x2 2 21) y 3 中得，(k I与圆C相交于A , B两点，2)0 ,. k2 3 ,3又当弦长|AB| 2时，圆半径r3，圆心到直线的距离2，叫律,k21 k 1，由几何概型知,事件M : “直线I与圆C相交弦长| AB| 2 ”的概率p(m);( 丰V3 ( V3)3三、解答题13设关于X的一元二次方程(1 )若 a 是从 0, 1, 2,

15、 3,4五个数中任取的一个数，b是从0, 1, 2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;（2）若a是从区间0, 4上任取的一个数，b是从区间0, 2上任取的一个数，求上述方程有实根的概率.【解析】(1)由题意知本题是一个古典概型，设事件A为“方程有实根”(2, 2) , (3,0)(4, 0) , (4,1)总的基本事件共 15个:(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(3,1), (3, 2)，(4, 0)，(4,1)，(4, 2)，其中第一个数表示 a的取值，第二个数表示 b的取值.事件 A 中包含 8个基本事件(a 2b)

16、 , (0, 0) , (1,0) , (2, 0) , (2,1) , (3,0) , (3,1),(4, 2),事件A发生的概率为p -.155(2)由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为( a,b) |0 a 4,0 b 2,满足条件的构成事件A的区域为(a,b)|0 a 4,0 b 2, a 2b.1所求的概率是p 1 .214.已知有一个三边长分别为 3,4,5的三角形.求下面两只蚂蚁与三角形三顶点的距离均超过(1) 一只蚂蚁在三角形的边上爬行；(2) 一只蚂蚁在三角形所在区域内部爬行.【答案】(1) 1 ; (2) 1.2 12【解析】记“蚂蚁与三角形三顶点的距离

17、均超过1”为事件 A .(1)根据题意，如图 ABC 中，AB 3, BC 4, AC 5, AD AI BE BF则 ABC的周长为12,1的概率.CG CH 1,由图分析可得，距离三角形的三个顶点的距离均超过1的部分为线段DE、FG、HI上,即其长度为6,则蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率蚂蚁在三角形的边上爬行，其测度是长度,1所求概率P(A)-2AD呂B#F#Gc(2)蚂蚁在三角形所在区域内部爬行，其测度是面积，三角形 ABC的面积为离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S 1 n 122所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为所求概率P(A)6 16 n2_6n121

18、5已知圆 C:x2 y212，直线 I ：4x 3y 25 .(1 )圆C的圆心到直线I的距离为多少?(2 )圆C上任意一点A到直线I的距离小于2的概率为多少?【答案】(1) d 5；( 2)【解析】(1)由题意知，圆y212的圆心是(0,0)，圆心到直线的距离是2553242(2)如图，圆心C到直线I的距离是5，到直线I的距离是3 ,则劣弧AB所对应的弧上的点到直线 I的距离都小于2 ,优弧AB所对应的弧上的点到直线 I的距离都大于2 ,，AB 2 3，二 ACB 60 , AC 2 3, CD 3 ad、AC2 CD2根据几何概型的概率公式得到P-A、B、C刚好是边长为3 cm的等边三角360616某射击运