反函数典型例题

1、反函数求值例1、设尸有反函数,二厂1，且函数户/q+2)与广/以7 互为反函数，求广1。)一广1。)的化分析：本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解， 所以不妨试试“赋值法”，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果.解：设尸t ,则点在函数二广匕t)的图象上，从而点(划 在函数j=/(x+2)的图象上，即”/0+2)由反函数定义有3+2 =/(1) 这样即有二(0)+2二尸(1),从而尸-尸(0)=2 .小结：利用反函数的概念，在不同式子间建立联系，此题考查对反函数概念 的理解，符号间关系的理解.两函数互为反函数，确定两函数的解析式互为反函数，求 .例2若函数与函数ahc的

2、三元方程组，关键是如何 又/w 与g(x)互为反函数，其定的值.分析：常规思路是根据已知条件布列关于/w布列？如果注意到g(x)的定义域、值域已知， 义域与值域互换，有如下解法：的值域为解：: g(x)的定义域为工及且 2 .又用仅)的定义域就是/m的值域，.g(x)的值域为g。)*i日er ,由条件可知/w的定义域是.：，1一【3工-1令1二3,则/二即点(3,1)在加的图象上./w与g(x)互为反函数,精品资料.(3,1)关于j二工的对称点(1,3)必在g(x)的图象上. 3=1+二,二：.1,， .a = 一一，匕= 6故 .判断是否存在反函数例3、给出下列函数：了 = /一1(彳 一3

3、1+1丁 =武2 工)(工之3(1)2； (2)工；(3)221i 1 ；尸.其中不存在反函数的是 .13x = x =时，2和 2 ,且分析:判断一个函数是否有反函数，从概念上讲即看对函数值域内任意一个 了，依照这函数白寸应法则，自变量i总有唯一确定的值与之对应，由于这种判断 难度较大，故通常对给 出的函数的图象进行观察，断定是否具有反函数.3y = -解：,(2)都没有问题，对于(3)当41 3一，一 2 2l+oo 2对于（4）j = 4时,工二2和工二1 .对于（5）当丁 二 一时，不二1和了二。.故（3）,（4）,（5）均不存在反函数.小结:从图象上观察，只要看在相应的区间内是否单调

4、即可.求复合函数的反函数例4、已知函数 /伍 + 1）=/+21 *1,2,求的反函数.分析：由于已知是/g+d，所求是/-1）的反函数，因此应首先由 /。+1）找到了，再由/求出/（i） 的表达式，再求反函数.解:令1+ 15，则2 , 1，二 / - 2,让2,3.于是有加-l） =（7-l）3-2 = ?-2x-ue 3 吐由y =得，由于x电4,生用l1+师 .又/-2彳-1产3工的值域是2,7,二/。一1）的反函数是了二1+、6五442,力.小结:此题涉及对抽象函数符号的认识与理解，特别是在换元过程中，相应变 量的取值范围也要随之发生改变，这一点是学生经常忽略的问题.原来的函数与反函

5、数解析式相同求系数例5、已知函数/与其反函数“是同一个一次函数/ w = + i 试指出心的所有取值可能.分析:此题可以有两种求解思路：一是求解了（i）的反函数的解析式，与 ，二纵+b比较，让对应系数相等，列出关于口上 的方程，二是利用两个函数 图象的对称性，找对称点，利用点的坐标满足解析式来列方程.解：由/。）二纵+3知点僦）在图象上,则点仇）定在广匕）的图象上,于是二,二.（1）又/= ax+b过点q,a+b），则点+九1）也在广的图象上，于是二.二二二 1 （2）由得b二或以二一1 ,当a =时，代入（2），此时（2）包成立即；当b二q代入解得白二 1 .a =1 a = -1综上，的所有取值可能有 斥或衣氏.小结:此题是反函数概念与方程思想的综合.在这个题目中特殊点的选取一般 是考虑计算简单方便，而且这种取特殊点列方程的方法在其他地方也有应用，故对 此种方法要引起重 视.另外此题在最后作答时，要求写出e力 的所有取值可能即 要把。的取值与8的取值搭配在一起，所以解方程组时要特别小心这一点.选题角度：反函数图象关系、将反函数问题转化为原函数、利用性质求解析式、两函数 互为反函数，确定两函数的解析式判