反函数_典型例题精析

1、精品资料2 . 4反函数例题解析【例1】求下列函数的反函数:3x -51(1)y = (x w)2x 122.l(2)y = x 2x+3, x (一巴 0.1 (3)y=qi(x&0)pt+r(-ix0) (4)y=|-vx(0x 2) .-1解(3).y=(x0),它的值域为0yw1,x 1,1_由丫= -2得乂 =x x2 1反函数为f，(x) =1-yi y，1 xj(0x1). x解(4)由丫= jx +1(一10x& 0),得值域 0&y&1,反函数 f，(x) = x2 1(0&x&1).由 y= x(0x 1),得值域10y0,反函数 f,(x)=x2( 一10x0), x2-

2、1 (0x1)故所求反函数为y=2.x2(-1x0)【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像.(1)y = xx -1- 1y = - 3x2-2(x1 ,由y=4x -1- 1,得反函数y=(x+1)2 +1(x) 1).41所示.函数y= vx -1 1与它的反函数y = (x+1)2 +1的图像如图2.解(2)由 y = 3x2 2(x 磷)得值域 y w -2, 反函数 f-(x) = l*2(x w 2).3它们的图像如图2. 4-2所示.一一 .一. 3x 11【例3】 已知函数f(x) = (xw a, aw -).x a3求它的反函数；(2)求使f-1 (x)

3、 = f(x)的实数a的值.一 3x 1解(1)设y= 3x,. xw a,x a. y(x+a)= 3x+1, (y 3)x = 1 ay,这里 yw3,若y=3,则1 、.，1一一a= -这与已知aw -矛盾,1 - ay11 - ax：x=, 即反函数 f (x)=y -3x - 3若f(x)=f,(x),即3x21=t父对定义域内一切x的值恒成立, x a x -3或解 由f(x) = f-1 (x),那么函数f(x)与f-1 (x)的定义域和值域相同，定义域是x|x 为，x 贝，值域 y gy|y w3, y cr,. 一a= 3 即 a= 3 .ax b .一.【例4】 已知函数y

4、 = f(x)=中，a、b、c、d均不为夺，cx d试求a、b、c、d满足什么条件时，它的反函数仍是自身.解f(x) = a + bcad，二.常数函数没有反函数， c c(cx d).-dx bbc- ad w 0 又 f (x)=,cx - a要使一dx .b =丝土b ,对定义域内一切x值恒成立， cx - a cx d令 x= 0,得一a= d ,即 a + d = 0 .事实上，当a + d = 0时，必有产仅尸造)，因此所求的条件是 bc - ad 0,且a+d = 0.【例5】设点m(1 , 2)既在函数f(x) = ax2+b(xr)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f-

5、1(x), (2)证明f1(x)在其定义域内是减函数.2 = a+b1 =4a+ b37 b=一.1 2 ,，一 f(x) =- -x +37-3(x0)1 2证(2)由 y= x +370 _)37 (x 0)得反函数 f (x) = 473x(x 3设 x1 7 3x20,j73x1 %；x3x2,即 f(x1)f(x2),故f(x)在(一00 7上是减函数.3x -1【例6】若函数f(x) = /2,求f(v2)的值.x - 11 2x解法(一)先求函数f(x)=的反函数f (x)=,x 21 - x于是f (.2)1-2-5 3v 2.解法(二)由函数y = f(x)与其反函数y= f

6、-1(x)之间的一一对应关系，求f，(也)的值，就是求f(x) = 72时对应的x的值，：令 得 x=-5-3h2,即 f(42) = - 5 3 j2 .x _1-=a 2,x 2【例7】已知a r,且aw 0, aw 1.设函数f(x)证明y = f(x)的图像关于直线y= x对称.x -1由 y=,ax -1aw 0, aw 1,得(ay 1)x=y 1,1如果ay 1=0,贝uy= 一 , a1 x - 1 一. 一一-=彳4a= 1,这与已知a* 1矛盾,a ax - 1y 1 i x 1 ay 1 w 0,故 x=, : f (x)=,ay - 1ax - 1即证得f(x)=x - 1 一一、,，的反函数就是它