微分几何曲面局部理论

1、 微 分 几 何 2011.04 - 06 讲师讲师 沈玉萍沈玉萍 第二章 曲面：局部理论 第一节第一节 参数曲面和第一基本形式参数曲面和第一基本形式 第二节第二节 gaussgauss映射和第二基本形式映射和第二基本形式 第三节第三节 g-cg-c方程和曲面基本定理方程和曲面基本定理 第四节第四节 协变微分，平行移动和测地线协变微分，平行移动和测地线 第二章 曲面：局部理论 第二节第二节 gaussgauss映射和第二基本形式映射和第二基本形式 定义定义 给定正则参数曲面给定正则参数曲面 ，单位法向量对应的，单位法向量对应的 映射映射 称为曲面称为曲面 的的gaussgauss映射。映射。n

2、:m m m 第二章 曲面：局部理论 曲面的很多几何性质体现在其曲面的很多几何性质体现在其gaussgauss映射中，例如映射中，例如 l平面的切平面不变，平面的切平面不变，gaussgauss映射为常值函数；映射为常值函数； l圆柱的切平面沿着母线不变，则圆柱的切平面沿着母线不变，则gaussgauss映射将圆映射将圆 柱面映射到球面的一个圆周上；柱面映射到球面的一个圆周上； l圆心在原点的球面，圆心在原点的球面， gaussgauss映射就是位置向量映射就是位置向量 的单位化。的单位化。 第二章 曲面：局部理论 思路：曲面思路：曲面 在点在点 的形状，可以由曲面的形状，可以由曲面 上上 经

3、过点经过点 的曲线的曲率来描述。的曲线的曲率来描述。 pmm p 第二章 曲面：局部理论 定义定义 在点在点 由由单位切方向单位切方向 和单位法向和单位法向 量量 决定的平面称为曲面在点决定的平面称为曲面在点 由此切方向由此切方向 确定的确定的法截面法截面。法截面与曲面的交线称为曲面。法截面与曲面的交线称为曲面 在点在点 的一条的一条法截线法截线。 假设某条法截线由弧长参数表示假设某条法截线由弧长参数表示 则它在点则它在点 的主法向量的主法向量 为为 ，曲率，曲率 p p p vt m n( )p p ( ),(0),(0).spv ( )n p p nn(n) (0)n( ). v nttv

4、 dp n 第二章 曲面：局部理论 命题命题 对任意切向量对任意切向量 ， 的方向导数的方向导数 仍然是切向量。由此定义的映射仍然是切向量。由此定义的映射 是一个对称的线性映射，即是一个对称的线性映射，即 我们称我们称 为曲面在点为曲面在点 的的形状算子形状算子，或者，或者 weingartenweingarten映射映射。 p vt m n n( ) vp dpt m p s ( )( ),. ppp s uvu s vu vt m p :n( ) pppv st mt m vdp ( )( ),. ppp s uvu s vu vt m 第二章 曲面：局部理论 证明证明 假设法截线有弧长参

5、数表示假设法截线有弧长参数表示 考虑到考虑到 是单位向量，满足是单位向量，满足 所以所以 成立。成立。 另外另外 关于向量关于向量 自然是线性的。自然是线性的。 ( ),(0),(0).spv n( ) s n( ) n( )(n) (0) (n)(0)0. v dpp n( ) vp dpt m nn v dv v 第二章 曲面：局部理论 利用向量函数的混合偏导来证明当利用向量函数的混合偏导来证明当 时时 满足满足: : 对于对于 ，都可以写成，都可以写成 和和 的的 线性组合，容易验证对称性成立。线性组合，容易验证对称性成立。 , uv uxvx p s ()n( )nn nn( )().

6、 u v puvxvuvvv vuxupvu sxxdpxxx xdpxsxx , p u vt m u x v x 第二章 曲面：局部理论 命题命题 如果曲面如果曲面 任意一点任意一点 的形状算子的形状算子 都都 是零，则是零，则 是平面（的一部分）。是平面（的一部分）。 证明证明 由于由于 那么对于那么对于 点附近的任意一个正则参数表示点附近的任意一个正则参数表示 有有 由连通性可以得出由连通性可以得出 是常向量，即曲面是平面。是常向量，即曲面是平面。 mp p s m n( )0, vp dpvt m nn0. uv p( , )x u v n 第二章 曲面：局部理论 例例1 1 是半径

7、为是半径为 ，中心在原点的的球面，则，中心在原点的的球面，则 在局部参数表示下在局部参数表示下gaussgauss映射为映射为 它的形状算子满足它的形状算子满足 所以它在每点切平面上都是的数量线性变换所以它在每点切平面上都是的数量线性变换 。 ma 1 n( , ).x u v a 11 ()n,()n. puuupvvv sxxsxx aa 1 i a 第二章 曲面：局部理论 对于一般的曲面，我们不容易直接写出形状算子对于一般的曲面，我们不容易直接写出形状算子 在切平面的局部标架在切平面的局部标架 下的矩阵形式。下的矩阵形式。 但是形状算子的关于内积的对称性诱导我们定义但是形状算子的关于内积

8、的对称性诱导我们定义 曲面的曲面的第二基本形式第二基本形式 特别的对于特别的对于 , uv xx :, ( , )( ),. ppp ppp t mt m u vs uvu vt m ( , )( )n( ). ppv v vs vvdp v ,1, p vt mv 第二章 曲面：局部理论 在在 点邻域上的有正则参数表示点邻域上的有正则参数表示 ， 有自然的基底有自然的基底 ，我们定义曲面的，我们定义曲面的 第二类基本量第二类基本量 p p t m , uv xx ( , )x u v (,)nn, (,)nn(,), (,)nn. u u v puuxuuu puvxvuvpvu pvvxu

9、vv lxxdxx mxxdxxx x nx xdxx 第二章 曲面：局部理论 曲面的曲面的第二基本形式第二基本形式局部参数表示下有对称矩阵局部参数表示下有对称矩阵 形式形式 类似第一基本形式，我们得到曲面的类似第一基本形式，我们得到曲面的第二基本形第二基本形 式的二次微分形式式的二次微分形式 nnnn . nnnn uuuvuuuv p vuvvvuvv xxxxlm xxxxmn (,)n lmdu du dvdx d mndv 第二章 曲面：局部理论 如果如果 是单位正交标架，则矩阵是单位正交标架，则矩阵 就是就是 形状算子形状算子 。但是一般情形下，。但是一般情形下， 有矩阵表示有矩阵

10、表示 l作为实对称矩阵，作为实对称矩阵， 可以对角化，它有两个实可以对角化，它有两个实 特征值，记为特征值，记为 和和 。 , uv xx p p s p s 1 1 . pp eflm fgmn 1 1 . pp eflm fgmn p s 1( ) k p 2 ( )kp 第二章 曲面：局部理论 定义定义 曲面曲面 在点在点 处的形状算子处的形状算子 的特征的特征 值称为曲面在此点的值称为曲面在此点的主曲率主曲率；对应的特征方向；对应的特征方向 称为称为主方向主方向。如果曲面上的曲线每一点的切方。如果曲面上的曲线每一点的切方 向都是主方向，那么这条曲线称为向都是主方向，那么这条曲线称为曲率

11、线曲率线。 l曲面在任意点曲面在任意点 的两个主方向是正交的，于是的两个主方向是正交的，于是 我们可以选择了切平面我们可以选择了切平面 的一个正交基底的一个正交基底 恰好由主方向向量构成。恰好由主方向向量构成。 p smp p p t m 第二章 曲面：局部理论 定理（定理（eulereuler公式公式）令）令 为曲面为曲面 在点在点 的的 单位主方向，分别对应主曲率单位主方向，分别对应主曲率 和和 。假设。假设 切向量切向量 ，其中，其中 。 则则 证明：略。证明：略。 22 12 ( , )cossin.v vkk mp 12 cossinvee 12 ,e e 1 k 2 k 0,2 )

12、 第二章 曲面：局部理论 l注意到球面在任意一点的任意方向的法截线都注意到球面在任意一点的任意方向的法截线都 有相同的（非零）曲率；有相同的（非零）曲率； l下图马鞍面的有些法截线恰好是直线。下图马鞍面的有些法截线恰好是直线。 第二章 曲面：局部理论 定义定义 如果曲面如果曲面 切向量切向量 确定的法截确定的法截 线点线点 处的曲率为零处的曲率为零 ，即，即 我们称我们称 为为 在点在点 的一个的一个渐近方向渐近方向。 如果曲面上的曲线每一点的切方向都是渐近方如果曲面上的曲线每一点的切方向都是渐近方 向，那么这条曲线称为向，那么这条曲线称为渐近线渐近线。 l如果曲面包含直线，则直线为渐近线。如

13、果曲面包含直线，则直线为渐近线。 p vt m m p ( , )0, p v v vm p 第二章 曲面：局部理论 推论推论 曲面曲面 在点在点 处有渐近方向当且仅当处有渐近方向当且仅当 证明证明 首先首先 当且仅当当且仅当 是渐近方向。然是渐近方向。然 后不妨设后不妨设 。如果。如果 ， 那么那么 反过来，由反过来，由 ，我们很容易构造渐近，我们很容易构造渐近 方向方向 。 12 0.k k mp 2 e 2 0k 2 0k 12 cossinvee 222 1212 cossin0tan0.kkk k 12 0k k v 第二章 曲面：局部理论 例例2 2 如图所示圆柱螺面是如图所示圆柱

14、螺面是 一个直纹面，它所有的一个直纹面，它所有的 直母线直母线明显都是渐近线。明显都是渐近线。 另外，不太明显的，另外，不太明显的， 其上的一族其上的一族圆柱螺线圆柱螺线 也都是渐近线。也都是渐近线。 第二章 曲面：局部理论 事实上，如右图所示，在点事实上，如右图所示，在点 处的沿圆柱螺线单位切向量的处的沿圆柱螺线单位切向量的 法截线在点法截线在点 为拐点。因此，为拐点。因此， 圆柱螺线是圆柱螺面上的渐近圆柱螺线是圆柱螺面上的渐近 线。线。 具体计算为作业。具体计算为作业。 p p 第二章 曲面：局部理论 假设假设 为曲面为曲面 上一条弧长参数曲线，满足上一条弧长参数曲线，满足 那么由之前的计

15、算得到那么由之前的计算得到 它给出了曲线它给出了曲线 的曲率向量的曲率向量 在曲面在曲面 的单的单 位向量上的投影，我们称它为位向量上的投影，我们称它为 在点在点 处的处的法曲法曲 率率，记为，记为 。 p ( , )n. p v vn ( ) s m (0),(0).pv nm n 第二章 曲面：局部理论 l（meusniermeusnier公式公式）假设）假设 为曲面为曲面 上在点上在点 的单位切向量为的单位切向量为 的一条曲线，则的一条曲线，则 其中其中 为曲线主法向量为曲线主法向量 和曲面单位法向和曲面单位法向 量量 的夹角。的夹角。 l曲面上曲线在某一点的法曲率只取决于此点的曲面上曲

16、线在某一点的法曲率只取决于此点的 切向量。切向量。 l渐近线的法曲率处处为零。渐近线的法曲率处处为零。 m p v ( ,)cos , pn v v n n 第二章 曲面：局部理论 l主曲率是法曲率的最大值和最小值。不妨假主曲率是法曲率的最大值和最小值。不妨假 设设 ，则由，则由eulereuler公式得公式得 l法曲率的最大值和最小值出现在互相正交的方法曲率的最大值和最小值出现在互相正交的方 向上。向上。 21 kk 222 121211 cossin()sin,kkkkkk 222 121222 cossin()cos.kkkkkk 第二章 曲面：局部理论 下面我们介绍曲面理论中极其重要的

17、一些概念。下面我们介绍曲面理论中极其重要的一些概念。 定义定义 曲面曲面 在点在点 处的两个主曲率的乘积处的两个主曲率的乘积 称为称为 在点在点 的的 gaussgauss曲率曲率；主曲率的平均值；主曲率的平均值 称为称为 在点在点 的的中曲率（平均曲率）中曲率（平均曲率）。 m p 12 det p kk ks m 12 11 () 22 p hkktrs p pm 第二章 曲面：局部理论 定义定义 曲面曲面 在点在点 处的主曲率满足处的主曲率满足 则称为点则称为点 为曲面为曲面 的的脐点脐点。 特别的，特别的， 称称 为为平点平点。 如果如果 ，且，且 不是平点，则称不是平点，则称 为为抛

18、物点抛物点； 如果如果 ，则称，则称 为为椭圆点椭圆点； 如果如果 ，则称，则称 为为双曲点双曲点。 m p 12 kk 0k p p m 12 0kk pp 0k p 0k p 第二章 曲面：局部理论 例例3 3 环面的外侧均为椭圆点，上下圆周为抛物环面的外侧均为椭圆点，上下圆周为抛物 点，内侧均为双曲点。点，内侧均为双曲点。 第二章 曲面：局部理论 例例4 4 伪球面伪球面有参数表示有参数表示 其中其中 如图它是由曳物线得如图它是由曳物线得 到的旋转面。到的旋转面。 0,0,2 ).uv cossin ( , )(tanh ,), coshcosh vv x u vuu uu 第二章 曲面

19、：局部理论 l经线是曲率线，并且在经线确定的平面上，主经线是曲率线，并且在经线确定的平面上，主 法向量法向量 和曲面的法向量和曲面的法向量 一致。计算经线一致。计算经线 的曲率以初始的曲率以初始 曲线为例：曲线为例： 2 2 2 23 1 ( )(tanh ,0), cosh sinhtanh ( )(,0), coshcosh 2tanhsinh1 ( )(,0), coshcosh uuu u uu u uu uu u uu n n u 第二章 曲面：局部理论 所以曲面的一个主曲率为所以曲面的一个主曲率为 2 3 3 ( )tanh , sinh ( )(0,0,), cosh ( )1

20、. sinh ( ) uu u u u u u u 1 1 . sinh k u 第二章 曲面：局部理论 l圆纬线是曲率线，曲率为圆纬线是曲率线，曲率为 ，但这不，但这不 是法曲率。由于是法曲率。由于 和和 的夹角的夹角 ，利用，利用 meusniermeusnier公式得到公式得到 coshu n n 2 cos (cosh )( tanh ) sinh . k uu u 第二章 曲面：局部理论 l中曲率为零中曲率为零 的曲面称为的曲面称为极小曲面极小曲面，如，如 悬链面。它的两个主曲率为相反数，因此它只悬链面。它的两个主曲率为相反数，因此它只 有平点或者双曲点，没有椭圆点。有平点或者双曲点

21、，没有椭圆点。 0h 第二章 曲面：局部理论 l中曲率中曲率 为非零常数的例子：球为非零常数的例子：球 面，圆柱面等。面，圆柱面等。 lgaussgauss曲率曲率 为零的例子：平面，圆柱面，为零的例子：平面，圆柱面， 圆锥面等。圆锥面等。 lgaussgauss曲率曲率 为非零常数的例子：为非零常数的例子： 球面，伪球面等。球面，伪球面等。 0hconst 0kconst 0k 第二章 曲面：局部理论 第三节第三节 gauss-codazzigauss-codazzi方程和曲面基本定理方程和曲面基本定理 给定正则参数曲面给定正则参数曲面 ，它的局部正则参数表，它的局部正则参数表 示示 给出了

22、给出了 的一组基底的一组基底 。 之前的第二类基本形式基本量之前的第二类基本形式基本量 恰好是二阶恰好是二阶 微分向量微分向量 在单位法向量在单位法向量 上的投影。上的投影。 ( , )x u v 3 m ,n uv x x , uuuvvv xxx ,l m n (,)n, (,)n(,), (,)n. puuuu puvuvpvu pvvvv lxxx mxxxx x nx xx n 第二章 曲面：局部理论 现在我们考虑上述二阶微分向量在基底现在我们考虑上述二阶微分向量在基底 下的线性表示：下的线性表示： 函数函数 被称为被称为christoffelchristoffel记号记号，满足对称

23、性，满足对称性 n, n, n. uv uuuuuuuv uv uvuvuuvv uv vvvvuvvv xxxl xxxm xxxn ,n uv xx * * * uvvu (1)eq 第二章 曲面：局部理论 例例1 1 单位球面单位球面 给定一个参数表示给定一个参数表示 计算它的计算它的christoffelchristoffel记号记号 。 解：首先局部基底是解：首先局部基底是 2 s ( , )(sincos ,sin sin ,cos ).x u vuvuvu (cos cos ,cos sin , sin ) ( sin sin ,sin cos ,0) n( , ). u v x

24、uvuvu xuvuv x u v * * 第二章 曲面：局部理论 继续求导计算继续求导计算 ( sin cos , sin sin , cos )n ( cos sin ,cos cos ,0)(cot ) ( sin cos , sin sin ,0)sin (cos ,sin ,0). uu uvv vv xuvuvu xuvuvu x xuvuvuvv 第二章 曲面：局部理论 容易得到容易得到 又由又由 推出推出 所以所以 0, uv uuuu 0,cot , uv uvuv u (cot )(0,0, sin ) n(0,0,cos ) uvv vv xu xu xu 2 (sin

25、cos )(sin)n. vvu xuu xu sin cos ,0. uv vvvv uu 第二章 曲面：局部理论 对于一般的曲面，我们考虑内积对于一般的曲面，我们考虑内积 . uv uuuuuuu uv uuvuuuu uv uvuuvuv uv uvvuvuv uv vvuvvvv uv vvvvvvv xxef xxfg xxef xxfg xxef xxfg 第二章 曲面：局部理论 观察得到观察得到 1111 (),() 2222 1111 (),() 2222 1 () 2 1 (). 2 uuuuuuuuvuuuvv uvvvvuuvvvvvvv uuvuvuuuvuv vvuu

26、vvuvvvu xxxxexxxxe xxxxgxxxxg xxxxxxfe xxxxxxfg 第二章 曲面：局部理论 写成矩阵形式写成矩阵形式 1 2 1 2 u u uu v uu uv e ef fg fe 1 1 2 . 1 2 u u uu v uu uv e ef fg fe (2.1)eq 第二章 曲面：局部理论 同理同理 1 1 2 1 2 u v uv v uv u e ef fg g 1 1 2 . 1 2 u vu vv v vv v fg ef fg g (2.2)eq (2.3)eq 第二章 曲面：局部理论 利用利用(eq-2)(eq-2)验证例验证例1 1的结果的结

27、果 2 2 2 1000 0csc00 1000 0cscsin coscot 10sin cossin cos . 0csc00 u uu v uu u uv v uv u vv v vv u uuuu uuuu u 第二章 曲面：局部理论 形状算子形状算子 在基底在基底 下有矩阵表示下有矩阵表示 这里涉及的是向量这里涉及的是向量 的一阶微分的一阶微分 , uv xx p s 1 2 1 . aceflm bdfgmn lgmfmgnf lfmemfneegf n nn()() nn()(). u v uxpuuv vxpvuv dsxaxbx dsxcxdx (3)eq 第二章 曲面：局部

28、理论 这保证我们能继续对等式这保证我们能继续对等式(eq-1(eq-1）继续求偏微分继续求偏微分 () () ()n, uuuvu uuvuuvuuuvuuvvu vuvvv uuvuuuvuuvvv uv uuuuv xlc x ld x mnl () () ()n, uuuvu uvuuvuuvuvuuvuvu vuvvv uvuuvuuuvuvv uv uvuvu xma x mb x lmm 第二章 曲面：局部理论 由于由于 ，比较线性表示的系数得到，比较线性表示的系数得到 ()() () () . uvuuvu uuvuuvvuvuuvuv vuvvv uuvuuuvuuvv vuv

29、vv uvuuvuuuvuv uvuv vuuuuuuvuv lcma ld mb lmnmlm uuvuvu xx (4)eq 第二章 曲面：局部理论 同理由同理由 ，比较系数得到，比较系数得到 uvvvvu xx () () ()() . uuuvu uvvuvuvuvvv uuuvu vvuvvuuvvuv vuvvuv uvvuvuvvvuvvuu uvuv vuvuvuvvvv mc na mdnb mmnnlm (5)eq 第二章 曲面：局部理论 由上述两组等式由上述两组等式(eq-4)(eq-4)和和(eq-5)(eq-5)中法向量的系中法向量的系 数得到的是曲面的数得到的是曲面

30、的 codazzicodazzi方程方程 () () uvuv vuuvuvuuuu uvuv vuvvvvuvuv lmlmn mnlmn (6)eq 第二章 曲面：局部理论 利用利用 ，(eq-3)(eq-3)， (eq-4)(eq-4)和和 (eq-5)(eq-5)得到的是曲面的得到的是曲面的 gaussgauss方程方程 2 2 ()()() ()() ()() ()()(). vvuvvvuvv uuvuvuuuuvuuvvuvuuuv uuvuvu uvuuuvuvuvuuuv vvuvuv uvvvvuuvuvvvuu uuuuvuuvu vvuuvvvvuuvvuvuvuvvv

31、 ek fk fk gk 2 2 lnm k egf (7)eq 第二章 曲面：局部理论 当当 时，由时，由gaussgauss方程我们得到（习题）方程我们得到（习题） 定理定理(gausss theorema egregium(gausss theorema egregium） 曲面的曲面的gaussgauss曲率由曲面的第一基本形式决定，曲率由曲面的第一基本形式决定， 即它在曲面的局部等距对应下保持不变。即它在曲面的局部等距对应下保持不变。 0f 1 ()() ). 2 vu vu eg k egegeg (8)eq 第二章 曲面：局部理论 lgaussgauss曲率的定义利用了曲面在空间

32、的位置，曲率的定义利用了曲面在空间的位置， 但实际上却并不依赖于位置而只依赖于曲面的但实际上却并不依赖于位置而只依赖于曲面的 度量结构（第一基本形式）；度量结构（第一基本形式）； l专门研究曲面上由第一基本形式决定的几何学专门研究曲面上由第一基本形式决定的几何学 称为内蕴几何学，它在高维的推广就是称为内蕴几何学，它在高维的推广就是 riemann riemann 几何学几何学。 第二章 曲面：局部理论 lgaussgausscodazzicodazzi方程被称为曲面论的方程被称为曲面论的相容性方相容性方 程程。 l通过逐次微分或任何别的手段，我们不能在曲通过逐次微分或任何别的手段，我们不能在曲

33、 面的第一基本形式和第二基本形式基本量面的第一基本形式和第二基本形式基本量 及其导数之间得到更多的关系及其导数之间得到更多的关系 式。式。 事实上，第一基本形式和第二基本形式局部事实上，第一基本形式和第二基本形式局部 上决定了曲面。上决定了曲面。 , ,e f g l m n 第二章 曲面：局部理论 曲面论基本定理曲面论基本定理 唯一性：唯一性： 两个正则参数曲面两个正则参数曲面 只相差一只相差一 个刚体运动，即存在个刚体运动，即存在 使得使得 当且仅当它们有相同的第一基本形式当且仅当它们有相同的第一基本形式 和和 第二基本形式第二基本形式 。 *3 ,:x xu * * * abxx 3 a

34、(3),bo 第二章 曲面：局部理论 存在性：存在性： 给定区域给定区域 上函数上函数 满足满足 和和gaussgausscodazzicodazzi方程，则每一点方程，则每一点 局部上局部上 存在邻域存在邻域 和正则参数曲面和正则参数曲面 满满 足足 2 v 2 0,0eegf 3 :x u , ,e f g l m n 22 22 2 2. edufdudvgdv ldumdudvndv pv uv 第二章 曲面：局部理论 l曲面论基本定理的存在性部分要用到到偏微分曲面论基本定理的存在性部分要用到到偏微分 方程组的解的存在定理，其中方程组的解的存在定理，其中gaussgausscodazz

35、icodazzi 方程保证了对应的偏微分方程组的可积性。方程保证了对应的偏微分方程组的可积性。 l曲面论基本定理的唯一性部分和曲线论基本定曲面论基本定理的唯一性部分和曲线论基本定 理类似。要注意的区别是曲面的局部自然标架理类似。要注意的区别是曲面的局部自然标架 不是单位正交的。不是单位正交的。 第二章 曲面：局部理论 第四节第四节 协变微分，平行移动和测地线协变微分，平行移动和测地线 l曲面的内蕴几何概念之一：曲面的内蕴几何概念之一：“平行移动平行移动”。 l如何比较曲面上任意两点的切向量如何比较曲面上任意两点的切向量? ?怎么判断怎么判断 它们是否平行？它们是否平行？ 第二章 曲面：局部理论

36、 定义：定义：给定正则参数曲面给定正则参数曲面 ，向量函数，向量函数 称为称为 上一个上一个（切）向量场（切）向量场，如果它满足，如果它满足 （1 1） （2 2）对于曲面任意的正则参数表示）对于曲面任意的正则参数表示 函数函数 都是连续可微的。都是连续可微的。 3 :w m ( ),; p w pt mpm m :x um 3 :wx u m 第二章 曲面：局部理论 于是我们可以考虑对曲面上的切向量场于是我们可以考虑对曲面上的切向量场 求关求关 于切向量于切向量 的方向导数：的方向导数： 选取曲面上的一条参数曲线选取曲面上的一条参数曲线 满足满足 则则 l注意注意: :曲面上曲面上“居民居民

37、”只看得到上述向量在曲面只看得到上述向量在曲面 切平面的投影！切平面的投影！ w () (0). v d ww (0),(0),pv p vt m :(, )m 第二章 曲面：局部理论 定义定义 曲面曲面 上的可微切向量场上的可微切向量场 关于切向关于切向 量量 的的协变导数协变导数为为 给定给定 上曲线上曲线 ，如果，如果 则称向量场则称向量场 沿参数曲线沿参数曲线 平行平行。 w ()(n)n. t vvvv wd wd wd w ( ) 0, t wti p vt m m m:im w 第二章 曲面：局部理论 例例1 1 单位球面单位球面 上任意一个大圆上任意一个大圆 的切向量的切向量

38、场场 是单位切向量场，是单位切向量场， 恰好是指向球心，所以恰好是指向球心，所以 l球面上大圆的切向量场沿着大圆平行。球面上大圆的切向量场沿着大圆平行。 l另外常向量场另外常向量场 沿着球面的赤道平行。沿着球面的赤道平行。 ( ) ( )( )n( ). s dt st ss 2 s ( )t s ( ) s ( ) ( )0. s t s (0,0,1) 第二章 曲面：局部理论 例例2 2 曲面曲面 上参数曲线上对应的切向量场的协上参数曲线上对应的切向量场的协 变导数恰好可以由变导数恰好可以由christoffelchristoffel记号表示。记号表示。 在给定局部参数表示在给定局部参数表

39、示 下下 m :x um (), (), (). uu vvu vv tuv xuxuuuuuuv tuv xuxuuvuuvvxv tuv xvxvvvuvvv xd xxx xd xxxx xd xxx 第二章 曲面：局部理论 命题命题 设设 是曲面是曲面 上一条参数曲上一条参数曲 线，且线，且 ，切向量，切向量 。则沿着。则沿着 存在唯一存在唯一的的平行向量场平行向量场 使得使得 。 证明：不妨设曲线证明：不妨设曲线 包含在某个参数表示包含在某个参数表示 中，有中，有 。进一步假设。进一步假设 (0)p :0,1m 0p wt m m w 0 ( )w pw ( , ):x u vum

40、( )( ( ), ( )tu t v t ( ( )( )( ( ), ( )( )( ( ), ( ) uv wta t x u t v tb t x u t v t 第二章 曲面：局部理论 由于由于 ，我们计算，我们计算( )( )( ) uv tu t xv t x ( ) () ( )( ( )( ) ( )( )( )()( )() ( )( )( )( ( )( ) ( )( ( )( ) ( ( )( )( )( )( )( ) tt tuv tt uvuv t uvuuuv t vuvv uuu uuuvvu d wwta t xb t x dt dd a t xb t xa

41、 txb tx dtdt a t xb t xa t u t xv t x b t u t xv t x a ta tu tv tb tu t ( ) ( ( )( )( )( )( )( )( ). u vvu vvvv uuuvvuvvv v tx b ta tu tv tb tu tv tx 第二章 曲面：局部理论 是沿着是沿着 的平行向量场当且仅当的平行向量场当且仅当 是下列方程组的解：是下列方程组的解： 由微分方程解的存在唯一性定理，只要取定了由微分方程解的存在唯一性定理，只要取定了 ，使得，使得 ， 我们就得到唯一的平行向量场我们就得到唯一的平行向量场 满足满足 。 ( )( )(

42、 )( )( )( )( )0 ( )( )( )( )( )( )( )0. uuuu uuuvvuvv vvvv uuuvvuvv a ta tu tv tb tu tv t b ta tu tv tb tu tv t w ( ), ( )a t b t (0), (0)ab 0 ( )w pww 0 (0)(0) uv waxbx (1)eq 第二章 曲面：局部理论 定义定义 设设 是曲面是曲面 上一条参数曲上一条参数曲 线，且起始点为线，且起始点为 。 是沿是沿 的平行向量场，则向量的平行向量场，则向量 称为称为 沿沿 到点到点 的的平行移动平行移动。 l之前的命题的存在唯一性结论保证

43、了平行移动之前的命题的存在唯一性结论保证了平行移动 定义的合理性。定义的合理性。 l如果曲线如果曲线 是正则的，则平行移是正则的，则平行移 动不依赖于动不依赖于 的参数表示。的参数表示。 (0),(1)pq :0,1mm 0 ( )ww p w ( )w q q (0,1) :0,1m 第二章 曲面：局部理论 例例3 3 单位球面单位球面 上纬线圆上纬线圆 ，考虑向量，考虑向量 从点从点 出发沿着纬线逆时针的平行移动。出发沿着纬线逆时针的平行移动。 0v xx 00 (0, )uu u ( , )(sincos ,sin sin ,cos )x u vuvuvu 0 (,0)p uu v 第二

44、章 曲面：局部理论 解：将单位球面解：将单位球面christoffelchristoffel记号的计算结果带入记号的计算结果带入 方程方程(eq-1)(eq-1)中得到中得到 加上初始值条件加上初始值条件 ，解得，解得 l观察到观察到 。平行移动保持切。平行移动保持切 向量的长度不变？向量的长度不变？ 00 0 ( )sincos( ) ( )cot( ). a tuu b t b tu a t (0)0,(0)1ab 000 ( )sinsin(cos) ),( )cos(cos) ).a tuu tb tu t 2 2 0 ( ( )sinxtu 第二章 曲面：局部理论 命题命题 假设假设

45、 和和 是沿是沿 的两个平的两个平 行向量场，则内积行向量场，则内积 为常数。为常数。 推论推论 平行移动保持向量的长度和夹角平行移动保持向量的长度和夹角。 证明：向量场证明：向量场 沿沿 平行，则平行，则 与与 平行，则平行，则 同理同理 w ( ( )( ( )wtvt ( ):timv w ( ) t dw n ( ) ( ( )( ( )( ( )0. t wtvtdw vt ( ( )( ( )0.wtvt ( ( )( ( )0( ( )( ( )co. d wtvtwtvtnst dt 第二章 曲面：局部理论 l平面中平面中“直线直线”在曲面的推广在曲面的推广“测地线测地线”。

46、l曲面上两点之间的最短连线是什么？曲面上两点之间的最短连线是什么？ 定义定义 曲面曲面 上一条非常值参数曲线上一条非常值参数曲线 称为称为测地线（测地线（geodesicgeodesic），如果切向量场，如果切向量场 沿沿 平行，即平行，即 l测地线满足测地线满足 ，参数曲线正则，可，参数曲线正则，可 以引进弧长参数以引进弧长参数 。 0. :im ( ) t m ( )0tc sct 第二章 曲面：局部理论 l曲面上以曲面上以弧长弧长为参数的测地线为参数的测地线 的曲率向量的曲率向量 在曲面的切平面上投影为零，即测地线在每点的在曲面的切平面上投影为零，即测地线在每点的 主法向量与曲面的法向量

47、平行。主法向量与曲面的法向量平行。 这里曲线的曲率向量在曲面法向量上的投影这里曲线的曲率向量在曲面法向量上的投影 恰好是曲线的法曲率。恰好是曲线的法曲率。 ( ) s ( ) ( )( ) s nsds 第二章 曲面：局部理论 曲面曲面 上一条上一条弧长弧长参数曲线参数曲线 在考虑法曲率时，我们实际上引入了有别于在考虑法曲率时，我们实际上引入了有别于 frenetfrenet标架的另一个标架标架的另一个标架 （darbouxdarboux 标架）。标架）。 ,n,ntt :imm 第二章 曲面：局部理论 此时，曲率向量可以分解为此时，曲率向量可以分解为 其中法曲率其中法曲率 是曲率的法分量，而

48、是曲率的法分量，而 是曲率是曲率 的切分量，称为曲面上曲线的的切分量，称为曲面上曲线的测地曲率测地曲率 （geodesic curvature)geodesic curvature)。 l曲线是曲面测地线当且仅当它的测地曲率为零。曲线是曲面测地线当且仅当它的测地曲率为零。 例例1 1证明球面上的大圆是测地线。证明球面上的大圆是测地线。 (n)(n)(n)n n g nnttn n g 第二章 曲面：局部理论 定理定理（liouvilleliouville公式）公式）假设假设 是曲面是曲面 上的上的正交正交参数表示，参数表示， 是是 上的上的 一条曲线，其中一条曲线，其中 是弧长参数。是弧长参数。 假定曲线假定曲线 与与 曲线的夹角为曲线的夹角为 ，则曲，则曲 线线 的测地曲率为的测地曲率为 m ( ( ), ( )x u s v s ( , )x u v m 1ln1ln cossin . 22 g deg dsvuge u s 第二章 曲面：局部理论 证明：证明： 曲线和曲线和 曲线的单位切向量为曲线的单位切向量为 曲线曲线 的切向量的切向量 夹角夹角 满足满足 darbouxdarboux标架中标架中 12, dudv teege dsds 12 nsincos.tee 12 11 ,. uv exex eg cos,sin. dudv eg dsds