抽象函数性质

1、抽象函数性质综述抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.一、基本定义1、定义1：(周期函数)对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 t,使得当x取定义域的每一个值时， 都有f(x+t) = f(x),那么，函数f(x)就叫做周期函数.非零

2、常数t叫做这个函数的周期.2、定义2:(同一函数图象的对称性)若函数 y = f(x)图象上任一点关于点 p (或直线l )的对称点仍在 函数y = f (x)的图象上，则称函数 y = f (x)的图象关于点p (或直线l )对称.3、定义3：(两个函数图象的对称性)若函数 y = f(x)图象上任一点关于点 p (或直线l )的对称点在函 数y =g(x)的图象上；反过来，函数 y = g(x)图象上任一点关于点p (或直线l )的对称点也在函数y = f(x)的图象上，则称函数 y = f(x)与y=g(x)的图象关于点 p (或直线l )对称.二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明

3、1、若函数y = f(x)的定义域为 r,且f(a+x)= f(x b)恒成立，则函数 y = f(x)是以t=a + b为周期 的周期函数；2、若函数 y=f(x)的定义域为 r,且f (a+x) = f (b-x)恒成立，则函数 y = f (x)的图象关于直线a bx =对称；23、若函数 y = f(x)的定义域为 r ,且f (a + x) = - f (b - x)恒成立，则函数 y= f(x)的图象关于点(叱b,0)对称；24、若函数y = f(x)的定义域为r,且f (a为)=-f仅士)恒成立，则函数y = f(x)是以t=2(a+b)为周期 的周期函数；b-a5、右函数y =

4、 f(x)的te义域为 r ,则函数y = f(a+x)与y = f (b x)的图象关于直线 x =对称；2b - a .一6、若函数y = f(x)的定义域为r,则函数y = f(a+x)与y = f (b x)的图象关于点(,0)对称.2略证：1、,f (x+a+b) = f (x+b)+a = f (x+b)b = f(x),二函数 y = f (x)是以 t = a+ b为周期 的周期函数.a b2、函数y = f(x)图象上的任一点p(x0,y0)(满足f(%) = y0)关于直线x=sb的对称点为2q(a+boy。)，丁 f(a+b%) = f(bx0)+a = fb(bx0)=

5、f(x0)=y0 a b , 二点q仍在函数y = f(x)的图象上，从而函数 y=f(x)的图象关于直线x= 对称.2a b3、函数y = f (x)图象上的任一点p(x0, y0)(满足f (x0) = y0 )关于点(,0)的对称点为2q(a+b-%, -y0),f(a+b-%)=f(b-xo)+a=-fb-(b-x0) = -f(x) = -ya b 一，点q仍在函数y = f(x)的图象上，从而函数 y = f(x)的图象关于点(一,0)对称.24、: f(x+2a+2b) = f(x+a+2b)+a =_f(x+a+2b)b=_f(x + a+b) =-f(x +b) +a = t

6、-f(x +b) b = f (x),二函数 y = f (x)是以 t = 2(a + b)为周期的周期函数5、函数y = f (a+x)图象上的任一点，一， b-a ,，p(x0,y0)(满足f(a+x0) = y0)关于直线 x=的对称点为2q(bax0,y), . fb(bax0) = f(a + x0) = y0b - a ,.，点q在函数y = f (b-x)的图象上；反之函数y = f (b-x)的图象上任一点关于直线x=-丁的对称点b - a 也在函数y = f (a+x)图象上.从而函数y = f(a+x)与y = f (b - x)的图象关于直线 x =对称.2b a6、函

7、数y = f(a+x)图象上的任一点p(x0,y)(满足f(x0) = y0)关于点(ba , 0)的对称点为 2q(b -a-x0, -y0) , b)对称，即对于任意的实数 x,函数f(x)同 时满足f(ax)=-f(a+x), f (bx) = -f(b+x),则函数f (x)是以t = 2(a b)为周期的周期函数.3、定义在r上的函数f(x)，若同时关于直线* = 2和点9,0)(2#3对称，即对于任意的实数 x,函数f(x) 同时满足f(ax)=f(a+x), f(bx)=f(b+x),则函数f (x)是以t = 4 a b为周期的周期函数.略证：1、fx+2(a-b) =fa+(

8、x+a2b) = fa (x+a 2b) = = f(2b x)=fb +(bx) = fb(bx) = f(x),二函数 y = f (x)是以 t =2(a b)为周期的周期函数.2、3同理可证.五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系1、定义在r上的函数f(x)，若同时关于直线 x = a和x = 2a对称，即对于任意的实数 x,函数f(x)同时满足f(ax)=f(a+x), f(2ax) = f(2a+x),则函数f (x)是以t = 2a为周期的周期函数，且是偶函数.2、定义在r上的函数f(x)，若同时关于直线 x=a和点(2a,0)对称，即对于任意的实数 x,函数f(x)同时 满足f(

9、ax)=f(a+x), f(2ax) =f(2a+x),则函数f (x)是以t = 4a为周期的周期函数，且是奇函数.3、定义在r上的函数f(x),若同时关于点(a,0)和直线x = 2a对称，即对于任意的实数 x,函数f(x)同时 满足f (ax)=f(a+x) , f(2ax) = f(2a+x),则函数f (x)是以t =4a为周期的周期函数， 且是偶函数.4、定义在r上的函数f(x)，若同时关于点(a,0)和点(2a,0)对称，即对于任意的实数 x,函数f(x)同时满 足f(ax)=f(a+x) , f(2ax) = -f(2a+x),则函数f(x)是以t = 2a为周期的周期函数，且

10、是奇函数 .5、若偶函数f(x)关于直线x=a对称，即对于任意的实数 x,函数f(x)满足f(a-x)= f (a+x),则f(x) 是以t =2a为周期的周期函数.6、若偶函数f(x)关于点(a,0)对称，即对于任意的实数 x,函数f(x)满足f(ax) = -f(a+x),则f(x) 是以t =4a为周期的周期函数.7、若奇函数f (x)关于直线x=a对称，即对于任意的实数 x ,函数f (x)满足f(a x)= f (a + x)，则f (x) 是以t =4a为周期的周期函数.8、若奇函数f(x)关于点(a,0)对称，即对于任意的实数 x,函数f(x)满足f(ax) = -f(a+x),

11、则f(x) 是以t =2a为周期的周期函数.略证：1、由上述四中的第1点即可得函数f (x)是以t=2a为周期的周期函数，又 f (x)=f a (x a) = f a (x a) = f (2a x) = f (2a -x)二 f a (a - x)=fa-(a-x) = f(x) 二函数y = f (x)是偶函数.2、3、4同理可证.5、6、7、8可利用上述四中的结论证得 .以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解六、其它结论 1、若函数y = f (x+a)为偶函数，则函数 y = f (x)的图象关于直线 x = a对称.2、若函数y = f (x+a)为奇函数，则函数 y=

12、f(x)的图象关于点(a,0)对称.注：上述两个结论可以通过图象的平移来理解 3、定义在r上的函数f(x)满足f(a -x) = f (a+x),且方程f(x)=0恰有2n个实根，则这2n个实根的和为2na.4、定义在r上的函数y = f(x)满足f (a+x) + f (bx) = c(a,b, c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点呼，c)对称.2 2略证；任取 xw r ,令为=a +x,x2 =b x,则 x1 + x2 = a + b , f (x1)十 f (x2) = c , ab c由中点公式知点(x1,f(x1)与点(x2, f (x2)关于点(,-)对称.由x的任意性，知函数 y= f(x)的图22象关于点(曳也,c)对称. 225、能得出函数为周期函数的常见结论还有：函数 y = f (x)满足对定义域内任一实数 x (其中a为常数)f (x)=f (x+a ),则y= f (x)是以t =a为周期的周期函数;f (x+a)=f (x ),则“乂)是以丁 =2a为周期的周期函数；一1 一f (x+a ) = 土f1，则f(x)是以t =2a为周期的周期函数；f (x+a)=f (xa),则f(x)是以t =2a为周期的周期